2022-2023学年湖北省孝感市应城市第一高级中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省孝感市应城市第一高级中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．袋子里装有大小质地都相同的个白球，个黑球，从中不放回地摸球两次，用表示事件“第次摸得白球”， 表示事件“第次摸得白球”，则与是（ ）
A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件
【答案】D
【分析】根据相互独立的乘法公式即可判断.
【详解】由题意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故与不相互独立，同时与可以同时发生，也不对立，
故选：D
2．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是B．恰好有一人做对的概率是
C．两人都做错的概率是D．至少有一人做对的概率是
【答案】B
【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A;根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B,C,D.
【详解】甲、乙两名同学做同一道数学题，
设事件A表示“甲做对”，事件表示“乙做对”，则，，
对于A，两人都做对的概率为，故A正确；
对于B，恰好有一人做对的概率为：
，故B错误；
对于，两人都做错的概率为：
，故C正确；
对于，至少有一人做对的概率是：
，故D正确．
故选：B．
3．空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】使用空间向量线性运算知识进行求解即可.
【详解】如图所示，
已知空间四边形中，，，，
则
，
∴，
故选：B.
4．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.
【详解】解：由题得, ,
．
故选：B
5．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则lg3|xyz|等于（ ）
A．－3B．－1
C．1D．3
【答案】A
【分析】连接AG，利用空间向量的加法和减法，用，，表示向量，再根据＝x＋y＋z，求得x，y，z即可.
【详解】如图所示：
连接AG，
则，
，
所以，
所以，
故选：A
6．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先把直线的一般式方程转化为斜截式方程，即可得到直线的斜率，再运用三角函数值的诱导公式化简斜率，就可得到直线的倾斜角.
【详解】直线，即，
所以，
故直线的倾斜角是.
故选：D．
7．设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
直线恒过点
且斜率为
由图可知，且
故选
点睛：本题主要考查了两条直线的交点坐标，直线恒过点，直线与线段没有交点转化为过定点的直线与线段无公共点，作出图象，由图求解即可．
8．的三个顶点分别为，如果直线将分割成面积相等的两部分，则实数的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设直线与交于，与交于，求出的坐标，及的长，
由此可得，即可得到实数的值.
【详解】
所在的直线方程为，
设直线与交于，与交于，
则，
又点的坐标为，点的坐标为
，
又,
由
解得：或（舍）.
故选：A.
二、多选题
9．将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（ ）
A．三次都出现相同数字的概率为
B．没有出现数字的概率为
C．至少出现一次数字的概率为
D．三个数字之和为的概率为
【答案】BCD
【分析】利用古典概型的概率公式与对立事件的概率性质逐一验证即可
【详解】由题意知：实验发生所包含的事件为3个均匀的正四面体与底面接触，共有种结果；
三次都出现相同数字的事件为：111,222,333,444，共4种结果，三次都出现相同数字的概率为，故A错误；
没有出现数字，即这3次抛掷出的均为2，3，4中的其中一个，共有种，没有出现数字的概率为，故B正确；
至少出现一次数字的概率为，故C正确；
三个数字之和为的事件为：441，414，144，333，432，423，234，243，342，324共10种，三个数字之和为的概率为，故D正确；
故选：BCD
10．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据空间四点共面可得，即，判断A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判断C,D.
【详解】由题意知
，
即共面，则为基底表示时，系数和为1，
由，可知， ，即，A正确；
由，，可知仅当时，有，
比如当时，即不成立，故B错误；
又由基本不等式可得 ， ，当且仅当，时等号成立，
故C错误， D正确．
故选：AD．
11．已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（ ）
A．0B．1C．D．4
【答案】AB
【分析】利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离d的表达式，再借助均值不等式求出d的取值范围即可逐项判断作答.
【详解】依题意，直线l方程化为：，
于是得：
，当且仅当时取“=”，
因，显然不成立，则，而当时，点P在直线l上，即，
因此，，所以选项中只有0或1满足.
故选：AB
12．圆C方程：，P为圆上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为
B．P点到A点距离的最小值为
C．的最大值为
D．圆C的内接正三角形的面积为
【答案】BD
【分析】设，当与相切时，有最值判断选项AB，根据表示的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率判断C，根据圆的半径为1，得到圆C的内接正三角形的边长为求解判断.
【详解】因为圆C方程：，
所以，圆心，半径为1，
设，当与相切时，有最值，
，，
所以的最大值为，选项A正确；
P点到A点距离的最小值为，选项B错误；
因为表示的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，所以直线与圆C相切时，k有最值，
当直线与圆相切时，有，所以，
所以的最大值为，所以C选项正确；
因为圆的半径为1，所以圆C的内接正三角形的边长为，所以圆C的内接正三角形的面积为，选项D错误；
故选：BD.
三、填空题
13．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.
