2021-2022学年河南省郑州市郑州外国语学校高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省郑州市郑州外国语学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设平面直角坐标系为O，则.

【详解】设平面直角坐标系为O，由题得，.

则.

故选：C

2．若复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为i B．的共轭复数为

C．对应的点在第二象限 D．

【答案】C

【分析】先对复数z进行整理化简得到，再选出正确的选项即可.

【详解】∵复数满足，∴，化为：.

∴的虚部为1，，对应的点在第二象限，.

故选：C.

【点睛】这个题目考查了复数问题，复数由实部加上虚部和i构成；复数 的共轭复数为；复数的几何意义之一就是和点一一对应；复数的模长等于.

3．在中，（　　）

A． B． C．或 D．以上都不对

【答案】C

【分析】在三角形中，根据正弦定理可知，，所以 ，再根据正弦定理即可求出c.

【详解】在三角形中，由正弦定理知，，所以由内角和定理知，由正弦定理知， ，故选C.

【点睛】本题主要考查了三角形中正弦定理的应用，属于中档题.

4．如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】首先算出直观图面积，再根据平面图形与直观图面积比为求解即可.

【详解】因为等腰是一平面图形的直观图，直角边，

所以直角三角形的面积是.

又因为平面图形与直观图面积比为，

所以原平面图形的面积是.

故选：D

5．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若mn，nα，则mα B．若mα，n⊂α，则mn

C．若αβ，m⊂α，则mβ D．若mn，m⊂α，n⊂β，则αβ

【答案】C

【分析】由线面位置关系可判断A项、C项，由线线位置关系可判断B项，由面面位置关系可判断D项，进而可得结果.

【详解】A项：若，，则或，故选项A不正确；

B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确；

C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确；

D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确.

故选：C.

6．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛

C．36斛 D．66斛

【答案】B

【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.

【解析】圆锥的性质与圆锥的体积公式

7．已知O为复平面内的原点，复数在复平面内对应的点分别为A，B，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用复数与复平面内的点的对应关系，确定两点的坐标，再用向量数量积坐标公式求解.

【详解】因为，所以A的坐标为，又B的坐标为，

所以．

所以的取值范围为.

故选：B.

8．如图，在直三棱柱中，点O为的中点，，则异面直线与所成角的正切值为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】连接，设与的交点为E，连接，故所以即异面直线与所成角．再在证明平面的基础上结合几何关系求解即可.

【详解】如图，连接，设与的交点为E，连接，

易得点E为的中点，

又因为点O为的中点，所以，且，

所以即异面直线与所成角．

在直三棱柱中，，

又因为，,

所以平面，

所以平面，

所以．

因为，

所以，

所以．

故选：A

9．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得，可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】因为，则，

所以，，所以，，

因此，

.

故选：C.

10．在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（    ）

A．  B． C．  D．

【答案】C

【分析】方法一：由旋转的性质可得， ，，

由等腰直角三角形的性质可得，利用三角形的三边关系即可求解.

方法二：由题意画出图形，设 ， ，利用余弦定理把 用含有 的代数式表示，

然后换元，再利用配方法和基本不等式 即 求得最值.

【详解】解：方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，

， ，

在中，，，

， ，

  ，

在中， ，

当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，

的最大值为： ，

，

的最大值为： .

故选：C.

方法二：如图，设 ， ，

在 中，由余弦定理可知： ，

在中，由余弦定理可知： ，

由同角关系可得： ，

，

令 ，

则

，

当时等号成立.

的最大值为： .

故选：C.

二、多选题

11．在中，角、，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．的最小内角是最大内角的一半

C．是钝角三角形

D．若，则的外接圆直径为

【答案】AB

【分析】不妨设，，，解得，，．对四个选项一一验证：

由正弦定理可以判断选项A；

先判断出最大的内角为，最小的内角为A，再由余弦定理求出，即可判断选项B；

由余弦定理判断出为锐角，即可判断选项C；

用正弦定理可以判断选项D．

【详解】不妨设，，，解得，，．

由正弦定理知，即A正确；

∵，∴最大的内角为，最小的内角为，由余弦定理知，，

，，故，即B正确；

∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C错误；

∵，∴，∵，∴的外接圆直径，即D错误．

故选：AB.

12．在长方体中,,分别为的中点,则下列选项中不正确的是（    ）

A． B．三棱锥的体积为

C．三棱锥外接球的表面积为4π D．直线被三棱锥外接球截得的线段长为

【答案】ABC

【分析】先假设选项A正确可推出平面,即,由此推出矛盾,即可证明选项A错误,以为顶点,则即为三棱锥的高,求出各个长度,求出的面积即可求出三棱锥的体积,从而判断选项B的正误,根据选项B,可得外接圆的圆心及半径,过外接圆圆心做的垂线,取一点为球心,过球心做的垂线,根据在球面上可得垂足的位置,构造直角三角形即可得外接球的半径,从而得选项C的正误,过选项C中球心做垂线垂足为,可得被三棱锥外接球截得的线段为,根据等面积法求出以为底的高,即,再根据勾股定理即可得从而得到选项D的正误.

【详解】解:关于选项A:

不妨取中点,连接如图所示:

若,长方体,

,

平面,平面,,

平面,

平面,

,

且分别为的中点,

,

,与矛盾,

故选项A错误;

关于选项B:

且分别为的中点,

,

,

,

为等腰直角三角形,

长方体,

平面,

,

故选项B错误;

关于选项C:

记外接球的半径为,

由选项B可知为等腰直角三角形,取中点为,

则为外接圆圆心,,

平面,

过做的平行线,在平行线上取点为球心,过做垂线,垂足为,如图所示:

是球面上两点,

为中点,,

,

为矩形,

,

,

三棱锥外接球的表面积为,

故选项C错误;

关于选项D:

由选项C可知为矩形,

在可知为中点,  

过做垂线,垂足为,

在球面上,,

被三棱锥外接球截得的线段为,

,

是中点,以为底的高为,

,

,

,

,

故选项D正确.

