2022-2023学年湖北省黄冈市红安县第一中学高二上学期元月考试数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省黄冈市红安县第一中学高二上学期元月考试数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.

【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，

故选：D.

2．，，若，则（    ）

A．1 B．1或2 C．1或3 D．3

【答案】D

【分析】利用直线平行的性质求解即可.

【详解】因为，，，

当，即时，，此时与不平行；

当，即时，有，解得，

经检验，当时，，

所以.

故选：D.

3．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒

【详解】由题知圆心为，半径，

∴圆的方程为﹒

故选：A﹒

4．已知等差数列中，，公差，则数列的前4项和（    ）

A．15 B．30 C．50 D．75

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项，再求出前4项和作答.

【详解】等差数列中，，公差，则首项，

所以数列的前4项和.

故选：C

5．已知分别为椭圆的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可得即，化简即可求出答案.

【详解】解：∵

∴，即

∴∴，∴.

故选：A.

6．已知正三棱柱，为棱上靠近点的三等分点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算直接求解即可.

【详解】.

故选：C.

7．已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，若（为坐标原点），则该直线的斜率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】设出直线，表示出面积，解方程即可

【详解】易知，设直线为，即

所以到的距离为

设，联立

得

所以

故选：D

8．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．

【详解】解：由等差数列的性质可得，．

故选：C．

二、多选题

9．关于直线，下列说法正确的有（    ）

A．过点 B．斜率为

C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1

【答案】BC

【分析】A. 当时，，所以该选项错误；

B. 直线的斜率为，所以该选项正确；

C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    

D. 当时，，所以该选项错误.

【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；

B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；

C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    

D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.

故选：BC

10．已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（    ）

A．的实轴长为 B．的离心率为

C． D．的焦距为

【答案】AD

【分析】根据双曲线方程及一条渐近线求出，写出双曲线方程，根据双曲线的定义、性质即可判断各项的正误.

【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为，

∴，故，

∴双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则有，焦距为.

∴A、D正确，B、C错误.

故选：AD

11．如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，，P，D三点共线

B．当时，

C．当时，平面

D．当时，平面

【答案】ACD

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案.

【详解】由题意，如图建系：

则，

，

设，，则，

可得，

，

对于A：当时，则点P为对角线的中点，

根据长方体性质可得三点共线，故A正确；

对于B：当时，

∴，解得，

所以，

则，

因此不正确，故B错误；

对于C：当时，，

设平面的法向量为，

，

∴，，

当时，，，故，

∴，∴，

又平面，∴平面，故C正确；

对于D：当时，可得，，

设平面的法向量为，

则，，

取，则，∴，

而，∴，∴平面，故D正确．

故选：ACD

12．已知数列的前项和为，下列说法正确的（　　）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，则

【答案】BC

【分析】对于A，求出，, 即可判断；

对于B，利用求出通项公式，再验证是否满足2，即可判断；

对于C，根据等差数列的求和公式即可判断；

对于D，当时，可得，即可判断．

【详解】解：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；

对于B，若，则，当时，，满足2，

所以，则是等比数列，B正确；

对于C，是等差数列，则，C正确；

对于D，若是等比数列，当时，则，D错误.

故选：BC．

三、填空题

13．数列的前项和，则的通项公式___________.

【答案】

【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案.

【详解】由题意数列的前项和，则，

当时，，

不适合上式，

故的通项公式，

故答案为：

14．经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为____________．

【答案】

【分析】由圆得到圆心，利用斜率计算公式可得，由于点为弦的中点，利用垂径定理及其推论可得．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得，再利用点斜式即可得出直线的方程．

【详解】解：由圆得到圆心，，

点为弦的中点，，则．

弦所在直线方程为，化为．

故答案为：．

15．已知分别为双曲线的左右焦点，l经过交双曲线右支于A，B两点，且，则b=___________.

【答案】

【分析】作图，根据几何关系列方程即可求出b.

【详解】依题意作下图：

根据条件，显然有 ， ，

设，依题意得，，，

在 中， ，

，在 中， ，   ，

；

故答案为： .

16．引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为___________.

