2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末数学试题（解析版）

高二学业质量调研考试

数学试题

注意事项：

1.考试时间120分钟，试卷满分150分.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】根据斜率公式计算可得.

【详解】解：因为过两点，的直线的斜率为，

所以，解得.
故选：C

2. 过点且与直线垂直的直线方程为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可.

【详解】解：因为直线的斜率为，

所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为，

所以，所求直线方程为.

故选：A

3. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（）

A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上.

【详解】因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切，

则圆心到直线的距离，即，

所以点坐标满足圆的方程，

所以点圆上，

故选:A

4. 圆与圆的位置关系为（）

A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

【答案】C

【解析】

【分析】利用配方法，求出圆心和半径，根据两圆心之间的距离与两半径的关系判断圆与圆的位置关系．

【详解】由题意可知圆，其圆心，半径，

圆，其圆心，半径，

又，所以圆和圆的位置关系是相交，

故选：C．

5. 设k为实数，若双曲线的一个焦点坐标为，则k的值为（）．

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将双曲线方程化为标准式，由于双曲线的一个焦点为，可得，解出即可

【详解】根据焦点坐标可判断双曲线焦点在纵轴上，则双曲线化为，

双曲线的一个焦点为，

，解得．

故选：B．

6. 若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.

【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为

设，根据抛物线定义有有，∴，

∴点到原点的距离为.

故选：D.

7. 已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.

【详解】由题意可得，所以，且

则，所以

所以等比数列的公比为

故选:B

8. 设为实数，若关于的方程有两个解，则的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，由导数法求出，原命题转化为与有两个交点，可得答案.

【详解】令，则时，；时，.

，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴.

∵关于的方程有两个解，即与有两个交点，

∴，故的取值范围为.

故选：C.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 设是等比数列，则（）

A. 是等比数列 B. 是等比数列

C. 等比数列 D. 是等比数列

【答案】AC

【解析】

【分析】利用等比数列定义可判断A、C、，令，可判断B，取可判断D.

【详解】因为等比数列，所以设其公比为，即．

因为，所以是等比数列，所以A选项正确；

因为，所以是等比数列，所以C选项正确；

当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误；

不妨取等比数列为，则，此时不是等比数列，所以D选项错误.

故选：AC

10. 设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案.

【详解】对于A：，故无论x取何值，不可能等于2，故A错误；

对于B：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；

对于C：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；

对于D：，故无论x取何值，不可能等于2，故D错误；

故选：BC

11. 设为实数，若方程表示圆，则（）

A.

B. 该圆必过定点

C. 若直线被该圆截得的弦长为2，则或

D. 当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断；

对B，点代入方程即可判断；

对C，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解；

对D，结合点线距离公式，由几何法可得圆上点到直线距离的最小值.

【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错；

对B，将代入方程，符合，B对；

对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对；

对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对.

故选：BCD.

12. 已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（）

A. 若点的横坐标为2，则

B. 的最大值为9

C. 若为直角，则的面积为9

D. 若为钝角，则点的横坐标的取值范围为

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离；

对B，最大值为

对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积；

对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.

【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴

对A，时，代入椭圆方程得，，，A错；

对B，的最大值为，B对；

对C，为直角，设，则，则有，

则的面积为，C对；

对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对.

故选：BCD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数，则______.

【答案】0

【解析】

【分析】求出导函数，代入求值即可

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：0

14. 经过两点的椭圆的标准方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】由待定系数法求方程即可.

【详解】设椭圆为，代入两点得，解得.

故椭圆的标准方程为.

故答案为：.

15. 求和：______.

【答案】84

【解析】

【分析】由等比数列及等差数列分组求和即可.

【详解】

故答案为：84

16. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率.

【详解】如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆C于A，则半径.

∵，∴，

则，∴，

∴，化简得.

∴椭圆的离心率为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）求和：.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由求和公式列方程组解得基本量，即可求通项公式；

（2）使用错位相减法求和.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，由，得，

解得，所以.

【小问2详解】

设，由（1）可知

则

两式相减，得

所以

18. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点作圆的切线，求该切线的方程.

【答案】（1）

（2）或.

【解析】

【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，利用两线交点求得圆心坐标、进而求出半径，写出标准方程；

（2）分别讨论切线斜率存在与否，其中斜率存在时，由点线距离列式可解得斜率.

【小问1详解】

由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即上.

由，解得，即，从而，

所以圆的标准方程为.

【小问2详解】

i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；

ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，

则，解得，所以切线方程为.

综上所述，该切线方程为或.

19. 已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为.

（1）试把饮料罐的表面积表示为的函数；

（2）求为多少时饮料罐的用料最省？

【答案】（1）

（2）

【解析】

分析】（1）由体积公式、面积公式消h即可；

（2）由导数法求最小值.

【小问1详解】

由题意知，，即，

，即.

【小问2详解】

，令，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

因此，当时，取得最小值，用料最省.

20. 设为实数，已知双曲线，直线.

（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求的值；

（2）若直线与双曲线相交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求的值.

【答案】（1）的值为

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线有且仅有一个公共点列出方程即可得到结果；

（2）根据题意，由直线与双曲线相交于两点列出方程，再由即可解得的值.

【小问1详解】

，消去得

当时，，成立；

当时，，得

综上：的值为

【小问2详解】

设由（1）知有两个不同的实根，

则，由韦达定理可得

解得

由题意知，即

，其中

即

,将韦达定理代入得，
 

解得，成立.

21. 若数列满足：，对任意的正整数，都有.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由可得，从而即可证明；

（2）根据题意，由（1）可得，从而求得数列的通项公式.

【小问1详解】

由得，

又由，得，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列

【小问2详解】

由（1）可知，即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，

所以，即

22. 设为实数，已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）求函数在上的最大值.

【答案】（1）；

（2）答案见解析
 

【解析】

【分析】(1)对求导，令得，，讨论单调性确定极值点并求极值；

(2) 讨论在上的单调性，求此区间上的极值与端点值，当有两个值都有可能为最大值时，讨论它们的大小确定最大值.

【小问1详解】

当时，，

令得，，

当变化时，的变化如下表：

由上表知，当时，；当时，则.

【小问2详解】

，

当时，

当时，在上单调递增，所以，

当在上单调递减，所以，

当时，在上有两个不相等的实根，令，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增，

而，

当时，，，故，此时，，

当时，，，

所以，此时，，

当时，，，

所以，此时，，

综上：当时，，

当时，.

当时，.

【点睛】用导数研究函数在区间上最值步骤:

(1)对原函数求导，然后令导数等于0，得出此区间上的极值点，

(2)然后通过判断导数的正负来判断单调性，求出极值，

(3)然后再计算端点值，比较极值与端点值的大小，不能确定大小时要分类讨论，它们中的最大就是函数的最大值，最小就是函数的最小值.