2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．在等比数列中，，公比，则（    ）

A．24 B．48

C．54 D．66

【答案】A

【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.

【详解】．

故选：A

2．曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义求解．

【详解】，时，，所以．

故选：C．

3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ）

A． B．4 C． D．1

【答案】C

【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.

【详解】因为，则可得，

且，，

则可得，解得

故选:C

4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，

则圆心到直线的距离，

因为直线与圆相切，

所以，即，解得或，

即实数取值的集合为

故选:B

5．已知，则n＝（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解.

【详解】解：，整理得，

解得（舍），．

故选：C．

6．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】D

【详解】4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．

故选D.

8．已知数列首项为2，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.

【详解】由已知得，，则当时，有

 ，

经检验当时也符合该式．∴.

故选：D

二、多选题

9．下列四个选项中，不正确的是（    ）

A．数列，的一个通项公式是

B．数列的图象是一群孤立的点

C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列

D．数列，，是递增数列

【答案】ACD

【分析】由可判断A；由数列的通项公式以及可判断B；由数列定义可判断C；

由递减数列定义可判断D．

【详解】对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；

对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；

对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；

对于D，数列，，是递减数列，故选项D错误．

故选：ACD．

10．下列结论中正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.

【详解】选项A中，若，则，故A正确；

选项B中，若，则，

令，则，解得，故B正确；

选项C中，若，则，故C正确；

选项D中，若，则x，故D错误．

故选:ABC

【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式

(1)  (C为常数);

(2)；

(3);  ；

(4);，且)；

(5)； ，且)．

2.常用的导数运算法则

法则1： ．

法则2：．

法则3：

11．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（    ）

A．甲不站两端，共有种排法

B．甲、乙必须相邻，共有种排法

C．甲、乙不相邻，共有种排法

D．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法

【答案】AD

【分析】A选项通过特殊元素法判断；B选项利用捆绑法判断；C选项利用插空法判断；D选项用总情况减去不满足的情况即可.

【详解】A选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；

B选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错误；

C选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错误；

D选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，

共有种排法，正确.

故选：AD.

12．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可.

【详解】连接，

因为点，分别是线段，的中点，

所以，

化简可得，故B错误；

所以，故A正确

，故C错误，D正确；

故选：.

三、填空题

13．已知，1，、，2，、，，，若向量与垂直为坐标原点），则等于__．

【答案】4

【分析】由向量垂直的坐标表示求解.

【详解】，

，

向量与垂直，

，

．

故答案为：4．

四、双空题

14．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．

【答案】         

【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用二次函数的值域求整个函数的值域.

【详解】解：令，可得，故函数的定义域为.

因为在其定义域内为单调减函数，

故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为，

所以函数的单调递增区间为，

当时，，则，

即函数的值域为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.

五、填空题

15．求和：Sn＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.

【答案】2n＋－2

【分析】先化简数列，结合分组求和法即可求解．

【详解】被求和式的第k项为：

所以Sn＝2＝2

故答案为：2n＋－2．

16．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）

【答案】260

【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.

【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，

当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，

所以不同的种植方案共有种，

故答案为：260

【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.

六、解答题

17．已知等比数列的首项为2，前项和为，且.

(1)求；

(2)已知数列满足：，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结果；

（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

因为，所以，

所以，所以，所以.

（2）由（1）得，，所以，……①

所以，……②

①-②，得，

所以.

18．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.

（1）求双曲线的标准方程;

（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线的方程；

（2）由题意设直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的值，再由题意可得参数的值，即求出直线的方程．

【详解】（1）由得，又，则，

故双曲线的方程为．

（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，

设，，，，则，．

因为，

所以，解得，

所以直线的方程为．

19．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？

【答案】24

【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得．

【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成种信号．

20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

【答案】(1)

(2)当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．

【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；

（2）利用导数求得最小值．

【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，

．．

（2），令得或（舍．

当时，，当时，．

在，上单调递减，在，上单调递增．

当时，取得最小值（5）．

当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．

21．三棱柱中，，，线段的中点为，且.

(1)求证：平面；

(2)点在线段上，且，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面；

（2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）三棱柱中，，

在中，，线段的中点为，所以，所以；

因为，平面，平面，，平面，所以平面；

（2）做交于点，

以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，

则，，，

，.

所以，，，

因为，所以，

所以，

设平面的一个法向量，则，

解得，令，则，所以，

设平面的一个法向量，则，

令，则，，所以，

设二面角的平面角为，则

，

由图知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的平面角的余弦值为.

22．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，证明：．

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出不等式，的解集作答.

（2）将不等式等价变形，再分别证明和即可作答.

【详解】（1）依题意，，令，则或.

当时，，则函数在上单调递增；

当时，当时，，当时，，

于是得在，上单调递增，在上单调递减；

当时，当时，，当时，，

因此函数在、上单调递增，在上单调递减，

所以当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，在上单调递增；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2）当时，，，，

令，则，函数在上单调递增，

，，即，

令，，当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即，

于是得，而，因此，，

所以成立.

【点睛】关键点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后分类讨论解不等式是解决问题的关键.