2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京市第二十七高级中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（   ）

A． B．

C． D．2

【答案】C

【分析】求出即得解.

【详解】解：由题意可得，所以，

所以.

故选：C

2．函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，函数，可得，，

可得，所以函数的零点所在的大致区间是．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了零点的存在定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

3．已知椭圆的方程为，弦AB过椭圆的焦点F1，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（    ）

A．8 B．10 C．16 D．20

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义计算周长即可.

【详解】由题意可知的周长为20，

故选:D.

4．如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用表示，即可得出答案.

【详解】解：

.

故选：C.

5．若直线与直线平行，则实数的值为（    ）

A．2或0 B．或1 C． D．2

【答案】C

【分析】根据直线平行建立等式即可得解，注意检验重合.

【详解】由题：直线与直线平行，

所以

，解得：或.

当时，两条直线为与直线重合，所以舍去，

当时符合题意.

故选：C

6．椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.

【详解】设满足题意的直线与椭圆交于两点，

则，，

两式相减得，即.

又直线过，由此可得所求的直线方程为，

所以弦所在直线的方程为，

故选：B.

7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用定义求出，，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，从而得出，在内使用余弦定理可得出与的等量关系，从而得出双曲线的离心率.

【详解】由题意，，，，.

连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，

，，

由余弦定理可得，，，

故选B.

【点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.

8．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案.

【详解】解:因为，,

所以,

所以

故选:C

二、多选题

9．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“”，B=“xy为奇数”，C=“”，则下列结论错误的是（    ）

A．事件A与B互斥 B．事件A与B是对立事件

C．事件B与C相互独立 D．事件A与C相互独立

【答案】BC

【分析】根据对立和互斥事件的定义即可判断AB，根据古典概型以及相互独立事件的乘法公式即可判断CD.

【详解】对于，因为，所以与必是一奇一偶，又当为奇数时，与都是奇数，所以事件和不能同时发生，即与互斥，故A正确；

对于，因为事件和不能同时发生，但它们可以同时不发生，如，即与不对立，故B不正确；

对于的所有可能的结果如下表：

，

，且，故选项C错误；

对于，

，则有与相互独立，故D正确.

故选：BC

10．已知曲线：，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则曲线表示双曲线

B．曲线可能表示一个圆

C．若曲线是椭圆，则其长轴长为

D．若，则曲线中过焦点的最短弦长为

【答案】AD

【分析】由双曲线方程特征知A正确；

假设曲线表示圆，可得所需方程，由方程无解知B错误；

由曲线表示椭圆可确定，进而得到长轴长，知C错误；

由椭圆过焦点最短弦为通径，由通径长为可知D正确.

【详解】对于A，，，，满足双曲线方程，A正确；

对于B，若曲线表示圆，则，方程无解，则曲线不能表示圆，B错误；

对于C，恒成立，若曲线表示椭圆，则，则长轴长为，C错误；

对于D，若，则，则过焦点的最短弦为通径，通径长为，D正确.

故选：AD.

11．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过点（-3，-3）

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．圆与圆恰有三条公切线，则m=4

D．已知圆，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为

【答案】BCD

【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，，

，所以定点为，A错误.

B选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B选项正确.

C选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，

由于、有三条公切线，所以两个圆外切，所以，，C选项正确.

D选项，圆的圆心为原点，半径为.，以为直径的圆的方程为，即，则所在直线方程为，.D选项正确.

故选：BCD

12．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（    ）

A．抛物线的方程为

B．存在直线，使得A、B两点关于对称

C．的最小值为6

D．当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切

【答案】ACD

【分析】根据得到故,A正确，中点在抛物线上，B 错误,，C正确，计算D正确，得到答案.

【详解】,故，,故,A正确；

设,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；

过作垂直于准线于,则，当共线时等号成立，故C正确；

如图所示：为中点，故,故为直径的圆与轴相切，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．已知α为锐角，且cos(α＋)＝，则sinα＝        ．

【答案】

【详解】．

点睛：本题考查三角恒等关系的应用．本题中整体思想的应用，将转化成，然后正弦的和差展开后，求得，代入计算即可．本题关键就是考查三角函数中的整体思想应用，遵循角度统一原则．

14．过点引圆切线，则切线长是           .

