2022-2023学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题

一、单选题
1．已知复数z满足，则（    ）
A．2 B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故选：B.
2．已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（    ）
A． B．0 C．2 D．±2
【答案】A
【分析】由两直线平行的条件计算．
【详解】由题意，，
时，方程是，即，的方程是，两直线重合，舍去，
时，方程可化为，方程化为，平行．
故选：A.
3．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程．
【详解】由题意，又，故解得．
∴渐近线方程为，
故选：C．
4．直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出直线和直线的倾斜角，再求出直线与直线的夹角，再根据对称性即可得出答案.
【详解】解：直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
则直线与直线的夹角为
设直线与直线的夹角为，则，
所以直线的倾斜角为.
故选：B.

5．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V=h（S+4S0+S'），其中S，S'分别是上､下底面的面积，S0是中截面的面积，h为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（    ）
（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）

A．63车 B．65车 C．67车 D．69车
【答案】B
【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法求出所需要的车次.
【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积，中截面积，下底面积，所以该建筑材料的体积为V=立方米，
所以建筑材料重约（吨），
需要的卡车次为，所以至少需要运65车.
故选：B
6．已知均为锐角，且，则（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解.
【详解】解：因为，
所以，
即，
又均为锐角，
所以，即.
故选：D.
7．已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义求得，在中，利用余弦定理求得，在中，再次利用余弦定理即可得解.
【详解】解：由题意可得，
因为，
所以，
因为为椭圆的上顶点，
所以，则，
在中，
，
在中，
，
即，所以，
即椭圆的离心率为.
故选：C.

8．在矩形中，为线段上的动点，过作的垂线，垂足为，则的最小值是（    ）
A．1 B． C． D．4
【答案】A
【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，设（），设，由垂直求得，再计算得出关于的表达式，利用基本不等式可得最小值．
【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，，，，，
在线段上，设（），，
设，则，
因为，所以，，
，
，
时，，
时，，当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值．
综上，的最小值是1.
故选：A．


二、多选题
9．甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如下图，则在这7天中，（    ）

A．乙城市日均气温的极差为3℃
B．乙城市日均气温的众数为24℃
C．甲城市日均气温的中位数与平均数相等
D．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定
【答案】BC
【分析】观察统计图，根据极差、平均数、中位数以及众数的定义，逐个选项判断，可得答案.
【详解】对于A，乙城市日均气温的极差=最高气温-最低气温，故所求气温的极差为，故A错；
对于B，根据众数的定义，可得乙城市日均气温的众数为24℃，故B正确；
对于C，对甲城市的气温进行排列：，则中位数为：，平均数为：，故C正确；
对于D，从图中明显看出乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故D错；
故选：BC
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（    ）
A．抛物线C的准线方程为
B．点F到直线l的距离为
C．∠AOB
D．
【答案】AB
【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线的距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项正确.
直线，即，
到的距离为，B选项正确.
由解得或，
不妨设，
则，
所以，C选项错误.
，D选项错误.
故选：AB
11．已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（    ）
A．当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B．当时，四面体的体积为定值
C．当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D．当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
【答案】BCD
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线线角的余弦值，进而求出正切值；
B选项，证明线面平行，进而得到，四面体的体积为定值；
C选项，先作出辅助线，得到，PE⊥平面ABCD，故设出，利用列出方程，化简后得到轨迹方程，得到当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
D选项，作出辅助线，找到球心，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到外接球的表面积.
【详解】如图1，以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设异面直线CP与AD所成角为，
则，
故，，A错误；

如图2，因为，且，
所以四边形为平行四边形，
故，
因为平面，平面，
所以平面，
故当点P在上运动时，点P到平面的距离不变，

即当时，四面体的体积为定值，B正确；
如图3，过点P作PE⊥BC于点E，连接，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以AB⊥EP，
因为，平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，
设，，其中，
当时，，
整理得：，

故当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
如图4，当时，P为的中点，取BD的中点Q，BC的中点N，连接PN，
则PN，故PN⊥平面ABCD，
因为BC⊥CD，故三角形BCD的外心为点Q，则外接球球心O在过点Q且垂直于平面ABCD的直线上，
故OQ⊥平面ABCD，OQPN，

