陕西省西安市长安区第一中学2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题

这是一份陕西省西安市长安区第一中学2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：100分钟总分：150分
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面的法向量为，，点A不在内，则直线AB与平面的位置关系为（ ）
A．B．C．D．AB与a相交不垂直
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在正项等比数列中，，则数列的前9项和为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线是圆C：的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则等于（ ）
A．2B．5C．D．
7．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A．10B．12C．D．
10．已知实数，命题p：函数的定义域为R，命题q：是的充分不必要条件，则（ ）
A．p或q为真命题B．p且q为假命题
C．且q为真命题D．或为真命题
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，焦距，过点的直线与椭圆交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若以Fx为始边，FM为终边的角，则等于（ ）
A．2B．C．D．4
14．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左，右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（ ）
A．B．四边形的一个内角为60°
C．轴，且D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
15．若“，”是假命题，则实数m的取值范围是．
16．观察下面的数阵，则第16行从左边起第3个数是．
17．已知实数x，y满足约束条件，若目标函数的最大值是5，则实数m的绝对值为．
18．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，则的面积为．
19．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN．现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高米．
20．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为．
三、解答题：本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分12分）
已知数列，，，（，2，3…）．
（1）求、、、；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
22．（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
23．（本小题满分13分）
设F为椭圆C：的右焦点，过点的直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
（2）设直线AF，BF的斜率分别为，，求证：为定值．
24．（本小题满分13分）
已知抛物线C：的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点（其中，与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）．
（1）当时，求证：；
（2）如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于两点，，设△ABF和的面积分别为和，求．
长安一中2022-2023学年度第一学期期中考试
高二年级数学（理科）试题参考答案
一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分．）
15．16．22817．118．19．20．
三、解答题：（共计50分．）
21．（12分）
解：
（1）因为，（，2，3，…）
所以，
同理可得：，，．
（2）由（1）猜想：
下面利用数学归纳法证明：
①当时，，成立；
②假设当时，．
则当时．．
因此当时，命题成立．
由①②可知：，成立．
即的通项公式为．
22．（12分）
解：
（1）因为，
由正弦定理得．
又，所以，
所以，
又，
所以．
（2）因为，
所以
所以．
由正弦定理知，
所以，，
则
因为△ABC为锐角三角形且，
所以，解得．
当时，，，
所以
23．（13分）
【解析】
（1）若B为椭圆的上顶点，则．
又AB过点，故直线AB：
由可得，
解得，
即点，
又，故直线AF：；
（2）设，，
方法一：
设直线AB：，代入椭圆方程可得：
所以，，
故
，
又，均不为0，故，
即为定值．
方法二：
设直线AB：，代入椭圆方程可得：
所以，，
所以，即，
所以，
即为定值．
方法三：
设直线AB：，代入椭圆方程可得：
所以，，
所以．
所以，
把代入得．
方法四：
设直线AB：，代入椭圆的方程可得，
则，
所以．
因为，，
代入得．
24．（13分）
【解析】
（1）设直线l方程为，，，
联立直线l与抛物线C的方程，
消去x，得，
所以．
所以
即．
（2）设直线l方程为，，，
联立直线l与抛物线C的方程，
消去x，得，
故．
设，，
的方程为，
联立直线与抛物线C的方程，
消去x得，
从而，，则，
同理可得，
∴
．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
A
B
C
C
A
B
B
B
D
A
B
C
A
D