【答案】0.79.
【解析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴，
解得.
∴a的最大值是0.79.
故答案为：0.79.
【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题
14．已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则此直线的方程为__________．
【答案】或
【分析】按照直线是否过原点分类讨论，不过原点时可设截距式方程求解．
【详解】当此直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距都等于，显然成立，
所以直线斜率为且过原点，所以直线解析式为，化简得； ，
当直线不过原点时，由在轴上的截距是在轴上的截距的3倍可设直线方程为，
因为直线过，
所以，解得，
化简得：
故答案为：或
15．过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是__________.
【答案】
【详解】试题分析：的中点为，斜率为，所以的垂直平分线的方程为，化简得，联立，解得圆心坐标为，半径为，故圆的方程为.
【解析】直线与圆的位置关系.
16．在空间直角坐标系Oxyz中，点在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，则四面体PABC的体积为______________.
【答案】2
【分析】将物体放入长方体中，切割处理求得体积.
【详解】
如图所示：四面体PABC可以看成以1,2,3为棱长的长方体切去四个全等的三棱锥，
所以四面体PABC的体积为.
故答案为：2
四、解答题
17．已知直线与直线的交点为．
(1)求过点且到点的距离为的直线的方程；
(2)求过点且与直线平行的直线的方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)先求两条直线的交点,设所求直线斜率，利用点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出，从而确定直线方程；
(2)根据直线平行求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即可.
【详解】（1）联立与的方程，得，解得，，的交点为．
当直线的斜率不存在时，满足题意；
当直线的斜率存在时，可设所求直线的方程为，即 到直线的距离为1， ，解得， 直线的方程为．
综上直线的方程为或．
（2）过点且与平行的直线的斜率为，所求直线的方程为，即．
18．已知向量，，.
（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.
【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.
(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.
【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.
且.
因为向量与垂直,
所以.
即.
所以实数和的值分别为和.
(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.
因为,
所以
所以实数的值为.
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.
19．已知△的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.
（1）求点坐标；
（2）求边所在的直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设点，由线段的中点在直线上可得出关于实数的等式，可求得实数的值，由此可求得点的坐标；
（2）求出点关于直线的点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.
【详解】（1）由题意可知，点在直线上，设点，
线段的中点坐标为，
由题意可知，点在直线上，则，
解得，则，所以，点的坐标为；
（2）设点关于直线的对称点为点，则点在直线上，
由题意可得，解得，即点，
直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】解决点关于直线对称问题要把握两点：点与点关于直线对称，则线段的中点在直线上，直线与直线垂直．
20．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图
(1)求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160的概率.
【答案】(1)，平均数为
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图求解即可；
（2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可
【详解】（1）.
平均数为，
即这100名学牛身高的平均数为；
（2）身高在的学生有人，身高在的学生有人，
故身高在的学生共有50人，
用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为1，2，
从身高在的学生中抽取名，记为.
从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种，
其中这2人中至少有1人身高不低于的结果有9种.
故所求概率.
21．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，四边形菱形，，平面平面．
(1)求证：；
(2)棱（除两端点外）上点，且二面角余弦值为，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点面距离即可.
【详解】（1）连接，因为平面平面，且交线为，
而，平面，
所以平面，平面，
所以，
又因为四边形为菱形，
则，，平面，故平面，
因为平面，
故．
（2）以为坐标原点，，分别为轴，过作面的垂线，垂直向上的方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，设，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令
得，．
平面的一个法向量可取．
故，，整理得
解得，或舍，
故
所以，点到平面的距离为.
22．如图，设直线：，：.点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数）.
（1）求实数的取值范围；
（2）设，求面积的最小值；
（3）是否存在实数，使得的值与无关?若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）（3）存在，
【分析】（1）由直线的方程为，求出交点坐标后由纵坐标为正可得的范围．
（2）在（1）基础上，求出后可得面积，令换元后由基本不等式可得最小值．
（3）在（1）基础上，求出，不论为何值（有意义时），此值为常数，分析此式可得结论．
【详解】（1）直线的方程为，
令得，，由，得，∵，∴，
由得（时，方程组无解，不合题意），
由，∵，∴或，
综上．即．
（2）由（1）得，，，，
设直线的倾斜角为，则，，∴，
，
令，则，，
．
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最小值是．
（3）假设存在满足题意的，由（1），，
∴，此式与值无关，则，．
所以，存在，的值与无关．
【点睛】本题考查两直线交点问题，考查三角形面积的最小值，考查直线中的存在性命题．解题方法没有特出之处．求交点坐标，求三角形边长及夹角正弦值得三角形面积，求出的表达式．但在每一部分，又考查了其他的知识，如不等式恒成立问题，用基本不等式求最小值，存在性命题的思维方法等．本题对运算求解能力要求较高，属于困难题．