2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末模拟（三）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末模拟（三）数学试题

一、单选题

1．过两点和的直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜率公式直接求解即可.

【详解】直线的斜率为．

故选：D.

2．设x为实数，若三个数3，x，12成等比数列，则公比为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】结合等比数列定义列方程求，再求公比.

【详解】由题意，，

当时，公比，当时，公比，所以．

故选：A．

3．若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ）

A．3 B． C．2 D．1

【答案】B

【解析】设，则，解得，故，计算得到答案.

【详解】设，M到坐标原点O的距离为，解得，故.

点M到该抛物线焦点的距离为.

故选：.

【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

4．若圆与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长为（    ）．

A． B． C．6 D．8

【答案】D

【分析】根据题意求得圆的方程，结合圆的弦长公式，即可求解.

【详解】由圆，可得圆心，半径为，

因为圆与轴相切，可得，即，

所以圆心到轴的距离为，

则圆截轴所得的弦长为.

故选：D.

5．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置可设其方程为，由条件列方程求即可.

【详解】因为所求双曲线为等轴双曲线，且焦点在轴上，故设双曲线的方程为，因为双曲线的一个焦点坐标为，所以，

则，即，所以双曲线的方程为．

故选：B．

6．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．为函数的零点 B．为函数的极大值点

C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值

【答案】C

【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由的图象可得，当时，，当时，，

当时，，当时，

所以在和上单调递增，在和上单调递减，

所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；

是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；

是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.

故选：C

7．在数列中，，（，），则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值

【详解】，，，

可得数列是以3为周期的周期数列，，

故选：A

8．已知，其中．设两曲伐，有公共点，且在该点的切线相同，则（    ）

A．曲线，有两条这样的公共切线 B．

C．当时，b取最小值 D．的最小值为

【答案】D

【分析】求得两函数的导函数，，设两曲线的公切点为，由题意得，，从而可求得，即可判断A；进而可求得的关系式，即即可判断B；令，求出函数的单调性，根据函数的单调性即可求得函数的最值，即可判断CD.

【详解】解：由，，，

则，，

设两曲线的公切点为，由题意得，

，即，

由 得，，解得或（舍去），

所以曲线只有一条这样的共切线，故A错误；

，故B错误；

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以当时，b取得最小值，为，

故C错误，D正确.

故选：D.

二、多选题

9．已知圆M：则（    ）

A．圆M可能过原点

B．圆心M在直线上

C．圆M与直线相切

D．圆M被直线截得的弦长等于

【答案】ABD

【分析】依据点与圆的位置关系的判断方法可判断A，把圆心代入直线方程适合方程可判断B，求出圆心到直线的距离可判断C，利用弦长公式求得弦长可判断D．

【详解】对于A，把原点（0，0）代入圆的方程得，所以，解得或，所以当或时，圆M过原点，故A正确；

对于B，由知圆心为，把圆心坐标代入直线，得，所以圆心在直线上，故B正确；

对于C，圆心为到直线的距离，故直线与圆相离，故C错误；

对于D，圆心为到直线的距离，所以弦长，故D正确：

故选:ABD．

10．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．当或10时，取最大值

C． D．

【答案】AD

【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C、D两选项；当时，，有最小值，故B错误.

【详解】解：，，故正确A.

由，当时，，有最小值，故B错误.

，所以，故C错误.

，

，故D正确.

故选：AD

【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.

11．设有一组圆，下列命题正确的是（    ）．

A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上

B．所有圆均不经过点

C．经过点的圆有且只有一个

D．所有圆的面积均为

【答案】ABD

【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，

【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；

令，化简得，

∵，∴，无实数根，∴B正确；

由，化简得，

∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；

由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为

【答案】ABC

【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】对于A．，解得，所以A正确；

对于B．，

当时，，当时，或，

所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．

对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：ABC.

【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

三、填空题

13．直线与平行，则的值为_________.

【答案】

【解析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，解出即可.

【详解】由于直线与平行，则，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.

14．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.

【答案】

【分析】由题易得，再利用计算即可.

【详解】由已知，，所以，故离心率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查求椭圆离心率，解决椭圆的离心率的问题，关键是建立的方程或不等式，本题是一道容易题.

15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．

（结果保留一位小数，参考数据：，）

【答案】2.6．

【详解】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其，公比为 ，其前 项和为 ．

则，

令 ，

化为：，

解得 或 （舍去）．

即： .

所需的时间约为 日.

16．当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围___________.

【答案】

【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根，等价于与有两个不同的交点，构造函数，即可求出结果.

