2022-2023学年河南省郑州市郑州外国语学校高二上学期第一次月考数学试题

郑州外国语学校2022-2023学年高二上期月考1试卷

数学

（120分钟  150分）

一、选择题（每题5分，1-10题为单选；11、12为多选，少选得2分，多选、错选得0分，共60分）

1.下列说法正确的是（    ）

A.若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为

B.直线的倾斜角的取值范围是

C.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率

D.直线的倾斜角越大，其斜率就越大

2.已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ）

A.椭圆   B.线段   C.椭圆或线段   D.直线

3.下列命题中正确的是（    ）

A.若，，则与c所在直线平行

B.向量、、共面即它们所在直线共面

C.空间任意两个向量共面

D.若，则存在唯一的实数，使

4.对于直线：，现有下列说法：

①无论如何变化，直线的倾斜角大小不变；

②无论如何变化，直线一定不经过第三象限；

③无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限；

④当取不同数值时，可得到一组平行直线.其中正确的个数是（    ）

A.1   B.2   C.3   D.4

5.如图，面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）

A.与   B.与   C.与   D.与

6.已知直线：是圆的一条对称轴，则最大值为（    ）

A.   B.   C.1   D.

7.直线：与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（    ）

A.   B.   C.   D.

8.已知定圆：，：，定点，动圆C满足与外切且与内切，则的最大值为（    ）

A.   B.   C.   D.

9.设全集，集合，则所表示的平面区域的面积为（    ）

A.   B.   C.1   D.

10.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ）

A.   B.   C.   D.

11.（多选）下列结论正确的是（    ）

A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

B.圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1

C.已知，为坐标原点，点是圆：外一点，且直线的方程是，则直线m与圆E相交

D.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为

12.（多选）如图，四边形中，，，将四边形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（    ）

A.两条异面直线AB与CD所成角的范围是

B.P为线段CD上一点（包括端点），当时，

C.三棱锥的体积最大值为

D.当二面角的大小为时，三棱锥的外接球表面积为

二、填空题（每题5分，共20分）

13.若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是______________.

14.若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点_____________.

15.已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点，到直线的距离为___________.

16.由曲线围成的图形的面积为____________.

三、解答题（写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17.如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且，，求满足的实数，，的值.

18.已知直线：，点.

（1）求点A关于直线：的对称点；

（2）求直线：关于点A对称的直线m的方程.

19.如图，在直三棱柱中，D为的中点，交于点E，，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

20.（1）直线过点与圆：相切，求直线的方程

（2）已知圆C：内有一点，A、B为圆上两动点，且满足.求弦AB中点M的轨迹方程.

21.如图，在直角梯形ABCD中，，，平面ABCD，，.

（1）求证：；

（2）在直线BC上是否存在点M，使二面角的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由.

22.已知为坐标原点，过点且斜率为1的直线截圆所得的弦长为.

（1）求圆的方程.

（2）若点在斜率为的直线上，且直线与轴不重合，直线与圆交于A，B两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

郑州外国语学校2022—2023学年高二上期月考1数学参考答案

1—10BCCCAABADD    11.BC    12.BCD

13.    14.    15.    16.

17.【答案】，，.

【详解】

∵

，

所以，，，.

18.【答案】（1）（2）

（1）设点关于直线的对称点为，则这两点的中点为，

所以，解得，，

所以点关于直线的对称点为；

（2）由题意知，直线的斜率为，设其方程为，

在直线上取一点，它关于点的对称点为，而该点在直线上，

所以，解得，所以直线的方程为.

19.【答案】（1）证明见解析（2）

（1）证明：因为为三棱柱，所以平面是平行四边形，

又交于点E，所以E是的中点.又D为的中点，所以，

又平面，平面，所以平面；

（2）解：在直三棱柱中，平面，又，

所以、、两两互相垂直，

所以以为坐标原点，分别以、、为x、y、z轴建立空间直角坐标系

，如图所示.

设，则，，，，，

所以，，，.

设平面的一个法向量为，则，所以，

不妨令，则，设平面的一个法向量为，

则，所以，不妨令，则.

所以，

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

20.【答案】（1）或（2）

（1）当直线斜率不存在时，显然直线与圆相切且切点为，

所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又

所以，由图知，直线的倾斜角的补角与互余，

所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，

综上，直线的方程为或.

（2）解法一：连接QM，CM，BC.

的圆心为，半径，

由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，

垂径定理得：

因为

所以，

设，则代入坐标即得，

整理得：.

解法二：设，，，

根据条件得

③+④+⑤×2并代入①②即得：.

21.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，.

（1）如图，作，，连接EG交AF于H，连接BH，BG，

∵且，∴，即点G在平面ABCD内.

在平行四边形CDAG中，，

∴，又由平面ABCD知，

∴平面，∴①

在矩形中，，∴②

∴由①②知，平面BGE，∴.

（2）如图，以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

设，∴，

设平面EMD的法向量为，

则

令，得，，∴

又平面，∴为平面AMD的一个法向量，

∴，解得，

故在BC上存在点M，且.

22.【答案】（1）（2）存在；为

（1）过点且斜率为1的直线方程为，圆心（0，0）到直线的距离，由圆的性质可得，，所以圆的方程为

（2）由题意知直线的方程为，，，，

由，得，所以，.

若，则，

即

.

所以当点为时，.