故选:ABC

【点睛】思路点睛:此题为立体几何综合,考查垂直,体积,三棱锥的外接球表面积及球的截线长等问题,关于棱锥外接球半径求法的步骤为:

(1)以易得垂线的面为底面;

(2)找底面的外接圆圆心;

(3)过外接圆圆心做底面的垂线;

(4)在垂线上取一点记为球心;

(5)连接球心和顶点,及球心和底面的一个端点;

(6)过球心做过顶点到底面垂线的垂线;

(7)构造直角三角形,利用勾股定理即可得到外接球半径.

三、填空题

13．已知向量与的夹角为，且，则_________．

【答案】2

【分析】根据向量的数量积的运算公式，求解即可

【详解】因为，

所以．

故答案为：2

14．已知等腰直角三角形的直角边长为，且其顶点都在球上，若球的体积为，则三棱锥的体积为______．

【答案】16

【分析】根据球的体积为，求得球的半径，再由等腰直角三角形外接圆的圆心为线段的中点，求得，即为三棱锥的高，再由锥体的体积公式求解.

【详解】如图所示：

等腰直角三角形的直角边为，斜边，其外接圆的圆心为线段的中点，

所以是三棱锥的高，

设球的半径为，

因为，

所以，又，

所以，

所以三棱锥的体积为．

故答案为：16

15．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角，N点的仰角以及，则两座山峰之间的距离_________m.

【答案】B

【分析】首先求出的长度，进而在中，结合余弦定理即可求出结果.

【详解】因为，，

在中，结合余弦定理知

即，

故，所以，

故选：B.

16．在中，内角、、所对的边分别为、、，，且的面积为，则内切圆的面积为_________．

【答案】

【分析】利用正弦定理边角互化可得出，结合角的取值范围可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的值，利用等面积法可求得内切圆的半径，再利用圆的面积公式可求得结果.

【详解】由，可得，

结合化简可得，

因为，则，所以，则，

因为，则，则，所以．

又，所以，因为，所以，

故内切圆的半径满足，可得，

所以，内切圆的面积．

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，．

(1)若，求；

(2)若，求在上的投影向量．

【答案】(1)或；(2).

【分析】(1)利用向量垂直的坐标表示求值；

(2)利用投影向量的概念求解.

【详解】(1)由题知，，

若，则，

整理得，解得或．

(2)当时，，，

有，所以与方向相同的单位向量.

设与的夹角为，

则所求投影向量．

18．已知关于x的方程有实数根b.

（1）求实数a，b的值；

（2）设，求.

【答案】（1）；（2）5.

【分析】（1）根据方程有实数根b，得到，再利用复数相等求解；

（2）由（1）得到，再化简求解.

【详解】（1）因为方程有实数根b，

所以，即，

所以，解得.

（2）由（1）知 ，

所以.

19．如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，， .

(1)求证：平面；

(2)若 与相交于点 ，求四面体的体积.

【答案】(1)证明见解析.

(2)四面体的体积为：.

【分析】（1）取 中点 ，连接，，由题意证得四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行的判定定理即可.

（2）由平面⊥平面，征得平面，利用体积公式计算出四面体的体积，

利用 是中点， 得到计算出体积即可.

【详解】（1）证明：设 与相交于点，取 中点 ，连接，，

， 分别为，的中点，

是 的中位线，

，，

又，，

，

且，

则四边形为平行四边形，

即，

平面，平面，

平面.

（2）解：平面⊥平面，平面 平面，

又四边形是正方形，

，

平面，

，， ，

的面积为：，

四面体的体积：，

又 是中点，即 ，

，

，

，则.

四面体的体积为： .

20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.

（1）求A；

（2）若，且边上的高为，求的面积.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；

（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积．

【详解】（1）由得，

由余弦定理得，所以，

由正弦定理得，是三角形内角，，

所以，又A为锐角，所以．

（2）由（1），，

所以，即，，

，

．

【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．

21．如图，四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB的中点．

（1）证明：平面平面PBC；

（2）求直线PA与平面ACE所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）可证 平面，从而得到平面平面．

（2）作垂线，找在平面的射影，找到线面角，求解直角三角形可得.

【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

做交与点， 因为，，，

所以四边形是正方形， ，因为，所以是的中点，所以，所以，故，又，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又平面ACE，所以平面平面PBC．

（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

又，，所以，过点P作，垂足为M．

由（1）知平面平面PBC，所以平面ACE．

连接，所以即为直线与平面所成的角，

在中，由等面积法得，，又点E为AB的中点，所以，

所以．，，

在中，，

所以直线PA与平面ACE所成角的正弦值．

【点睛】面面垂直可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的，线面角一般是利用定义法或者向量法求解，侧重考查直观想象，逻辑推理和数学运算的核心素养.

22．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m．

（1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度；

（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先由余弦定理求出ME，再求出，进而求出，最后根据正弦定理求出答案；

（2）先用等面积法求出间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立之间的不等式，两者结合即可得到答案 .

【详解】（1）当，重合时，

由余弦定理知，

所以，

因为，所以

因为，所以，

因为，所以，

∴在中，由正弦定理可知，，解得m.

（2）易知到地面的距离，

所以，所以

又由余弦定理可知，，

当且仅当时“=”成立.

所以，解得m．

答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为．