【详解】有两个极值点，

所以有两个不同的实数根，

即有两个不同的实数根，

等价于与有两个不同的交点，

设，

当单调递减，

当单调递增，

所以

当；

所以与要有两个不同的交点，只需

故答案为：

【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.

四、解答题

17．在①对任意满足；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题:已知数列的前n项和为__________，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；若数列不是等差数列，说明理由.

【答案】答案见解析

【解析】分别选择①②③，根据等差数列的定义判断是否能构成等差数列，进而得出通项公式．

【详解】若选择条件①：

因为对任意，，满足，

所以，即，

因为无法确定的值，所以不一定等于，

所以数列不一定是等差数列.

若选择条件②：

由，

则，即，，

又因为，所以，

所以数列是等差数列，公差为，

因此数列的通项公式为.

若选择条件③：

因为

所以，

两式相减得，，，

即，

又，即，

所以，，

又，，所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

所以.

18．已知抛物线．

（1）求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；

（2）过焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，，求的长．

【答案】（1），，；（2）．

【解析】（1）分类讨论，再设出直线方程与抛物线方程联立，即可得到结论；

（2）先求出直线方程，联立方程组，求出点，的坐标，根据两点之间的距离公式即可求出．

【详解】解：（1）由题意，斜率不存在时，直线满足题意，

斜率存在时，设方程为，代入，可得，

当时，，满足题意，

当时，，，直线方程为，

综上，直线的方程为或或；

（2）抛物线的焦点坐标为，

则过焦点作一条斜率为的直线方程为，

联立，解得或，

不妨令，，

．

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．

19．是数列的前项和，．

（1）证明的等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）根据，结合与的关系，求得，再根据等比数列的定义，即可求解；

（2）由（1）和题设条件，求得，结合成公比错位相减法，即可求得数列的前项和.

【详解】（1）因为，所以时，，

两式相减，可得，即，

又由当时，，也满足上式，

所以数列的通项公式，

又由，

所以数列表示首项为，公比的等比数列.

（2）由（1），可得，

所以，

可得，

两式相减，可得，

，

所以数列的前项和.

【点睛】本题主要考查等比数列定义及的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.

20．已知函数（，实数m，n为常数）.

（1）若（），且在上的最小值为0，求m的值；

（2）若，函数在区间上总是减函数，求m的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先求导，求函数在已知区间上的单调性，即可求得最小值，令其等于0，即可求得m的值；

（2）函数在区间上总是减函数，转化为恒成立，再转化为二次函数根的分布问题即可求解.

【详解】（1）当时，.

则.

令，得（舍），，

①当即时，x，，的变化如下：

∴当时，.令，得；

②当即时，在上恒成立，

在上为增函数，当时，.

令，得（舍）.综上所述，所求m为；

（2）对于任意的实数，在区间上总是减函数，则当，

，∴在区间上恒成立.

设，∵，∴在区间上恒成立.

由二次项系数为正，得即，

亦即，，

∴当时，，当时，，

∴当时，，当时，，

即.

【点睛】本题主要考查了利用函数研究函数的最值和单调性，已知最值和单调性求参数范围，属于中档题.

21．已知双曲线

（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；

（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．

【答案】（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.

【分析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；

（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.

【详解】（1）当时，

双曲线方程化为，

所以，，，

所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，

渐近线方程为.

（2）因为，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是．

【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.

22．已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；

（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为.

【解析】（1）求出函数的导数，由题意得出从而可求出实数的值；

（2）令，可得知函数在上有两个零点，分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性和极值，由题意转化为函数极值相关的不等式，解出即可得出实数的取值范围；

（3）将代入函数的解析式得出，对该函数求导得出，构造函数，利用单调性结合零点存在定理找出函数的极小值点，并满足，结合此关系式计算得出，从而可得出整数的最大值.

【详解】（1），

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，得；

（2）因为存在两个不相等的零点.

所以存在两个不相等的零点，则.

①当时，，所以单调递增，至多有一个零点

②当时，因为当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以时，.

因为存在两个零点，所以，解得.  

因为，所以.

因为，所以在上存在一个零点.  

因为，所以.

因为，设，则，

因为，所以单调递减，

所以，所以，

所以在上存在一个零点.

综上可知，实数的取值范围为；

（3）当时，，，

设，则.所以单调递增，

且，，所以存在使得，

因为当时，，即，所以单调递减；

当时，，即，所以单调递增，

所以时，取得极小值，也是最小值，

此时，  

因为，所以，

因为，且为整数，所以，即的最大值为.

【点睛】本题考查利用切线方程求参数、利用导数研究函数的零点，同时也考考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.