湖北省随州市曾都区第一中学2024届高三上学期摸底测试数学试卷

湖北省随州市曾都一中24届高三上学期摸底测试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数满足，则的共轭复数的虚部是（     ）

A．1 B． C． D．

3. 已知双曲线的离心率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若，则（     ）

A.  B.  C.  D.

5.设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（     ）

A．      B．或        C．       D．

6. 设.若是与的等比中项，则的最小值（   ）

A．                B．                 C．       D．

7. 杭州亚运会于2023年9月举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到A、B两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（     ）

A 40 B. 28 C. 20 D. 14

8. 设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ）

A．  B．  C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上             B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为  D．若m=0，n>0，则C是两条直线

10. 一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出个球，则下列说法正确的是（    ）

A．两个都是红球的概率为      B．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为

C．第二次取到红球的概率为     D．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为

11. 已知函数，则（    ）

A．函数有且只有2个零点           B．函数的递减区间为

C．函数存在最大值和最小值        D．若方程有三个实数解，则

12.设函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 是偶函数                    B. 为奇函数

C. 是周期为4的周期函数              D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知中，角的对边分别为，，则角          ．

14. 网购作为一种新消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）：

根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为__________.

15. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.

16. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)当时，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围．

18. 在三棱台中，为中点，，，.

(1)求证：平面；

(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.

19. 已知数列满足，且≥

（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和

20.在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．

(1)求E的方程；

(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．

21. 已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．

（1）求实数a的值；

（2）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．

22. 学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“类解答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市考试院做了项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目,扫描后由近千名数学老师集体评阅,统计发现,满分分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示:

某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于等于分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响;考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入,不做四舍五入处理).

(1)本次数学考试中甲同学某题(满分分)的解答属于“类解答”,求甲同学此题最终所得到的实际分数的分布列及数学期望；

(2)本次数学考试有个解答题,每题满分分,同学乙个题的解答均为“类解答”.

①记乙同学个题得分为的题目个数为,,计算事件“”的概率.

②同学丙的前四题均为满分,第题为“类解答”,第题得分.以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据,谈谈你对“类解答”的认识.

湖北省随州市曾都一中24届高三上学期摸底测试数学试卷

参考答案

CAAD   DDBB  9.ACD   10. BCD   11. AB   12. AB   13.     14.   15.     16. 8

17解：（1）依题意，设，

则，

又，

所以，解得，所以，又，解得，

所以的解析式是.

（2）依题意在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，，令，，显然在上单调递增，

所以，所以，所以.

18. (1)证明：在三棱台中，为中点，则，

又，，，四边形为平行四边形，，

又，，，，，

，平面，平面.

（2）解：，，，

又，，平面，平面，

连接，，，为中点，；

以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，设，则，，

，，

设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；又平面的一个法向量，

，解得：，即，

平面，平面平面，平面，

.

  19. 解：（1）∵     ∴即                

∴数列是等差数列，首项，公差为1.  ∴∴                                  

(2)由（1），==

∴数列的前项和==+++++= 

20.解：（1）设圆心，半径为，因为圆心为C的动圆过点，所以，

因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，

所以，即，所以曲线E是抛物线.

（2）设直线：，

联立，消去并整理得，，即，

设，，则，，

因为，，

所以，

所以，将，代入得，即，

所以直线：，即，所以直线BD经过定点.

21. （1）∵f（x）＝ax2+xlnx，∴f′（x）＝2ax+lnx+1，

∵切线与直线x+3y＝0垂直，∴切线的斜率为3，∴f′（1）＝3，即2a+1＝3，故a＝1.

（2）由（1）知f（x）＝x2+xlnx，x∈（0，+∞），f′（x）＝2x+lnx+1，x∈（0，+∞），

令g（x）＝2x+lnx+1，x∈（0，+∞），则，x∈（0，+∞），

由g′（x）＞0对x∈（0，+∞），恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，

又∵＜0，而＞0，

∴存在x0∈，使g（x0）＝0，∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴当x∈（0，x0）时，g（x）＝f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，g（x）＝f′（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增；

∴f（x）在x＝x0处取得最小值f（x0），∵f（x）＞k恒成立，所以k＜f（x0）

由g（x0）＝0得，2x0+lnx0+1＝0，所以lnx0＝﹣1﹣2x0，

∴f（x0）＝＝＝﹣＝﹣，

又，∴f（x0）∈，∵k∈Z，∴k的最大值为﹣1．

22. 解(1)根据题意,随机变量的取值为.设一评、二评、仲裁所打的分数分别是,,,

,

,

,

,

故的分布列为:

.

(2)记“或”为事件,次实验中,事件发生的次数,“”相当于事件恰好发生次,故概率为:.

②由题意可知:乙同学得分的均值为,丙同学得分的均值为:.

显然,丙同学得分均值更高,所以“会而不对”和不会做一样都会丢分,在做题过程中要规范作答,尽量避免“类解答”的出现.