2022-2023学年湖北省随州市曾都区第一中学高二上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省随州市曾都区第一中学高二上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线方程确定p的值，进而确定准线方程.

【详解】由，得，

故所求准线方程为,

故选：C.

2．已知空间向量与共线，则（    ）

A．－1 B．2 C．－2 D．1

【答案】C

【分析】根据向量共线直接计算即可.

【详解】因为空间向量与共线，

所以，解得，，

所以，

故选：C

3．如图所示，在三棱锥中，E，F分别是AB，BC的中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算公式化简可得结果.

【详解】因为E，F分别是AB，AC的中点，

所以， ，

所以，

故选：D．

4．若抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则的值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】先求出椭圆的焦点坐标，进而求出抛物线的焦点坐标，然后求得答案.

【详解】由题意，对椭圆，则c=1，则椭圆的上焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，所以，解得.

故选：A.

5．已知x，y是实数，且，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将方程化为圆的标准方程，则的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，进而根据直线与圆相切求得答案.

【详解】方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与点A连线的斜率，设，即，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB时斜率最大.

此时，，，所以的最大值为.

故选：D．

6．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且曲线，在第一象限内的公共点记为，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据焦点相同得到，，然后利用椭圆和双曲线的定义得到，，即可得到，，再利用余弦定理列方程，解方程得到即可求双曲线的离心率.

【详解】因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以，，

为两曲线的公共点，所以，，联立得，，因为，所以，解得，则双曲线的离心率为.

故选：A.

7．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.

【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，

所以，，

设异面直线与所成角为，

则.

故选：C.

8．设椭圆C：的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么的周长的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的对称性 椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围.

【详解】的周长，

又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点，

所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为，则，

所以，

又因为三点不共线，

所以，

所以的周长的取值范围为，

故选：A.

二、多选题

9．已知方程，其中，则下列选项正确的是（    ）

A．当时，方程表示的曲线是圆

B．当时，方程表示的曲线是双曲线

C．当时，方程表示的曲线是椭圆

D．当且时，方程表示的曲线是抛物线

【答案】BC

【分析】讨论m,n的符号（包括0），并结合曲线方程的特征即可得到答案.

【详解】对于A，当时，方程不表示任何图形，故A错误；

对于B，当，时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，当，时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；

对于C，当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；

对于D，当且时，方程或表示垂直于y轴的两条直线，故D错误．

故选：BC.

10．已知圆 ，直线，则（    ）

A．直线恒过定点

B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1

C．直线与圆有一个交点

D．若圆与圆 恰有三条公切线，则

【答案】AD

【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解.

【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确.

对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为

，故B选项错误.

对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误.

对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确.

故选：AD

11．已知，是双曲线：的左、右焦点，过作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是（    ）

A． B．

C．的离心率等于 D．的渐近线方程为

【答案】BD

【分析】根据题意得，，；由知：，又，，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.

【详解】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，

因为，所以，所以，，A错误，B正确；

由知，所以，又，，

所以，即，所以，解得：，C错误；

所以，所以，所以，所以，

所以的渐近线方程为，D正确．

故选：BD．

12．如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上不与A，重合的动点，则下列选项中正确的是（    ）

A．异面直线CP与所成角的取值范围是

B．当点P运动时，平面平面

C．当点P运动时，三棱锥的体积不变

D．当点P运动时，的面积存在最小值为

【答案】BCD

【分析】对A，先证明，进而找到异面直线所成的角，然后得到答案；

对B，先证明平面，然后根据面面垂直的判定定理得到答案；

对C，先证明平面，进而判断答案；

对D，先证明，然后结合三角形的面积公式求得答案.

【详解】对A，如图1，

因为，所以四边形是平行四边形，则，所以（易知其为锐角）是与所成的角，而若P与A重合，容易判断为等边三角形，，则与所成角的范围是.故A错误；

对B，如图2，

因为平面，所以，又，则面，于是.

因为平面，所以，又，则面，于是.

又，所以平面，当P在线段上运动时，恒有平面，所以平面平面.故B正确；

对C，如图3，

因为，所以四边形是平行四边形，则，而平面，所以平面，当P在线段上运动时，点P到平面的距离d不变，所以三棱锥的体积不变.故C正确；

对于D，如图4，

因为平面，平面，所以，于是三角形的面积，当最小时，三角形面积最小，当P为线段的中点时，，最小，此时三角形的面积最小，最小值为.故D正确．

故选：BCD.

三、填空题

13．若向量，，，且向量，，共面，则______．

【答案】##

【分析】由向量共面的性质列出方程组求解即可.

【详解】因为，，共面，所以存在实数x，y，使得，得，

解得

∴   ．

故答案为：

14．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.

【答案】

【分析】设抛物线方程为，求出双曲线的焦点，即抛物线的焦点，从而可得出答案.

【详解】解：由已知可知双曲线的焦点为，

设抛物线方程为，则，

所以，

所以抛物线方程为.

