2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末模拟（二）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末模拟（二）数学试题

一、单选题

1．过两点和的直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜率定义即可求出两点斜率.

【详解】直线的斜率为.

故选：D．

2．设数列是公比为q的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则公比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据公比的定义求解即可．

【详解】解：数列的连续4项为，

所以公比．

故选：C．

3．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【分析】根据抛物线方程得到值，则得到焦点到准线的距离.

【详解】，，所以焦点到准线的距离为2.

故选：B．

4．圆被直线所截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将圆化为标准方程，得到圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，利用几何法求出圆的弦长即可.

【详解】圆标准方程是，圆心坐标为，圆半径为2，

圆心到直线的距离是，

所以弦长为．

故选：C.

5．若双曲线焦点的坐标为，，渐近线方程为，则双曲线的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题得，根据渐近线方程及关系得到方程组，解出即可.

【详解】双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线的方程为，

则双曲线的渐近线方程为：，又渐近线方程为，所以，

，解得，所以双曲线的方程为．

故选：B．

6．已知，若，则（    ）

A． B． C． D．e

【答案】B

【分析】求的导数，代入导数值即可求解.

【详解】因为．所以，

由，解得e．

故选：B.

7．风雨桥(如图1所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图2是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：，，，，其中，.已知该风雨桥亭共5层，若，，则图2中的五个正六边形的周长总和为（    ）

A．120m B．210m C．130m D．310m

【答案】B

【分析】由题意得图2中五个正六边形的边长(单位：m)构成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列求和公式得到，再根据共有六个边，则得到周长总和.

【详解】由已知得 (且)，

m，易知图2中五个正六边形的边长(单位：m)构成

以为首项，为公差的等差数列．

设数列的前5项和为，则，

所以图2中的五个正六边形的周长总和为m.

故选：B.

8．函数的图象在其零点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的零点，求出函数在该点处的导数值，根据导数的几何意义即可求得答案.

【详解】令，则，即的零点为，

又，而，

故函数的图象在其零点处的切线方程为，即，

故选：B.

二、多选题

9．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．所在直线的方程为

C．四边形的外接圆方程为

D．的面积为

【答案】BCD

【分析】在中利用等面积法得到，即可求出的长度，进而可得，即可判断A选项；求出以为圆心，为半径的圆的方程与圆C做差，即可得到所在直线的方程，进而判断B选项；根据平面几何知识可得四边形的外接圆是以为直径的圆，进而可以求出圆的方程进行判断；求出的长度，利用面积公式即可求出的面积，从而可判断D选项.

【详解】

因为，所以以为圆心，为半径的圆交圆于两点，

因为,

又因为以为圆心，为半径的圆为，

与相减得

所以所在直线的方程为，故B正确；

连接交于，等面积法可得，即，所以，即，所以，故A错误；

四边形的外接圆是以为直径的圆，故圆心为，半径为的圆，故方程为，即，故C正确；

因为，

所以，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】圆的弦长的常用求法：

（1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；

（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.

10．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据等差数列的知识确定正确选项.

【详解】由于，所以，B选项正确.

由于，所以，所以，A选项错误.

由于，，所以当时，，所以，D选项正确.

，C选项正确.

故选：BCD

11．已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（    ）

A．当时，曲线表示椭圆

B．当或时，曲线表示双曲线

C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则

【答案】BCD

【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程，逐项判断正误；

【详解】若曲线：表示椭圆，则且，故A不正确；

若曲线：表示双曲线，则或，故B正确；

若曲线：表示焦点在轴上的椭圆，则，故C正确；

若曲线：表示焦点在轴上的双曲线，则，故D正确；

故选：BCD

12．已知函数，则（    ）

A．函数在原点处的切线方程为

B．函数的极小值点为

C．函数在上有一个零点

D．函数在R上有两个零点

【答案】AD

【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可；对于B，先对函数求导，然后使导函数等于零，再判断增减区间，从而可函数的极值点；对于C，由于当时，恒成立，所以在上无零点；对于D，令，解方程可得其零点

【详解】函数，得，则；

又，从而曲线在原点处的切线方程为，故A正确．

令得或．

当时，，函数的增区间为，；

当时，，函数的减区间为．

所以当时，函数有极大值，故B错误．

当时，恒成立，

所以函数在上没有零点，故C错误．

当时，函数在上单调递减，且，存在唯一零点；

当时，函数在上单调递增，且，存在唯一零点．

故函数在R有两个零点，故D正确．

故选：AD

【点睛】本小题以函数与导数为载体，考查切线方程、极值、零点等基础知识，考查数学建模能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现综合性和应用性．

三、填空题

13．过点且与直线垂直的直线l的方程是________．

【答案】

【分析】根据两直线垂直，斜率乘积为，则得到，直接写出点斜式方程即可.