连接OP，QN，OB，过点O作OMQN交PN于点M，设四面体BCDP的外接球的半径为R，
则OB=OP=R，，OQ=MN，
其中，设OQ=MN=h，则，
由勾股定理得，
故，解得：，
故，，
当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π，D正确.
故选：BCD.
【点睛】立体几何求外接球的表面积或体积问题，要先找到一个特殊平面，一般为直角三角形，矩形或等边三角形，找到外心，从而找到球心的位置，设出未知数，再根据半径相等列出方程，求出半径，进而求出外接球的表面积或体积.
12．过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则（    ）
A．弦AB长的最小值为8
B．△MAB面积的最大值为
C．圆M上一定存在4个点到l的距离为
D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线上
【答案】ABD
【分析】A选项，由圆的几何性质得到当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案；
B选项，由三角形面积公式得到，设是中点，研究得到始终为钝角，且当点与原点重合，取得最小值，由二倍角公式和同角三角函数关系得到此时，结合在上单调性，求出面积最大值即可；
C选项，举出反例；
D选项，设出，求出故四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程.
【详解】变形为，
圆心M为，半径，
因为，故原点在圆内，
故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，
其中，
故，A正确；
由三角形面积公式得：
设是中点，故，当点与原点重合，弦长AB最短，取得最小值，
此时，，
故，此时
由求得取得最小值时为钝角，
所以始终为钝角，
因为在上单调递减，所以当时，面积取得最大值，
最大值为，B正确；

当弦AB与直线垂直时，圆心M到直线l的距离为，
由于半径为，所以在直线l的左侧有2个点到直线l的距离为，
在直线l的右侧，只有1个点到直线l的距离为，
此时圆M上存在3个点到l的距离为，C错误；
设，则四点共圆，且MP为直径，
其中线段MP的中点坐标为，即圆心坐标为，
半径为，
故四点所在圆的方程为：，
化简得：①，
②，
①－②得：，
则直线AB的方程为，
又因为直线AB过原点，将原点代入得：，
故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上，D正确.
故选：ABD
【点睛】已知圆的方程为，为圆上一点，则过点的切线方程为：；
若为圆外一点，则表示切点弦所在方程.

三、填空题
13．已知a>0，若圆(x－a)2+y2=2与圆x2+(y－a)2=8外切，则a=__________.
【答案】3
【分析】由圆心距等于半径和求解．
【详解】圆(x－a)2+y2=2的圆心坐标为，半径为，圆x2+(y－a)2=8的圆心坐标为，半径为，
两圆外切，则，解得（因为），
故答案为：3.
14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：
9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18.
则这组数据的70百分位数是__________.
【答案】13
【分析】利用百分位数的求法即可.
【详解】，所以70百分位数是第11个数据为13.
故答案为：13
15．设函数（a>1）的零点为x0，若x0≥3，则a的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据的单调性和的范围，可得到的不等式，求解即可得到的最小值.
【详解】解：因为，所以在上单调递增，且，所以，即，解得，即.
故答案为：.
16．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，点P的坐标为（2，1），动点A，B在抛物线C上，且PA⊥PB，则FA+FB的最小值是__________.
【答案】
【分析】由PA⊥PB得，从而推得，再由抛物线的定义推得，从而利用换元法及配方法即可求得的最小值.
【详解】依题意，设，
由于与不重合，则，即，
因为PA⊥PB，所以，
则，
由拋物线的定义可得，
设，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.

四、解答题
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且_________，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】选①：根据正、余弦定理整理得，进而可求角A和，再运用正弦定理求，即可根据面积公式求面积；选②：根据余弦定理整理得，分类讨论可求角A和，再运用正弦定理求，即可根据面积公式求面积；选③：根据正弦定理整理得，进而可求角A和，再运用正弦定理求，即可根据面积公式求面积.
【详解】因为，为三角形内角，则，
选①：，展开得，
由正弦定理得，由余弦定理得，
因为为三角形内角，故，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
所以的面积.
选②：，由余弦定理得，故，
因为为三角形内角，故或，
当时，，
由正弦定理得，即，解得，
所以的面积.
当时，，
由正弦定理得，即，解得，
所以的面积，
综上的面积为或.
选③：，
由正弦定理得，
因为为三角形内角，所以，
从而，
显然，所以，
因为为三角形内角，所以.
所以，
由正弦定理得，即，解得，
所以的面积.
18．如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）首先由垂直底面得到，又因为，则由线面垂直的判定定理得到平面，而面，最终证明面面；
（2）在平面中，作于点E，由平面得，又因为，可得平面，故为与平面所成的角，再利用等边三角形三线合一、勾股定理得到的值，最终计算出其正弦值.
【详解】（1）证明：在正三棱柱中，平面，
因为平面，所以.
又，，，平面，
所以平面.
又因为面，
所以面面.
（2）在平面中，作于点E.

