广东省湛江市雷州市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省湛江市雷州市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023—2024学年度第一学期高二第一次月考数学科试卷总分：150分 考试时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则＝（    ）A． B． C． D．2．＝（    ）A． B． C． D．3．空间直角坐标中，，，，则直线AB与CD的位置关系是（    ）A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定4．已知，，三个向量是两两垂直的单位向量，，，则与的数量积等于（    ）A．－15 B．－5 C．－3 D．－15．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（    ）A．  B．C．  D．6．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（    ）A．－1 B．1 C． D．7．已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（    ）A． B． C． D．8．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F分别为PD，PB的中点，，，若平面EFC，则λ＝（    ）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ）A．B．复数的虚部为2C．复数在复平面对应的点在第一象限D．为纯虚数，则实数10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（    ）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是11．若指数函数经过点，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（    ）A．直线平面 B．C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知函数，则＝______．14．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为k：6：4．已知高一年级抽取200人，则k的取值是______．15．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线AE的距离是______．16．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则＝______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求实数k的值．18．（1）已知，，求值；（2）若，求的值．19．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离．20．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（1）求B的大小．（2）若，，求b．21．如图，在棱长为a的正方体中，点P为线段上的一个动点，连接AP，DP，．（1）求证：面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．22．长方形ABCD中，，M是CD中点（图1），将沿AM折起，使得（图2），在图2中（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）在线段BD上是否存点E，使得平面ADM与AME的夹角为，请说明理由．高二第一次月考数学科试卷答案一、单选题1．A    2．D    3．B    4．A5．【答案】C【解析】，．故选：C6．【答案】A7．【答案】D建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，故，，设平面的法向量为则即令，则，即平面的一个法向量为，设直线CD与平面所成的角为则，故选D8．[答案]C【详解】以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，∵，，，设平面EFC的法向量，则，令，解得：，，∴；∵，又AG⊥平面EFC，∴，∴，解得：．故选：C．二、多选题9．【答案】AD【详解】，为纯虚数，则，故A，D对．复数的虚部为－2，，对应的点为，不在第一象限，故B，C错误．故选：AD10．【答案】AC11．【答案】BD【详解】由题意，设，则，解得，即，易知在R上单调递减，对于A、B，由，则，故A错误，B正确；对于C，由，则，故C错误；对于D，由，则，故D正确．故选：BD．12．【答案】ABD【详解】如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，．．则，，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；因为，即，所以，故B正确；，故C错误；设球心坐标为，则，由可得，解得，由可得，解得，再由可得，解得，所以，所以，故D正确．故选：ABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．【答案】－1【详解】函数，则，故答案为：－114．【答案】2【解析】由题设可得，故，15．【答案】【详解】如图示，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立坐标系，则，，，所以，，所以在上的投影为，所以点点到直线AE的距离是，故答案为：16．【答案】－42【详解】如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，显然平面MNG，平面，因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，在堑堵中，，则₁，即，又，则，而，于是得，所以，因，，所以故答案为：－42四、解答题17．【答案】（1）    （2）【详解】（1）由已知可得，，∴．（2），，∵，∴存在实数m使得，∴，，，联立解得．18．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）∵，，∴∴（2）若，则．19．【答案】（1）；（2）．【小问1详解因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，，所以直线DE和PF夹角的余弦值为．【小问2详解】由（1）知，，，，设平面PBF的法向量，则，令，得，所以点E到平面PBF的距离为．20．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由，得，因为，所以，又因为B为锐角，所以．（2）由余弦定理，可得，解得．21．【详解】（1）证明：连接AC，，可得，，因为AC，平面，，平面，所以平面，平面，因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面（2）以为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则，，，，所以，，，设平面的一个法向量分别为：，则：，令，则，设直线与平面所成的角的大小为θ，则：，∴直线与平面所成的角的正弦值为．22．【小问1详解】设，所以，，所以，由于，，AM，AD⊂平面ADM，所以BM⊥平面ADM，由于BM⊂平面ABCM，所以平面ADM⊥平面ABCM．【小问2详解】由（1）得，平面ADM⊥平面ABCM，以M为原点，建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知平面ADM的法向量为．，，，，设，则，设平面AEM的法向量为，则，故可设．由于平面ADM与AME的夹角为，所以，解得或（舍去）．所以在线段BD上存在E点，使得平面ADM与AME的夹角为，此时E是线段BD上，靠近D点的三等分点．