故答案为：

15．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为1，则的方程为___________.

【答案】

【分析】由题意可列出关于与的等式，解出与，即可求出的方程.

【详解】由的面积为7，得，即.又离心率为，所以，所以，故的方程为.

故答案为：.

16．已知双曲线的中心在坐标原点，左右焦点分别为，渐近线分别为，过点且与 垂直的直线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为________．

【答案】

【分析】判断出三角形的形状，求得点坐标，由此列方程求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】依题意设双曲线方程为，

双曲线的渐近线方程为，右焦点，

不妨设.

由于，所以是线段的中点，

由于，所以是线段的垂直平均分，

所以三角形是等腰三角形，则.

直线的斜率为，则直线的斜率为，

所以直线的方程为，

由解得，

则，即，

化简得，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：

四、解答题

17．已知圆C的圆心在直线上，且过点，．

(1)求圆C的方程；

(2)过点作圆C的切线，求切线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)由圆心在直线上，设，由点在圆上，列方程求，由此求出圆心坐标及半径，确定圆的方程；(2)当切线的斜率存在时，设其方程为，由切线的性质列方程求，再检验直线是否为切线，由此确定答案.

【详解】（1）因为圆C的圆心在直线上，设圆心的坐标为，

圆C过点，，所以，即，

解得，

则圆心，半径，所以圆的方程为；

（2）当切线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

因为直线和圆相切，得，解得，所以直线方程为，

当切线的斜率不存在时，易知直线也是圆的切线，

综上，所求的切线方程为或．

18．已知椭圆的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，可知，可得，再根据椭圆的性质可得，由此即可求出离心率；

（2）将直线与椭圆方程联立，由韦达定理得到，，再根据弦长公式，建立方程，即可求出的值，进而求出椭圆方程.

【详解】（1）解：由题意可知，椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为、，

∴，即，则．

又，∴，所以椭圆的离心率；

（2）解：设，，由得：，

∴，，，

∴，

解得，∴，满足，

∴，∴椭圆C的方程为．

19．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．

(1)求证：；

(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，然后利用线面垂直的性质即得；

（2）利用坐标法，求出平面ACD的法向量，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.

【详解】（1）在直角梯形ABCD中，，，，

所以，，

∴，

∴，

∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，

∴平面ABD，又∵平面ABD，

∴；

（2）由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，

由条件可得，，，，

∴，，

设平面ACD的法向量，则，，

∴，即，

令，可得平面ACD的一个法向量为），又，

∴点M到平面ACD的距离为．

20．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD．

(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；

(2)若折成二面角的大小为45°，是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°，若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)点O在EA的延长线上且

(2)存在，答案见解析

【分析】（1）根据平面的公理2可确定点O的位置，根据三角形全等求得OA的长；

（2）先作辅助线，证明DH⊥平面ABFE，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，求出平面EMC的一个法向量，利用空间量的夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，

所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，延长EA，FM交于点O，如图所示．

因为AO//BF，M为AB的中点，所以，

所，即M是OF的中点,则，

故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2，

（2）过D作DH⊥AE于点H，

由已知可得，又，∴EF⊥平面ADE,

则 即为折成的二面角的平面角，，

又平面ADE,  ∴，则DH⊥平面ABFE

以H为坐标原点，以HA，HD所在的直线分别为x轴，z轴,，过点H在平面ABFE内作AE的垂线作为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则

∴，

设，则

设平面EMC的法向量为 ，

即 ，

取，则，∴平面EMC的一个法向量为，

要使直线DE与平面EMC所成的角为45°，则，即，

解得：或，∵，∴，

∴存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°．

21．已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解；(2)结合已知条件设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再设出直线NH的方程，求出N点坐标，进而求出，然后表示出，再利用换元法和均值不等式求解即可.

【详解】（1）设点的坐标为，

∵，

∴点P在线段QF的垂直平分线上，

∴，

又∵，∴

∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，

∴，

∴曲线的方程为：.

（2）设直线AB方程为，，

由，解得，

，解得，

由韦达定理可知，，，

∴

∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为，

令，得，∴，

又由，∴，

∴

设则

∴

当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足，

故，

所以直线AB的方程为：，即或.

22．已知双曲线过点，且C的渐近线方程为．

(1)求C的方程．

(2)A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，与y轴分别交于M，N两点，证明：以为直径的圆过两个定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由C的渐近线方程得出，设C的方程为，将点代入可得，即可得方程；

（2）根据点斜式写出直线，方程，从而得到M，N两点坐标，写出以为直径的圆方程表达式，即可证明结果．

【详解】（1）由C的渐近线方程为，得，

故可设C的方程为，

将点代入可得，

故C的方程为．

（2）证明：设，

则直线的方程为，

令，得，则，

直线的方程为，

令，得，则．

设是以为直径的圆上任意一点，

则，

即，

，

即，

因为在C上，所以，则，

所以，令，得．

故以为直径的圆过两个定点，且这两个定点的坐标分别为