2022-2023学年河南省郑州市郑州外国语学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省郑州市郑州外国语学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是(    )

A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率

D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大

【答案】B

【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可．

【详解】对于选项A：直线倾斜角的的范围是.例如，若直线的斜率为，则其倾斜角为，而不是，故A错误；

对于选项B：直线倾斜角的的范围是，故B正确；

对于选项C：当直线垂直于x轴时，其倾斜角为，∵无意义，∴不存在斜率，故C错误；

对于选项D：在，正切函数不单调，故D错误．

故选：B

2．已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线

【答案】C

【分析】讨论与的大小关系，结合椭圆定义可知.

【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，

当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；

当 时，，此时动点 的轨迹是线段．

故选：C．

3．下列命题中正确的是（　　）

A．若，，则与所在直线平行

B．向量、、共面即它们所在直线共面

C．空间任意两个向量共面

D．若，则存在唯一的实数λ，使

【答案】C

【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可.

【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确；

对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；

对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；

对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确．

故选：C．

4．对于直线：（），现有下列说法：

①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；

②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；

③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；

④当取不同数值时，可得到一组平行直线．

其中正确的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．

【详解】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确；

故选：C

5．如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】A

【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证、、，而不一定与垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.

【详解】由面，为矩形，

A：面，则，而与不一定垂直，不一定有面，故不一定与垂直，所以与数量积不一定为0，符合题意；

B：由A知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；

C：由上易知，又 且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；

D：由上知，而，所以，即与数量积为0，不合题意；

故选：A.

6．已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】圆心必然在直线l上，得到 的关系式，再考虑求最大值.

【详解】由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，

将圆的一般方程转变为标准方程： ，

圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ，

， ，

函数是开口向下，以  为对称轴的抛物线，

所以 ，

故选：A.

7．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.

【详解】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，

则有，又，于是得，解得，

所以实数m的取值范围为.

故选：B

8．已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.

【详解】定圆， ，动圆满足与外切且与内切

设动圆半径为，则

表示椭圆，轨迹方程为：

故答案选A

【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.

9．设全集，集合，则所表示的平面区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出原点到直线（系）的距离，即可判断集合，从而得到，即可求出所表示的平面区域的面积；

【详解】解：对于直线（系），则坐标原点到直线的距离，

则集合表示平面上所有到原点距离等于的直线上的点组成的集合，

全集表示坐标平面上的所有点的集合，

所以，则所表示的平面区域的面积为；

故选：D

10．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.

【详解】设平面的法向量为，

则，即，

令，可得，，则.

.

设与平面所成的角为：则.

故到平面的距离为，即四棱锥的高为.

故选：D.

二、多选题

11．下列结论正确的是（    ）

A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为；

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．已知，O为坐标原点，点是圆外一点，且直线m的方程是，则直线m与圆E相交；

D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为；

【答案】BC

【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为，A错误；

B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确；

C选项，首先根据点在圆外得到不等式，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半径，从而得到C选项正确；

D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围.

【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为，代入，

解得：，则直线l的方程为，

当截距不为0时，设直线l的方程为，

代入，解得：，此时直线l的方程为，

综上：直线l的方程为或.故A错误；

B：圆的圆心为，半径为2，

圆心到直线的距离为，刚好为半径的一半，

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故B正确；

C：已知，O为坐标原点，点是圆外一点，所以，

直线m的方程是，则圆心到直线m的距离为，所以直线m与圆E相交，故C正确；

D：直线整理为，即过定点，

如图所示，

，，

要想直线与以，为端点的线段相交，

则实数k的取值范围为或，故D错误.

故选：BC

12．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，DA＝DC＝，将四边形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（       ）

A．两条异面直线AB与CD所成角的范围是

B．P为线段CD上一点（包括端点），当CD⊥AB时，

C．三棱锥D−ABC的体积最大值为

D．当二面角D−AC−B的大小为时，三棱锥D−ABC的外接球表面积为

【答案】BCD

【分析】以为坐标原点，过轴垂直平面，建立如图所示的空间直角坐标系，表示出两条异面直线AB与CD所成角可判断A；由CD⊥AB求出，P为线段CD上一点（包括端点），表示出点坐标，由空间向量夹角公式可判断B；当平面平面时，三棱锥D−ABC的体积最大，求出底面积和高可判断C；求出三棱锥D−ABC的外接球的半径，由球的表面积公式可判断D.

【详解】对于A，以为坐标原点，过轴垂直平面，建立如图所示的空间直角坐标系，所以

设，

，所以

所以，，

所以设两条异面直线AB与CD所成角为，

，

当时，，此时，但时，D在平面ABC内.

故A不正确；

对于B, CD⊥AB时，，

解得：，又因为，所以，所以

 P为线段CD上一点（包括端点）,设

解得.

而，

，所以，故B正确；

对于C，当平面平面时，三棱锥D−ABC的体积最大，且连接，

，则平面，所以.