【详解】因为直线l与直线垂直，所以，解得：，

所以直线l的方程为，即.

故答案为：.

14．经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是________．

【答案】

【分析】由焦点坐标得，由定义得，即可求出双曲线的标准方程.

【详解】双曲线的焦点在轴上，且，

因为双曲线过点，根据双曲线的定义得：，则，

则，所以双曲线的标准方程为

故答案为：.

15．若数列为等比数列，，，则数列的前5项和=______．

【答案】

【分析】根据等比数列概念求出，则求出其通项，根据结论数列也为等比数列，利用求和公式即可得到答案.

【详解】设数列的公比为q，因为，，所以，所以，

所以；因为为等比数列且，

所以为等比数列，首项为且公比为，

所以.

故答案为：.

16．函数在处的瞬时变化率是______．

【答案】6

【分析】根据瞬时变化率的定义计算即可.

【详解】解：函数在处的瞬时变化率为.

故答案为：6.

四、解答题

17．已知各项均为正数的数列，满足且

（1）求数列的通项公式

（2）设，若的前项和为，求

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将－－2＝0分解因式得，因为数列的各项均为正数， 可得，即数列是以2为公比的等比数列，可求出通项公式；

（2）由（1）得，计算出，利用错位相减法求解.

【详解】（1）∵，

∵数列的各项均为正数，

∴，∴，

即

所以数列是以为公比的等比数列.

∵，

∴数列的通项公式.

（2）由（1）及得， ，

∵，

∴①

∴②

②-①得:.

18．已知方程表示双曲线

（1）求实数m 的取值范围；

（2）当m=2时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）由双曲线方程特点得，解得m 的取值范围；（2）双曲线的焦点到渐近线的距离为b,再根据双曲线标准方程求b

试题解析：（1）因为方程表示双曲线，

所以，解得：

故实数m的取值范围为

（2）当m=2时，双曲线方程为

因为双曲线的焦点在x轴上，

所以焦点坐标为；

渐进线方程为

故焦点到渐近线的距离为

【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：

2.已知渐近线 设双曲线标准方程

3.双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.

19．在①对任意满足；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题:已知数列的前n项和为__________，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；若数列不是等差数列，说明理由.

【答案】答案见解析

【解析】分别选择①②③，根据等差数列的定义判断是否能构成等差数列，进而得出通项公式．

【详解】若选择条件①：

因为对任意，，满足，

所以，即，

因为无法确定的值，所以不一定等于，

所以数列不一定是等差数列.

若选择条件②：

由，

则，即，，

又因为，所以，

所以数列是等差数列，公差为，

因此数列的通项公式为.

若选择条件③：

因为

所以，

两式相减得，，，

即，

又，即，

所以，，

又，，所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

所以.

20．已知函数，，．

(1)若，函数在处取得极大值，求实数a的值；

(2)若，求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调增区间是和，减区间是

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出的值即可．

（2）代值，求导，根据导数正负得到函数单调区间.

【详解】（1），令，解得；或，

若函数在处取得极大值，则，解得，

当时，，或，

所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.

此时函数在处取得极大值，满足题意.

故．

（2），则，

当时，和；

当时，，

所以函数的单调增区间是和，减区间是.

21．若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，又，求a，b的值．

【答案】

【分析】结合点差法、列方程，由此求得的值.

【详解】设，

两式相减并化简得，

，①，

由于，所以，即，

，消去并化简得，

需，（*）

，

，

所以，

②，

由①②解得，满足（*）.

所以.

22．已知函数，．设函数与有相同的极值点．

(1)求实数a的值；

(2)若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用导数得出函数的极值点，再令即可得出的值，再进行验证即可；

（2）首先求出与在上的最值，再对分正负讨论，把已知不等式变形等价转化，即可求出参数的取值范围．

【详解】（1）解：因为，

所以，

由得，由得，

所以在上单调递增，在单调递减，从而的极大值为，

又，所以，

依题意，是函数的极值点，所以，解得，

所以，

则当或时，，当或时，，

所以在和上单调递增，在和上单调递减；

所以函数在处取得极小值，

即当时，函数取到极小值，符合题意，故1；

（2）解：由（1）知，由于，，，

显然，

故时，，，

又，，，故，

所以当时，，，

①当时，问题等价于，

所以恒成立，即，

，，故符合题意；

②当时，问题等价于，

即恒成立，即，

因为，．

综上或.