2023-2024学年陕西省西安市铁一中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市铁一中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，将集合化简，结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】，，
故．
故选：B
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用共轭复数及复数的除法运算求解即得.
【详解】复数，所以.
故选：A
3．过抛物线的焦点作直线交于两点，若，则
A．16B．12C．10D．8
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，所以．故选B．
【解析】抛物线的焦点弦长．
4．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，即可表示出切线的斜率，再得到直线的斜率，根据两直线垂直斜率之积为得到方程，即可求出参数的值.
【详解】因为，所以，则，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
又直线的斜率，
由切线与直线垂直可知，即，解得．
故选：B．
5．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案
【详解】由，，则，又，所以，故“”是“”的充分条件.
当满足，，时，直线可能平行，可能相交，也可能异面.
故“”不是“”的必要条件.
故选：A
6．《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ）
A．96B．126C．192D．252
【答案】C
【解析】根据题意得到该人每天走的路程是以为首项，以为公比的等比数列，再根据总路程378，由等比数列的前n项和公式求解.
【详解】由题意得，该人每天走的路程形成以为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有,
解得，
所以该人第1天所走路程里数为192，
故选：C
7．若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用导数求出函数的极小值为，由题意可知，再由求得的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】解：由题意，，
当或时，；当时，.
故在，上是增函数，在上是减函数，
所以，函数的极小值为.
作其图象如图，
令得，解得或，
结合图象可知，解得，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数的极小值点在区间内，通过求得，数形结合得出实数所满足的不等式组，综合性较强.
8．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】连接、、，则，，设点，则，分析可得，可得出的取值范围，由可求得的取值范围.
【详解】连接、、，则，，
由切线长定理可知，，
又因为，，所以，，
所以，，则，
设点，则，且，
所以，，
所以，，故，
故选：B.
9．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数运算法则依次计算即可得答案.
【详解】对于A选项，，故正确；
对于B选项，，故错误；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，，故错误．
故选：A.
二、多选题
10．等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．的前项和中最小
C．的最小值为D．的最大值为0
【答案】ABC
【分析】根据已知条件可计算出和公差，然后可计算出对A进行判断；求出，即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值即可判断C；求出的表达式即可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，则A正确；
，
则当时，取得最小值，故B正确；
，
设函数，
则，则当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为，且，
所以最小值为，C正确；
，没有最大值，故D错误，
故选：ABC.
11．已知，，直线：，：，且，则（ ）
A．的最小值是1B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是4
【答案】BC
【分析】利用两条直线垂直建立的关系，再利用基本不等式逐项求解即得.
【详解】由直线，，且，得，即，又，
对于A，，即，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，，
当且仅当时取等号，因此的最小值是，B正确；
对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，D错误.
故选：BC
12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.
【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】根据给定的双曲线方程，求出渐近线方程即得.
【详解】双曲线，即，其渐近线方程为.
故答案为：
14．已知向量，，.若与平行，则的值为 .
【答案】/
【分析】利用向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，，则，
而，且与平行，因此，解得，
所以的值为.
故答案为：
15．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，按及分类讨论，求出极值点并建立不等式求出的范围.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点；
当时，由，解得，当时，，当时，，
因此为的极值小点，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．已知数列满足，，则 .
【答案】
【分析】推导出是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出，推导出是首项为7，公差为6的等差数列，由此能求出．
【详解】解：数列满足，，
是首项为1，公差为2的等差数列，
，
则，，
则，
是首项为7，公差为6的等差数列，
．
故答案为：．
四、解答题
17．等比数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．
【答案】(1) .
(2) .
【详解】试题分析：（1）本题考查的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．
（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
【解析】等差、等比数列的性质
18．已知动点P到定点的距离与点P到定直线的距离之比为
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是直线l上的两个点，点E是点F关于原点的对称点，若，求 | MN | 的最小值．
【答案】（1）= 1（2）2
【分析】（1）用坐标表示条件，化简即得轨迹方程（2）先设坐标，再用坐标表示| MN |，根据条件得坐标关系，代入| MN |表达式，最后根据基本不等式求最值
【详解】（1）设点P（x，y）
依题意，有＝
整理得：= 1
所以动点P的轨迹方程为= 1
（2）∵点E与点F关于原点对称
∴E(－，0)
∵M、N是l上的两点
∴可设M(2，y1) N(2，y2)
（不妨设，y1＞y2）
∵
∴（3，y1）·(，y2)＝0
即6 + y1y2＝0
∴y2＝－
由于y1＞y2，∴y1＞0，y2＜0
∴| MN |＝y1－y2＝y1+≥2＝2
当且仅当y1＝，y2＝－时，取“＝”号，故| MN |的最小值为2
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程、基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．如图,在三棱台中,平面平面,.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）延长，，相交于一点，先证，再证，进而可证平面；
（Ⅱ）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值．
【详解】（Ⅰ）延长，，相交于一点，如图所示．
因为平面平面，
平面平面，且，
所以平面，平面，因此．
又因为，，，
所以为等边三角形，且为的中点，
则．
所以平面．
（Ⅱ）方法一：过点作于Q，连结．
因为平面，所以，，
则平面，所以．
所以是二面角的平面角．
在中，，，得．
在中，，，得．
所以二面角的平面角的余弦值为．
方法二：如图，延长相交于一点，
则为等边三角形．取的中点，则，
又平面平面，所以，平面．
以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，
建立空间直角坐标系．
由题意得，，，
，，．
因此，，，．
设平面的法向量为，
平面的法向量为．
由，得，
取；
由，得
取．
于是，．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
【点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
20．已知且，函数.
(1)若且，求函数的最值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出函数的单调区间，进而得出函数的最值；
（2）将函数零点转化为方程根的问题，利用分离变量的方法，转化为两个函数图象的交点问题，进而求解结果.
【详解】（1）当时，函数，
故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
所以，
又因为，，
所以；
（2）因为函数有两个零点
故有两解，
所以方程有两个不同的解，
即为函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
令，故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
如图所示

而，所以，所以，
令，
因为，，
所以在上有一个零点，
又当时，，，，
所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点，即当时，函数有两个零点.
21．已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)140
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.
【详解】（1）
，
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可得
，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即，则，
∴的最小值为140.
22．已知为R上的增函数.
(1)求a；
(2)证明：若，则.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）直接求导，由在R上恒成立，当时不成立，当时，由解出即可；
（2）由单调递增得，构造函数，求导确定单调性，求得即可证明.
【详解】（1）由题意知：在R上恒成立，
当时，，显然当时，，不合题意；
当时，令得，当且仅当，即，时，
在R上恒成立，故.
（2）由（1）知，，由可得，又为R上的增函数，
则，则，令，
则，
又，故当时，单减，
当时，单增，故，
即，即，即.