故C正确；

对于D，取中点，连接，取的外心， 过作一条垂线垂直平面，

过作一条垂线垂直平面，两条垂直相交于点，则为三棱锥D−ABC的外接球的球心，且二面角D−AC−B的大小为，即，所以在直角三角形中，，所以，则，所以，所以三棱锥D−ABC的外接球表面积为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______________．

【答案】

【分析】根据方程表示椭圆，列出相应的不等式组，解得答案.

【详解】由方程表示椭圆，

可得 ，解得 且 ，

故实数的取值范围是： ，

故答案为：

14．若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点______.

【答案】（5，5）

【分析】先求所过定点，再该点关于点（3，3）的对称点即可.

【详解】∵，∴：y＝kx－k＋1过定点（1，1），

设点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），

则，解得，即直线恒过定点（5，5）.

故答案为：（5，5）.

15．已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为_______.

【答案】##

【分析】设直线与直线所成的角为，由线面角的公式代入可求出的值，即可求出，而点到直线的距离为，代入即可求出答案.

【详解】，故||，

，

设直线与直线所成的角为，则|，

故，

点到直线的距离为．

故答案为:

16．曲线围成的图形的面积是__________．

【答案】

【详解】当，时，已知方程是，即．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为，半径为.

同理，当，；，；，时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是.               

故答案为

四、解答题

17．如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．

【答案】，，．

【分析】利用向量的线性运算结合已知，求出实数的值．

【详解】，

所以，，，．

18．已知直线，点．

(1)求点关于直线的对称点；

(2)求直线，关于点的对称直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点关于直线的对称点为，根据中垂线，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得关于和的方程，解之即可；

（2）设直线的方程为，在直线l上取一点，求得它关于点的对称点，并将其代入所设方程，解出b的值即可．

【详解】（1）设点关于直线l的对称点为，则这两点的中点为，

所以，解得m，n，

所以点关于直线l的对称点为；

（2）由题意知，直线的斜率为，设其方程为，

在直线上取一点，它关于点的对称点为，

而该点在直线上，

所以，解得，

所以直线的方程为．

19．如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意，是的中点，为的中点，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，设，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由求解.

【详解】（1）证明：因为为三棱柱，

所以平面是平行四边形，

又交于点，所以是的中点．

又为的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）解：在直三棱柱中，平面，又，

所以、、两两互相垂直，

所以以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设，则，，，，，

所以，，，．

设平面的一个法向量为，

则，所以，

不妨令，则，

设平面的一个法向量为，

则，所以，

不妨令，则．

所以，

所以平面与平面的夹角的余弦值为．

20．（1）直线过点与圆：相切，求直线的方程

（2）已知圆C：内有一点，A、B为圆上两动点，且满足.求弦AB中点M的轨迹方程.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）根据直线与圆相切，分别讨论斜率是否存在即可；（2）根据圆的方程和A、B两点的位置关系，以及,根据勾股定理得出等量关系，即可写出M的轨迹方程.

【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然直线与圆相切且切点为，

当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为；

由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，

即，解得，

故另一条切线方程为，即，

综上，直线的方程为或.

（2）的圆心为，半径，

如图所示，连接QM，CM，BC.

由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，

垂径定理得：

因为

所以，

设，则代入坐标即得，

整理得：.

所以，的轨迹方程为

21．如图，在直角梯形中，，，平面，，．

(1)求证：；

(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析.

(2)存在，.

【分析】(1)证明平面即可；

(2)假设M存在，建立直角坐标系，用向量法求M的坐标即可.

【详解】（1）

如图，作，，连接交于，连接，，

∵且，∴，即点在平面内．

在平行四边形中，，

∴，又由平面知，

∴平面，∴①

在矩形中，，∴②

∴由①②知，平面，∴．

（2）

如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，设，

∴，，

设平面的法向量为，则，

令，得，，∴，

又平面，∴为平面的一个法向量，

∴，解得，

故在上存在点，且．

22．已知O为坐标原点，过点P(1，2)且斜率为1的直线截圆O所得的弦长为．

(1)求圆O的方程．

(2)若点Q(1，0)在斜率为k的直线l上，且直线l与x轴不重合，直线l与圆O交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得∠ONA=∠ONB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)x2+y2=4

(2)存在；N为(4，0)

【分析】（1）根据已知条件求出圆的半径，然后写出圆的方程

（2）由题意得直线与直线的斜率互为相反数，假设存在定点，联立直线和圆方程，利用韦达定理化简后解出点坐标．

【详解】（1）过点P(1，2)且斜率为1的直线方程为y=x+1，圆心(0，0)到直线y=x+1的距离d=，由圆的性质可得，r2=d2+()2=4，所以圆O的方程为x2+y2=4．

（2）由题意知直线l的方程为y=k(x－1)(k≠0)，

N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由，得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0，

所以x1+x2=，x1x2=．

若∠ONA=∠ONB，则kAN=-kBN⇒=0，

即=0⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0 ⇒+2t=0⇒t=4．

所以当点N为(4，0)时，∠ONA=∠ONB．