2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知直线l与x轴相交于点，且直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为，则直线l的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可得直线l向上的方向与x轴正半轴的夹角为，即可求出直线l的斜率.

【详解】已知直线l与x轴相交于点，且直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为，

所以直线l向上的方向与x轴正半轴的夹角为，则斜率为.

故选：C.

2．已知直线：，点，，点为直线上一动点，则的面积为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据两点求得直线方程，利用平行线距离公式，结合三角形面积公式，可得答案.

【详解】直线的方程为，所以，所以边上的高为两平行线之间的距离，记为，因为，，所以．

故选：A．

3．已知点，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，再数形结合分析得解.

【详解】由题得，，

因为直线与连接，两点的线段总有公共点，

结合图可知，.

故选：C

4．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ）

A．4 B．10 C．5 D．

【答案】C

【分析】由题意可知两条动直线经过定点、，且始终垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案.

【详解】由题意可知，动直线经过定点，

动直线即，经过定点，

因为，所以动直线和动直线始终垂直，

又是两条直线的交点，

则有，，

故（当且仅当时取“” ，

故选：C．

5．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（    ）

A．0° B．1° C．2° D．3°

【答案】C

【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.

【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，

∴OO3平分第三颗小星的一个角，

又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，

过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，

∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.

故选：C

6．已知圆：（），直线：.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】A

【解析】圆的圆心为到直线的距离为1，由圆上恰有三个点到直线的距离为1，得到圆心为到直线的距离为，由此求出的值.

【详解】圆的圆心为,则圆心到直线的距离.

又圆上恰有三个点到直线的距离为1.

所以圆心为到直线的距离为,即

所以

故选：A

【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，点到直线的距离,，属于基础题.

7．已知圆关于直线对称，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由直线过圆心求得，再由结合基本不等式求得最小值即可.

【详解】由题意知，直线过圆心，则，即，又，

则，当且仅当，

即时取等，则的最小值为.

故选：A.

8．已知点 为直线上的动点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知，先计算出圆关于直线对称的圆的方程，然后再根据三角形三边关系，得到，,代入原式，找到等号成立的条件，即可完成求解.

【详解】由已知条件，可作出下图：

圆的圆心为，圆圆心为，直线，

设点关于直线对称的点为，

则直线为线段的垂直平分线，所以有，

解得，所以，

圆关于直线对称的圆的方程为，

点是圆上的动点，作出点关于直线对称的点，

点在圆上，所以，

所以，,

所以，

，

当五点共线时，点在线段上，点在线段上时成立，

故选：D.

二、多选题

9．使方程表示圆的实数a的可能取值为（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】BC

【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.

【详解】，配方得：

，

要想表示圆，则，

解得：，

故选：BC

10．若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则

C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则

【答案】BCD

【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确.

【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误；

对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确；

对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确；

对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确.

故选：BCD.

11．已知直线和圆，则（    ）

A．直线l恒过定点

B．存在k使得直线l与直线垂直

C．直线l与圆O相交

D．若，直线l被圆O截得的弦长为4

【答案】BC

【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.

【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，

所以直线恒过定点，故A错误；

因为直线恒过定点，而，即在圆内，

所以直线l与圆O相交，故C正确；

对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；

对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，

所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.

故选：BC.

12．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．存在P使得 B．的最小值为

C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值

【答案】ABC

【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.

【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，

所以，，，，，

对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；

对于B选项，记，则，

由余弦定理：

，当且仅当时取“=”，B正确；

对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；

对于D选项，设，则，，于是,故错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知圆与圆内切，则______.

【答案】

【分析】由两圆相内切知圆心距等于半径差的绝对值，列方程求解即可.

【详解】圆的圆心为，半径为1；

圆的圆心为，半径为．

所以两圆圆心间的距离为，

由两圆相内切得，又，解得：．

所以.

故答案为：.

14．已知椭圆的一个焦点坐标为，则______.

【答案】

【分析】由椭圆的标准方程即可得到答案.

【详解】由已知知椭圆的焦点在轴上，且半焦距，则，解得.

故答案为：.

15．已知函数与直线有两个不同的交点，则常数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题意，分别作出与的图象，数形结合即可求解.

