2022-2023学年湖北省襄阳东风中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳东风中学高二上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．已知为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由平方关系计算出，再由诱导公式得出答案.

【详解】由为锐角得，所以，

.

故选：C.

2．已知直线和平面，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及线面垂直的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若，则与可能相交，所以A不正确；

对于B中，若，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得，所以B正确；

对于C中，若，则或，所以C不组合却；

对于D中，若，只有当与相交时，才能得到，

所以D不正确.

故选：B.

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可.

【详解】因为，所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题.

4．在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ）

A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状．

【详解】∵，所以，又，∴，

∵，∴，

，，∴，从而，为等边三角形，

故选：C．

5．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角是（    ）．

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】D

【解析】连接，由长方体的结构特征易得，从而是异面直线与所成角，然后在中求解.

【详解】如图所示：

连接，由长方体的结构特征得，

所以是异面直线与所成角，

因为，，

所以，

即，

所以，

故异面直线与所成角

故选：D

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.

【详解】由，

得，

则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当时，排除C，

故选：D.

7．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.

【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，

则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，

所求概率.

故选：C.

8．正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的最大值.

【详解】连接，如下图所示：

设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，

由向量线性运算可知

正方体的棱长为2，则球的半径为1，，

所以

，

而

所以，

即，

的最大值为2

故选：B

二、多选题

9．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则或

B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则

C．若，则的虚部为

D．若，则点的集合所构成的图形的面积为

【答案】BD

【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D.

【详解】A中，令，则，故A错误；

B中，若点Z的坐标为，则，所以，

整理得，所以，解得，

所以，故B正确；

C中，易知的虚部为，故C错误；

D中，记，则

所以，

圆的面积为，圆的面积为，

所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.

故选：BD

10．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ）

A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件

B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件

C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件

D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件

【答案】AC

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案

【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；

对于B，事件“第一次击中”与事件“第二次击中”可以同时发生，故B不正确；

对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.

故选：AC

11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是

C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】BD

【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；

根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；

利用向量夹角公式计算可知C错误；

根据法向量的求法可知D正确.

【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；

对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；

对于C，，，

即和夹角的余弦值为，C错误；

对于D，设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为，D正确.

故选：BD.

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图像的一个对称中心是．

B．函数在区间上单调递减；

C．直线是函数图像的一条对称轴；

D．将函数的图像沿x轴向左平移个单位长度，将得到函数的图像．

【答案】AC

【分析】根据正弦函数的对称性以及单调性分别代入检验判断，将函数的图像沿x轴向左平移个单位长度，将得到函数整理判断．

【详解】的对称中心即为的零点，则，A正确；

，则，在单调递增，B不正确；

在对称轴处取到最值，则，C正确；

将函数的图像沿x轴向左平移个单位长度，将得到函数，D不正确

故选：AC．

三、填空题

13．已知向量，若，则实数的值为__________．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及坐标表示，列式求解作答.

【详解】向量，则，，

因为，则，解得，

所以实数的值为.

故答案为：

14．求值：2+=____________．

【答案】-3

【分析】利用对数、指数的性质和运算法则求解．

【详解】解：（）lg（1）lg1

[（）3]2+（）0

2+1

＝﹣3．

故答案为﹣3．

【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．

15．已知正数，，函数（且）的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值为________.

【答案】

【分析】求出A的坐标，代入直线方程即可得，从而所求式子整理成，结合基本不等式即可求出最小值.

【详解】因为函数，恒过点，

所以，

代入直线的方程得，其中，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为:

16．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____

【答案】4

【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．

【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），

（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），

∵λ，∴﹣2，∴b，

∴N（0，，0），（，，），（，0），

∵MN⊥AD，∴10，

解得实数λ＝4．

故答案为4．

【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

四、解答题

17．已知向量，．

(1)若，求．

(2)若向量，，求与夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用向量垂直充要条件求得m的值，再利用向量的数量积去求的值；

（2）先利用向量平行充要条件求得m的值，再去求与夹角的余弦值．

【详解】（1）因为，，所以，．

由，可得，即4(m＋2)－6＝0，

解得， 所以，故．

（2）依题意得

因为，所以3(2m－2)＋2×9＝0，解得m＝－2，

则，，

所以，

故与夹角的余弦值为．

18．已知函数的部分图像如图所示：

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值及函数取最大值时相应的x值．

【答案】（1）；（2）时，函数在区间上的最大值为2．

【分析】（1）根据函数的最值求出的值，根据函数的最小正周期求出的值，根据函数的最值点求出的值即得解；

（2）首先求出，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最大值及函数取最大值时相应的x值．

【详解】解：（1）如图可知，，

∴．

∵，

∴，

即函数解析式为；

（2）根据图象变换原则得，

∵，

∴，

∴，

当，即时，函数在区间上的最大值为2．

19．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】（1）取的中点，连接、、，根据面面垂直的性质可知平面，从而，由勾股定理可求得，又，满足线面垂直的判定定理则平面，根据线面垂直的性质可知；

（2）由（Ⅰ）可知，，根据二面角平面角的定义可知是二面角的平面角，然后在三角形中求出此角即可；

（3）设点到平面的距离为，连接，则根据等体积得，建立关于的等式解之即可得到点到平面的距离．

【详解】（1）取的中点，连接、、．

为正三角形，，

平面平面，平面

四边形是矩形

、、均为直角三角形

由勾股定理可求得：，，

又平面

（2）由（1）可知，

是二面角的平面角

二面角为

（3）设点到平面的距离为，连接，则

，

而，

在中，由勾股定理可求得

，所以：

即点到平面的距离为.

【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找作证指求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离.

20．为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩(满分100分)做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．

请大家完成下面问题：

(1)求参赛同学的平均数与中位数(小数点后保留2位)(以每个区间的中点作为本区间的取值)；

(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．

【答案】(1)平均数为分，中位数为分

(2)

【分析】（1）先利用频率和为1求出，分别套公式求平均数和中位数；

（2）列举基本事件，利用古典概型求概率．

【详解】（1）由题意得，可得，

所以，平均数为分，

由，，

则中位数位于，

若中位数为x，则，可得分．

（2）由（1）知：与的样本比例为5∶2，

所以7个个体有5个取自，2个取自，

若中5个分别为a，b，c，d，e，中2个分别为x，y，

则从中抽取2人的所有组合为{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21种情况，

其中两人至少来一人自为{xy，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey}，11种情况；

所以抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率为．

21．如图，已知长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，使得平面⊥平面.

（1）求证：；

（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.

【答案】（1）见解析；（2）为中点．

【详解】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.                                         

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM   

∴BM⊥平面ADM                                                  

∵AD⊂平面ADM  

∴AD⊥BM.                                 

（2）建立如图所示的直角坐标系

设，则平面AMD的一个法向量，

，

设平面AME的一个法向量则取y=1，得

所以，

因为，求得，

所以E为BD的中点.

22．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理进行边化角，整理得，根据角A的范围即可确定角A；（Ⅱ）利用正弦定理用a、b、c表示出、带入所给等式得到关于边的式子①，再利用余弦定理表示出，两式联立可求出边a，a的值带入①式利用基本不等式可求得的范围，从而求得面积的最大值.

【详解】（Ⅰ）由及正弦定理得：

，

因为，，所以，，

所以，又，所以；

（Ⅱ）由正弦定理，

，，

由得：

，

即①，由余弦定理得，

，则，解得，

带入①式可得，

即，得，当且仅当时，取等号，

，面积的最大值为．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、利用基本不等式求三角形中的范围问题，属于中档题.