2023-2024学年陕西省西安市西安中学高二上学期第二次综合评价数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西安中学高二上学期第二次综合评价数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】由可得抛物线标准方程为：，由焦点和准线方程即可得解.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离为.
故选：C.
2．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】B
【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值.
【详解】因为椭圆的焦点为，
所以双曲线的焦点为，
故，解得.
故选：B.
3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1B．2
C．4D．8
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（ ）
A．1B．C．2D．1或
【答案】B
【分析】根据双曲线的方程写出焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离即可得解.
【详解】不妨取双曲线的右焦点，由题可知，设双曲线的渐近线方程为，
所以右焦点到渐近线的距离，
故选：B
5．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足（），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人
A．225B．255C．365D．465
【答案】B
【解析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和
【详解】解：当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以，
故选：B
6．圆与直线交于A，B两点，则最小值为（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程求出圆的圆心和半径，再求出直线过定点，利用弦长公式和几何关系求最值.
【详解】圆的圆心为，半径，
直线化为，令，所以，
所以直线过定点，
设圆心为，直线过定点为，根据几何关系可知，圆心到直线距离的最大值为，所以弦长最小值为.
故选：D.
7．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可.
【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，
设，则由已知得，由抛物线的定义得，
故，
在直角三角形中，，，
又因为，
则，从而得，
又因为，
所以.
故选：B.
8．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
二、多选题
9．若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】联立直线与双曲线的方程，即可根据方程根的情况求解.
【详解】把直线代入双曲线中，消，得
当，即时，直线与双曲线相交有一个交点
当，，即，时，直线与双曲线相切，有一个交点
的值为，
故选:AD
10．已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】BC
【分析】利用均值不等式求出的最小值，注意n的取值.
【详解】，当且仅当，即时取等，
因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为和，因为对恒成立，所以或.
故选：BC.
11．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ）
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则.
D．若是圆上的任意一点，则的最大值为
【答案】AB
【分析】由点关于直线的对称，直线与圆的位置关系，圆的性质对选项逐一判断，
【详解】圆的方程为，圆心，半径为1，
对于A，关于轴的对称点为，圆关于轴的对称圆为，化简得，故A正确，
对于B，若反射光线平分圆的周长，即反射光线过圆心，入射光线延长线过，
可得入射光线所在直线方程为，故B正确，
对于C，若反射光线与圆相切，则入射光线延长线与圆相切于点，
到的距离为，由对称性得，故C错误，
对于D，到圆心的距离为，由圆的性质得的最大值为，故D错误，
故选：AB
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值是4
B．
C．若，则直线的斜率为
D．的最小值是9
【答案】ABD
【分析】对于A，过点A作C的准线的垂线，垂足为，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B，设直线AB的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根据与系数的关系，从而可求出的值，对于C，由，可得，化简后将选项B中的式子代入可求出的值，从而可求出直线的斜率，对于D，根据选项B中的式子可求得，则化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】由题意知，C的准线方程为，焦点F（1，0），过点A作C的准线的垂线，垂足为，则，故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确；
设直线AB的方程为，，，由得．
所以，，，，
所以，故B正确；
若，又，，所以，解得，则直线AB的斜率为，故C错误；
，所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题
13．已知数列的前项和，则为 .
【答案】16
【分析】根据即可求解.
【详解】,
故答案为：16
14．已知直线与椭圆相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k的值为 .
【答案】/-0.5
【分析】代入消元得关于一元二次方程，再用韦达定理即可.
【详解】设，把代入得，，因为AB中点的横坐标为1，所以，解得.
故答案为：.
15．如图，椭圆的中心在坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率 .
【答案】或
【分析】写出，，求出，根据以及即可求解，
【详解】由题意，，，
所以，，
因为，则，
即，即，
所以，即，
解得或（舍）.
故答案为：
16．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意作图，根据三角形中位线可得，结合椭圆定义以及性质从而解得．
【详解】由题意作图如下，

点是的角平分线上的一点，且，
点是的中点，
设，则，
又点是的中点，
，
由椭圆的定义可知，
，
由于，且P与椭圆的四个顶点不重合，
故或，
．
故答案为：．
四、解答题
17．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线轴上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线与圆相交于，两点．当时，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．
【分析】（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（Ⅱ）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，利用，其中为圆心到直线的距离，即可求出直线的斜率，从而求出直线的方程．
【详解】解：（Ⅰ）设圆心，则，
∵圆经过点和，
，
解可得，，，即圆心，，
故圆的方程为：；
（Ⅱ）∵圆的方程为：，圆心，，
①当直线的斜率不存在时，直线方程为：，
此时，
∴符合题意，
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，即，
∴圆心到直线的距离，
∴，∴，
∴直线的方程为：，
综上所求，直线的方程为：或．
【点睛】本题考查了求圆的方程，考查了已知圆的弦长求直线方程问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
18．一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)45
【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，由题意可得，从而可得点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆，进而可求出其方程；
（2）设，则，再结合的取值范围可求得结果.
【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆与圆外切时，，
当动圆与圆内切时，，
所以，
所以点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆.
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为，
所以，所以，所以，
所以动圆圆心轨迹方程为.
（2）由（1）得，，设，
所以.
因为点在椭圆上，所以，
所以，
所以当时，，
故的最小值为45.
19．记是等差数列的前n项和，若，
(1)求的通项公式，并求的最小值；
(2)设，求数列的前n项和
【答案】(1)，-36；
(2)
【分析】（1）求出，再求出，2，3，4时，时，，即得解；
（2）对分和两种情况讨论得解.
【详解】（1）解：设的公差为d，则，，
，，
由得，，
，2，3，4时，时，，
的最小值为
（2）解：由知，当时，
时，，
，
当时，
当时，，
20．已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程;
(2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及经过的点，联立即可求解；
（2）联立直线与双曲线方程，可得交点坐标，即可根据两点距离公式代入化简求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以双曲线的方程为，即
因为点在双曲线上，所以，所以
所以所求双曲线的方程为即
（2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由 ，得，所以
同理可得，，
所以
21．已知平面上的动点到定点的距离比到直线的距离小1．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，在轴上是否存在定点，使得变化时，直线与的斜率之和是0，若存在，求出定点的坐标，若不存在，写出理由．
【答案】(1)
(2)存在，定点
【分析】（1）由题意可得动点到定点的距离与到直线的距离相等．可得动点的轨迹是抛物线；
（2）设直线方程为，，代入抛物线方程得交点坐标关系，假设存在定点，由斜率关系可得，利用坐标转化与坐标关系可求得为定值，即可确定定点坐标.
【详解】（1）由题意可得动点到定点的距离与到直线的距离相等．
动点的轨迹是抛物线：
点为焦点，直线为准线，
可得方程为：．
（2）由题意可设，直线方程为，，
则，消去得，恒成立，所以，
假设存在点，则设，所以，
于是可得，
故存在定点.