2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知直线与直线平行，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出的值.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，求得，

故选：B.

2．下列关于空间向量的命题中，错误的是（       ）

A．若非零向量，，满足，，则有

B．任意向量，，满足

C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面

D．已知向量，，若，则为锐角

【答案】B

【分析】根据共线向量的性质、共面向量的结论、空间向量夹角的计算公式逐一判断即可.

【详解】A：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；

B：因为向量， 不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；

C：，，是空间的一组基底，

且

所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；

D：，

当时，，

若向量，同向，则有，

所以有，则（舍去）

所以向量，不能同向，

因此为锐角，故本选项说法正确，

故选：B.

3．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果即可.

【详解】设直线的倾斜角为，

则直线的斜率为，即，

∵，

∴.

故选：.

4．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合空间向量的加法法则直接求解即可.

【详解】连接BD，如图，因为E是PD的中点，所以

，

故选：B

5．直线的一个方向向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量.

【详解】直线的一个法向量为，

设直线一个方向向量为，则有，

故只有D满足条件.

故选：D.

6．已知平行六面体的各棱长均为，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析得出，利用空间向量数量积可求得的值.

【详解】由已知可得，，

，

所以，，所以.

故选：A.

7．已知直线与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得直线，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题可得，设出直线方程，代入点A即可求出.

【详解】解析：易知，根据题意，，可设直线的方程为，

把点A的坐标代入得，所以直线的方程为.

故选：C.

8．已知点在直线上，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由点在直线上，可知，利用基本不等式和“1”的妙用即可求出.

【详解】由点在直线上，可知，

，当且仅当,即，时等号成立.

故选：.

9．已知直线：，直线：与直线平行，则直线与之间的距离为（    ）

A． B．2 C．5 D．4

【答案】C

【分析】先求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式直接求解.

【详解】因为直线：与直线：平行，

所以，解得：a=2.

所以直线：，

所以直线与之间的距离为：.

故选：C

10．在直三棱柱中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.

【详解】

分别取的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,,，则,，因此，因为异面直线成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为，

故选：C.

11．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．

【详解】不妨设向量，，；

则向量，，．

设，

即，

∴解得

即在，，下的坐标为．

故选：C．

【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．

12．设直线 l 的方程为 x  y sin 2  0 ，则直线 l 的倾斜角的范围是（    ）

A．[0, ] B． C． D．

【答案】C

【分析】分和两种情况讨论，当时，；当时，结合的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围.

【详解】直线l的方程为，

当时直线方程为，倾斜角

当时，直线方程化为，斜率，

因为，所以，

即，又因为，

所以

综上可得

故选：C

13．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.

【详解】解：如图所示，因为，，

可得平面，直线，

当最短时，平面，且，

所以为的中心，为的中点，如图所示，

又由正四面体的棱长为1，所以，，

所以，

因为平面，所以，

所以中，，

所以

故选：A

二、填空题

14．设，向量，，，且，，则__________.

【答案】3

【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.

【详解】因为，，，且，，

所以，，可得，，

所以，，，

所以.

故答案为：.

15．经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．

【答案】或

【分析】画出图像，数形结合解决起来好理解.

【详解】

如图，连接PA、PB，则直线PA与直线PB均与线段AB相交，

设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为,

则符合要求的直线的倾斜角范围为，

,

由题意知直线的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率的关系，

满足条件的直线的斜率的取值范围为或

故答案为：或

16．已知为平面内一点，若平面的法向量为，则点到平面的距离为______．

【答案】

【分析】求出向量的坐标，再由点到面的距离公式即可求解.

【详解】因为，，所以，

所以点到平面的距离为，

所以点到平面的距离为，

故答案为：.

17．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________.

【答案】

【分析】根据材料先求出三个平面的法向量，再根据交线的方向向量与平面和的法向量垂直求出直线的方向向量，在带图直线与平面夹角的正弦公式求值即可．

【详解】解：因为平面的方程为，所以平面的法向量可取．

同理平面的法向量可取，

的法向量可取，

设平面与的交线的方向向量为，

则，令，则，，所以．

则直线与平面所成角的正弦值为．

故答案为：．

三、解答题

18．已知点，，，向量.

(1)若，求实数的值；

(2)求向量在向量上上的投影向量.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由计算可得；

（2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得．

【详解】(1)，，

即，得；

(2)，，向量在上的投影为，

与同向单位向量为，

则向量在向量上上的投影向量为.

19．已知直线，直线，直线．

(1)若与的倾斜角互补，求m的值；

(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．

【答案】(1)

(2)0，，.

【分析】（1）根据题意得，进而求解得答案；

（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案.

【详解】(1)解：因为与的倾斜角互补，

所以，

直线变形为，故

所以，解得

(2)解：由题意，若和垂直可得：，解得，

因为当时，，，，构不成三角形，

当时，经验证符合题意； 故；

同理，若和垂直可得：，解得，舍去；

若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；

故m的值为：0，，.

20．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.

(1)试用、、表示；

(2)求的长度.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件结合空间向量的线性运算计算作答.

(2)用、、表示出，借助空间向量数量积运算计算作答.

【详解】(1)平行六面体中，，，，因，于是得：

，

所以.

(2)平行六面体中，，，

，

因，且底面是正方形，，，

则有，，同理，，

因此，，

所以的长度是.

21．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.

(1)求点的坐标；

(2)求点到直线的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由中点坐标公式，设，则，结合在直线上，在直线上，将对应点代入直线方程可求，进而得到点的坐标；

（2）由可求，由点斜式求出方程，再结合点到直线距离公式即可求解.

【详解】(1)设，则，

∴，解得，

∴；

(2)∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，

∴直线的方程为，即，

所以点到直线的距离为.

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA= AB =2，AD=3，BC =1，E是PB的中点.

(1)证明：PB⊥平面ADE；

(2)求直线AP与平面AEC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质和判定推理作答.

（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.

【详解】(1)因AD⊥平面ABP，平面ABP，则AD⊥PB，又PA= AB =2，E是PB的中点，

则有AE⊥PB，而，平面ADE，

所以PB⊥平面ADE.

(2)因AD⊥平面ABP，∠PAB=90°，则直线两两垂直，

以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，

令平面AEC的一个法向量为，则，令，得，

令直线AP与平面AEC所成角的大小为，则，

所以直线AP与平面AEC所成角的正弦值是.

23．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，.

(1)求点到平面的距离；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；

（2）计算平面PCD的法向量，结合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解.

【详解】(1)由题意，平面，，，

以A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，

设平面PBC的一个法向量为=(x，y，z)，

=(1，0，-1)， =(0，1，0)， =(-1，1，0)，

则，取x=1，得=(1，0，1)，

∴点D到平面PBC的距离.

(2)由（1）平面PBC的一个法向量为=(1，0，1)，

设平面PCD的一个法向量为，又， =(-1，1，0)，

则，取，得，

设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角，故，即.