【答案】3

【分析】根据切线的垂直关系即可由勾股定理求解.

【详解】把圆的方程化为标准方程得：，

得到圆心坐标为，圆的半径，

，

切线长是，

故答案为：3

15．若圆与圆相切，则的值为    

【答案】或

【解析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果.

【详解】圆的圆心为，半径为；

由整理得，

则圆的圆心为，半径为；

因为两圆相切，

若两圆外切，则有，即，解得；

若两圆内切，则有或，即或（舍），

解得.

故答案为：或.

【点睛】本题主要考查由两圆相切求参数，属于基础题型.

16．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为          ．

【答案】/

【分析】求出球缺的高，根据球缺的体积公式以及圆台的体积公式，即可求得答案.

【详解】由题意知圆台的体积为，

如图可知，则球心到圆台上底面的距离为，

故球缺的高为，

故球缺的体积为，

所以组合体的体积为，

故答案为：．

四、解答题

17．《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试(满分：100分)，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；

（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.

【答案】（1）；（2）平均数，第57百分位数为；（3）.

【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得；

（2）用频率分布直方图中每组数据中间值乘以该组频率相加即得均值，第57百分位数，即频率对应的值，先估算其在哪一组中，然后再根据比例求解；

（3）确定位于区间和的人数，把人进行编号，用列举法写出任取2人的所有基本事件，并得出事件含有的基本事件，计数后可得概率．

【详解】解：（1）由已知，

解得.

（2）测试成绩的平均数

.

测试成绩落在区间的频率为，

落在区间的频率为，

所以设第57百分位数为，有，

解得.

（3）由题知，测试分数位于区间､的人数之比为，

所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示.

从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，，，共10种.

其中“落在区间和”有6种.

所以.

18．在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.

在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若___________.

(1)求A的值；

(2)若边长，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，

（2）由余弦定理结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）若选①：由及正弦定理有：

，

由于，所以，

由于，

即所以所以；

若选②：，

由正弦定理得，

即，

，

又，所以；

若选③：，

由正弦定理得，即，

，，

由于，所以；

（2）由余弦定理得：，即，

，当且仅当时等号成立，

则，

则面积的最大值为

19．如图，在四棱锥中，平面为中点且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）证明：取中点，连接.

因为中，为中点，

所以且.

又因为且，

所以且.

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面平面，

所以平面.

(2)以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.

设，

所以平面的法向量为设.

又，

，设面的一个法向量为，

则有：，

可求得平面的一个法向量为.

设二面角大小为，则，

所以，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的余弦值问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.

20．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上.

(1)求圆C的方程：

(2)若过点的直线m被圆C截得的弦长为，求直线m的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）利用几何法联立直线刚才得圆心，即可求解，

（2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解.

【详解】（1）因为，所以线段的中点坐标为，

直线的斜率，

因此线段的垂直平分线方程是，即.

圆心的坐标是方程组的解.解得，

所以圆心的坐标.

圆的半径长

所以圆心为的圆的标准方程是；

（2）因为直线被圆截得的弦长为，

所以圆到直线的距离.

①当直线的斜率不存在时，，符合题意.

②当直线的斜率存在时，设，

即.

所以，解得

.

直线的方程为或

21．如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程：

(2)过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据定义得出双曲线的方程；

（2）设方程联立方程组应用弦长公式计算弦长即可.

【详解】（1）由题意得在的延长线上，，

在的延长线上，，

轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线,

轨迹的方程为.

（2）设切线的方程为，代入，消元得.

设两点的坐标分别为，

则

所以.

22．已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且.

(1)求抛物线C的方程.

(2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

【答案】(1)

(2)直线的斜率为定值

【分析】（1）根据题意求出点的坐标，代入抛物线方程即可得解；

（2）设，直线，联立方程，利用韦达定理求出，同理可求得，再根据斜率公式计算即可得出结论.

【详解】（1）将点的纵坐标代入中，

解得，

所以，则点到准线的距离为，

所以，

所以，解得，

所以抛物线的方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，

倾斜角互补，则斜率互为相反数，

易知，

设，直线，

则直线，

由整理得，

其中，解得，

已知此方程一个根为1，

所以，即，

同理，

所以，，

所以

，

所以，

所以直线的斜率为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．