由（1）可知平面，
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面.
因此为与平面所成的角.
因为在正三棱柱中，为正三角形，
由平面，平面，得，
所以D为BC的中点，.
在Rt中，，即，
所以与平面所成角的正弦值为.
19．已知圆M过原点O，圆心M在直线上，直线与圆M相切.
(1)求圆M的方程；
(2)过点的直线l交圆M于A，B两点.若A为线段PB的中点，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或.

【分析】（1）根据几何法得到圆心也在直线上，联立直线求出圆心坐标，再计算出其半径长，得出圆标准方程；
（2）设点，利用中点公式表示出，将两点代入圆的方程，则求出点坐标，再计算出直线方程即可.
【详解】（1）因为圆M过原点O，且与直线相切，
所以圆心M在直线上，
又圆心M也在直线上，
联立与，解得，故圆心，
所以半径，
因此圆M的方程为.
（2）设，因为A为线段PB的中点，所以.
因为A，B在圆M上，所以解得或
当时，直线l的方程为；
当时，，故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
20．某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中，，且甲在A，B两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率.
【答案】(1)
(2).

【分析】（1）根据甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为，列出方程，即可求出.
（2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况共3种，第一轮3分，第二轮5分；第一轮5分，第二轮3分；第一轮5分，第二轮5分；求出三种情况概率之和即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，解得.
（2）每轮投篮结束后，甲得分可能为0，2，3，5.
记甲第一轮投篮得分为i分的事件为，第二轮投篮得分为i分的事件为
，则，相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则，且，，彼此互斥.
易得，，
所以.
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.
21．已知圆A：，T是圆A上一动点，BT的中垂线与AT交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点（0，2）的直线l交曲线C于M，N两点，记点P（0，）.问：是否存在直线l，满足PM=PN？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，y=±x+2.

【分析】（1）由椭圆定义确定轨迹是椭圆，然后求出得椭圆方程；
（2）假设存在满足题意的直线，设出直线方程，代入椭圆方程后，由直线与椭圆相交得参数范围，设，应用韦达定理得，求出线段的垂直平分线的方程，由点在这个垂直平分线求得参数值．
【详解】（1）由条件得，
所以的轨迹是椭圆，
且，所以，
所以的方程为.
（2）假设存在满足题意的直线，显然的斜率存在且不为0，
设，
由得，
则，得，
设，
则，

所以的中点坐标为，
因此，的中垂线方程为，
要使，则点应在的中垂线上，
所以，解得，
故，
因此，存在满足题意的直线l，其方程为y=±x+2.
【点睛】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中存在性问题，解决存在问题的方法是先假设存在，在直线与椭圆相交时，设出直线方程，设交点坐标为，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理，把这个结论代入题中其他条件求解．
22．已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为M，N，点满足
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）利用向量数量积列出方程，求出，结合离心率求出，从而得到，求出双曲线方程；
（2）考虑直线斜率不存在，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，求出直线OP方程，表达出直线，联立求出点坐标，计算，将两根之和，两根之积代入，化简得到为定值.
【详解】（1）由题意知，又，
所以，
由，可得，
又，所以，故，
所以双曲线的方程为；
（2）因为，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点，
不合题意，故l的斜率存在，

设l：，
联立得：，
设，
则.
因为，故，①
又，
所以，②
联立①②，解得，
于是



所以为定值.
【点睛】直线与圆锥曲线结合，通常设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，或表达出直线斜率，三角形或四边形面积等，将两根之和，两根之积代入化简，进行解答.