【答案】

【分析】第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，这两人每人得到球的概率为，如果球传到乙，则乙不能传到乙，所以第次由乙传球的概率与第次由乙传球的概率的关系为.

【详解】解：设为第n次传球，重新由乙同学传球的概率，

，

，

，

，

如果球传到乙，则乙不能传到乙，只能随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以第次由乙传球的概率与第次由乙传球的概率的关系为：，

.

故答案为：.

四、解答题

17．在等差数列中，，前12项的和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.

【答案】(1)；

(2)3332.

【分析】（1）根据已知求出，即得解；

（2）求出，再利用分组求和求解.

【详解】（1）解：设公差为，因为，前12项的和，

所以，解得，

所以.

（2）解：由题意得，所以，

所以数列前8项的和为

=.

18．今年两会期间，国家对中小学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣，为了响应国家的号召并进一步提高学生的综合素质，某校开设了俯卧撑训练课，分别从该校的5000名学生中，利用分层抽样的方式抽取100名学生，统计在2分钟内所做俯卧撑个数的频率分布直方图，如下图所示.

（注；若某个学生在2分钟内可做俯卧撑个数大于等于30视为优秀，位于20—30之间视为合格，小于20视为不合格，假设不考虑不同年级不同性别学生之间的个体差异）

(1)若该校高一，高二，高三的人数分别为1500，1500，2000，以频率为概率估计

①开设该训练课前高一学生中不合格的人数；

②开设该训练课后全校学生合格的人数；

(2)若随机选取4名学生，其中包含1名女生，3名男生，再从这4名学生中挑选2名学生，请用列表法，求该女生被选中的概率.

【答案】(1)①300人；②4500人

(2)

【分析】（1）由开设前后的频率分布直方图，可得不合格人数和合格人数的频率，结合总人数和三个年级的人数，可估计所求人数；

（2）将抽取结果列表表示，根据基本事件总数和包含女生被抽中的基本事件数，求得概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，开设该训练课前高一学生中不合格的人数（人）；

开设该训练课后全校学生合格的人数（人）.

（2）列表如下：

由表可知，共有12种等可能的结果，其中挑选的人中包含了女生的有6种结果，

所以所求概率为.

19．如图四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，.

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)若BE与平面ABCD所成角为，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知可得且,由线面垂直的判定定理即可得到证明;

（2）以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

因为四边形ABCD是正方形，所以

又因为，平面BDE，平面BDE，

所以AC⊥平面BDE

（2）底面，平面，

，

四边形ABCD是正方形，

故DA，DC，DE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为BE与平面ABCD所成角为，平面，且垂足为，

故，所以.

又，所以，

所以，，，，，

所以

设平面BEF的一个法向量，

则，令，则

因为AC⊥平面BDE，

所以为平面BDE的一个法向量，.

所以，

所以，

所以二面角的正弦值为.

20．已知抛物线上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为，．求的值．

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）由焦半径公式求C的方程；

（2）设直线AB方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出，，代入中化简求值即可.

【详解】（1）设点，则，所以，解得．

因为，所以．所以抛物线C的方程为．

（2）由题知，，，直线AB的斜率必存在，且不为零．

设，，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为，

由，得．

所以，，

且，即．

所以

所以的值为0．

21．设数列的前项和为，

(1)求的通项公式；

(2)若数列，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，可求得；当，由可证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果；

（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果.

【详解】（1）当时，，解得：；

当时，，即，

数列是以为首项，为公比的等比数列，.

（2）由（1）得：，

，，

，

.

22．已知椭圆：()的左右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的一点，，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由，，，解得椭圆的标准方程为；（2）设出点，表示出直线，的方程，再分别求出点，的坐标，表示出和，化简即可得定值.

【详解】（1）由题意可知，，

所以，，，

所以椭圆方程为；

（2）证明：由（1）知，，，由题意可得，

因为，则，直线的方程为

当，得；从而.

直线的方程为.

令，得.从而.

∴

.

所以为定值.

【点睛】关键点睛：求解椭圆动点相关问题时，一般先要设出动点坐标，得关于动点满足的方程，然后根据题意列出与动点相关的式子，再将动点满足的方程代入化简即可求解.