【详解】分别作出与的图象，如下：

当与的图象相切时，，即，

由图可知，故相切时，

因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点.

故答案为：.

16．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．

【答案】或

【分析】利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．

【详解】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，

过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，

联立，得，点的坐标为.

①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；

②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.

由题意可得，化简得，解得，

此时，所求切线的方程为，即.

综上所述，所求切线方程为或，

故答案为或．

【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题．

四、解答题

17．已知直线：，：

(1)若，求实数m的值；

(2)若，求实数m的值及此时两平行直线间的距离.

【答案】(1)

(2)，距离为

【分析】（1）根据直线一般式中垂直满足的关系即可求解，

（2）根据直线一般式中平行满足的关系式以及平行线间距离公式即可求解.

【详解】（1）由得

（2）由得，

此时直线方程为：：，：

所以两直线的距离为：

18．已知圆，直线，当为何值时，

（1）圆与直线有两个公共点；

（2）圆与直线只有一个公共点；

（3）圆与直线没有公共点．

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【分析】求得圆的标准方程，求出圆心到直线的距离d，分别求得d=r、d＜r、d＞r时，b的值，可得直线与圆相切、相交、相离时，b的范围．

【详解】方法一：圆心到直线的距离为，圆的半径．

（1）当，即时，直线与圆相交，有两个公共点；

（2）当，即时，直线与圆相切，有一个公共点；

（3）当，即或时，直线与圆相离，无公共点．

方法二：联立直线与圆的方程，得方程组，

消去得，则．

（1）当，即时，直线与圆有两个公共点；

（2）当，即时，直线与圆有一个公共点；

（3）当，即或时，直线与圆无公共点．

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过点，且与椭圆有共同的焦点；

(2)经过 两点．

【答案】(1);

(2)

【分析】（1）由条件可设所求椭圆方程为，利用已知条件求出，，即可得解．

（2）设椭圆方程为 ，代入点坐标，求得，，即可得答案．

【详解】（1）椭圆，即，故，

焦点为， ，

设所求椭圆的标准方程，

所以 ,

解得 ，

所以所求椭圆的标准方程为;

（2）设所求椭圆的方程，

将代入上式得 ,

解得

所以所求椭圆的标准方程为.

20．已知圆，圆.

(1)求圆与圆的公共弦长；

(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，

（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.

【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，

即，化简得，

所以圆的圆心到直线的距离为，

则，解得，

所以公共弦长为.

（2）解法一：

设过两圆的交点的圆为，

则；

由圆心在直线上，则，解得，

所求圆的方程为，即.

解法二：

由（1）得，代入圆，

化简可得，解得；

当时，；当时，；

设所求圆的圆心坐标为，

则，解得；

所以；

所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为

21．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.

（1）求点坐标；

（2）求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由AC边上的高BE所在的直线方程可得kAC．利用点斜式可得AC方程,与CM方程联立解得C坐标．（2）设B点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程．

【详解】（1）边上的高为，故的斜率为，

所以的方程为，

即，

因为的方程为    

解得

所以.

（2）设，为中点，则的坐标为，

解得，

所以， 又因为，

所以的方程为

即的方程为.

【点睛】本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

22．已知直线方程为.

(1)证明：直线恒过定点M,并求出M的坐标；

(2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?

(3)设P,Q为圆上的动点，若,求PQ中点R的轨迹方程.

【答案】(1)；

(2)，最大距离为；

(3).

【分析】（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点；

（2）点T（3，4）到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出两点间的距离就是最大值；

（3）设，，则有，由结合勾股定理，化简可得到两点之间的关系，将坐标用表示，可得到的轨迹方程.

【详解】（1）证明：直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，可化为

（2x+y+4）+m（﹣x+2y+3）＝0，对任意m都成立，所以，解得，所以直线恒过定点（﹣1，﹣2）；

（2）解：点T（3，4）到直线的距离最大，

可知点T与定点M（﹣1，﹣2）的连线的距离就是所求最大值，

即＝2．

KMT＝＝，

（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0的斜率为：﹣，

可得﹣＝，解得m＝．

所以当m＝时，点T到直线的距离最大，最大值为.

（3）因为P,Q为圆上的动点，所以设，，则有，且 ，

又，，则有，即，化简可得： （1）

因为

代入（1）式可得：