2022-2023学年四川省泸州市龙马高中高二上学期第二次月考数学（理）试题

泸州市龙马高中高2021级2022年秋期第二次月考

数学（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．椭圆的长半轴长a＝（）

A．5 B．7 C．10 D．14

2．命题“对，都有”的否定为（）

A．对，都有 B．对，都有

C．，使得 D．，使得

3．学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1到2000编号．已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（）

A．997 B．1007 C．1047 D．1087

4．已知a，b，c，d为实数，且，则下列不等式一定成立的是（）

A． B． C． D．

5．设l，n，a是三条不同的直线，，是两个不同的平面．命题p：若，则，有，命题q：若，则，有．则下列命题正确的是（）

A． B． C． D．

6．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．月接待游客量逐月增加

7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A． B． C． D．

8．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：

甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38．

则下列描述合理的是（）

A．甲队员比赛成绩比较稳定 B．乙队员比赛成绩比较稳定

C．甲队员每场比赛得分的平均值大 D．乙队员每场比赛得分的平均值大

9．已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）

A．－5 B．5 C．4 D．22

10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（）

A． B． C． D．6

11．已知点，，圆，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是（）

A． B． C． D．

12．已知椭圆和双曲线有公共焦点，，和在第一象限的交点为P，且双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知双曲线，则C的渐近线方程为______．

14．已知x是上的一个随机数，则使x满足的概率为______．

15．在三棱锥P－ABC中，，，点D是侧棱PB的中点，且，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______．

16．如图，某公园内有一个边长为20m的正方形ABCD区域，点M处有一个路灯，点M到AB的距离是6m，到BC的距离是8m，现过点M建一条直路交正方形区域两边于点P和点Q，若对△PBQ区域进行绿化，则此绿化区域面积的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线交于A，B两点，，求m的值．

18．2019年，海南等8省公布了高考改革综合方案将采取“3＋1＋2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．

（1）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；

（2）甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩．（计算，时精确到0.01）

参考数据：，，，，，．

参考公式：，

19．已知命题p：，，集合A为命题p为真命题时实数a的取值集合．集合．

（1）求集合A；

（2）若是的充分条件，求实数m的取值范围．

20．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，．

（1）求C的方程；

（2）在x轴上是否存在点P，使得∠OPM＝∠OPN恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．

21．如图，已知平面ABC，，，，，，点E是BC的中点．

（1）求证：AE⊥平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值．

22．已知曲线C上的任意一点到点的距离和它到直线的距离的比是常数，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点M．

（1）求曲线C的方程；

（2）求△ABM面积的最大值．

泸州市龙马高中高2021级2022年秋期第二次月考

数学（理科）答案

1－5ACBCD6－10DCAAD11－12DB

13．；14．；15．16．96

11．解：设点，由可得

化简得即点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，

因为点P在圆上，所以圆O和C有公共点，

所以，

，又，所以

12．解：设椭圆的半长轴为，双曲线实半轴为，双曲线的虚半轴长为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，

由定义知：，可得，，

设，

由余弦定理得：，

化简得：，

∴，即，

∵，∴，故，

∴，即．

三、解答题

17．（1）由题意，设圆心为，又与y轴相切于点，故2a＝2，即a＝1，

所以，且半径r＝a＝1，故圆C的方程为．

（2）由（1）及题意，如下图示：，∠ACB＝120°，故C到直线l的距离为，

所以，可得．

18．（1）记物理、历史分别为，，思想政治、地理、化学、生物分别为，，，，

由题意可知考生选择的情形有

，，，，，，，，，，，，共12种，

他选到物理、地理两门功课的满情形有，共3种，

∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为；

（2），，

∴，

，

∴y关于x的回归方程为，

当时，．

19．（1）命题p为真命题时等价于，

即，集合A为；

（2）由是的充分条件得，

ⅰ．当时，即，解得；

ⅱ．当时，设的根为，，则，解得．

故实数m的取值范围为

20．（1）当l与x轴垂直时，由题意易得，

从而，解得p＝1，

所以C的方程为；

（2）设，，，由题可知直线l斜率不为零，

设，代入抛物线方程消去x，得，

从而，，①

由∠OPM＝∠OPN可得

将①代入上式，得恒成立，

所以，

因此存在点P，且满足题意，P点坐标为．

21．（1）∵平面ABC，，∴平面ABC，

∵平面，∴平面平面ABC，

∵AB＝AC，点E为BC中点，∴AE⊥BC，

∵平面平面ABC＝BC，平面ABC，∴AE⊥平面．

（2）取中点F，连接AF，EF，

∵，，，点F为中点，

∴四边为平行四边形，，

∴直线与平面所成角和直线AF与平面所成角相等，

∵AE⊥平面，∴∠AFE为直线AF与平面所成角，

∵点E为BC中点，，

∴，，，∴，

所以直线与平面所成角的正切值为．

22．（1）设曲线C上的任意一点的坐标为，

由题意，得，即，所以曲线C的方程为；

（2）由题意，设直线AB的方程为，，，则．

联立方程得，则，－

所以，，所以．

又因为，所以直线PB的方程为．

令，则，

所以，．

因为，

所以．

令，，则．

又因为在上单调递减，所以当时，，

故△ABM面积的最大值为．