2022-2023学年广东省湛江市雷州市白沙中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省湛江市雷州市白沙中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知，如果与为共线向量，则（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】由与为共线向量则求解即可.

【详解】因为与为共线向量，所以，

即，解得，

故选：D

2．已知，若，则（    ）

A．4 B．6 C．5 D．3

【答案】A

【分析】等价转化为,利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可.

【详解】由得，

又∵，，

,

解得,

故选：A.

3．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合交集的运算求解即可．

【详解】集合，则

故选：B

4．如图，在平行六面体中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】解：

；

故选：C

5．已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（    ）

A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合

【答案】B

【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即可解决问题.

【详解】因为，，

所以，故，

所以.

故选：B.

6．已知角的终边经过点，则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.

【详解】，.

故选：C

7．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量垂直的数量积表示可求得结果.

【详解】由题意可知，，因此，.

故选：D.

8．为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由A，B，C，P四点共面的充要条件得到，用向量的差整理成与O共起点的向量表示式，结合已知由空间向量的基本定理列出方程组，解出即可.

【详解】若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对，使，

所以，

整理得：，

又由题知，

由空间向量的基本定理知：

解得

所以.

故选：C.

二、多选题

9．正方体的棱长为，点，分别在棱，上，且，，下列命题正确的是（    ）

A．异面直线与垂直；

B．；

C．三棱锥的体积为

D．点到平面的距离等于

【答案】AC

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法分别判断ABD选项及到平面的距离，进而可得三棱锥的体积.

【详解】

连接，，，以O为原点建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以，，，，，

A选项：，所以，即，A选项正确；

B选项：，所以与不垂直，B选项错误；

C选项：，C选项正确；

D选项：设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，D选项错误；

故选：AC.

10．已知点，，在平面内，则下列向量为的法向量的是（     ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由题先得到平面内的两个相交向量的坐标，再通过法向量的定义得到中x、y、z的关系式，选取与选项中相同的x，即可得到答案．

【详解】由题得：，，

设平面的法向量为，

则有 ，

故平面的一个法向量可以为，.

故选：BC．

11．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．向量与的夹角是.

D．异面直线与所成的角的余弦值为.

【答案】AB

【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度的计算公式，计算可得A正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD错误.

【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，

所以，

因为，所以，，故A正确；

由，所以，

所以，故B正确；

因为，且，所以

，所以其夹角为，故C错误；

因为，，

，

，

所以，故D错误.

故选：AB.

12．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，

，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．计算：________．

【答案】1

【分析】根据诱导公式化简即可得解.

【详解】，

故答案为：1

14．已知向量则在上的投影向量的模为___________.

【答案】

【分析】直接利用向量的夹角运算的应用求出结果．

【详解】因为，，

所以；

所以向量在向量上的投影向量的模．

故答案为：．

15．已知直线斜率等于1，则该直线的倾斜角为___________.

【答案】

【分析】利用斜率公式与特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】设直线的倾斜角为，则由得，

又因为，所以.

故答案为：.

16．已知，若与平行，则___________.

【答案】

【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，，

因为与平行，

所以有，

故答案为：

四、解答题

17．已知空间中三点，设.

(1)求向量与向量的坐标；

(2)若与互相垂直，求实数的值.

【答案】(1)，；

(2)或．

【分析】（1）根据空间向量坐标的定义计算；

（2）由空间向量垂直得其数量积为0，从而可得值．

【详解】（1）由题意，；

（2）由已知，，

∴，解得或．

18．如图所示，在平行六面体中，为的中点.设.

(1)用表示；

(2)设是棱上的点，且，用表示.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由为的中点，结合平行六面体的性质可得，然后利用向量的加法法则可求得结果，

（2）根据向量的加减法法则结合已知条件求解.

【详解】（1）因为为的中点，，

所以，

所以

（2）因为，

所以

19．长方体中，，，

(1)求对角线的长度；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求对角线的长度直接用勾股定理即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式即可求得.

【详解】（1）解：连接，长方体中，，

因为，，所以，

所以，

（2）解：在长方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，

，，，

，，

设平面的法向量

则 即 解得

取平面的一个法向量

取，点到平面的距离

20．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)求异面直线与所成的角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先建系利用向量法证明，再结合已知条件证明即可；

（2）利用异面直线的向量法即可.

【详解】（1）证明：由题可知，，分别以为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，.

所以，，，

，，

又，且与是平面内的两条相交直线，

所以，，

又在面上，故.

（2）解：由（1）可知，，

所以，与所成的角的余弦值为.

21．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.

(1)证明：

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；(2)计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解.

【详解】（1）（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,

，，

=,,即 .

（2）由(1)得，，

设平面的一个法向量为，

则取

因为与法向量所成的角和与平面所成的角互余，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

22．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．

(1)证明：；

(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)根据给定条件证得平面即可得解.

(2)在线段上取点F，使，过F作交BC于点G，再证明是二面角的平面角即可计算作答.

【详解】（1）在三棱锥中，因O为的中点，且，则，

又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，

所以.

（2）在线段上取点F，使，连接EF，如图，

因点E在棱上，且，则，因此，，

由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有

因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，，

过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面，

于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角，

因，则，而，，

，于是得，而有，因此得，

所以二面角的大小.