压轴题综合训练（三）-八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

压轴题综合训练（三）

（时间：60分钟  总分：100）      班级            姓名              得分     

一、选择题

1. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
   若，则四边形EFGH为矩形；
   若，则四边形EFGH为菱形；
   若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
   若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
   其中正确的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【知识点】平行四边形的性质、矩形的判定、四边形、菱形的判定、正方形的性质

【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
故选项正确，
故选：A．
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．
 

2. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致位置可能是．

A.  B.
C.  D.

【答案】C

【知识点】一次函数的图象

【解析】

【分析】

本题主要考查了一次函数的图象，要掌握它们的图象才能灵活解题．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．分析题意，根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．

【解答】

解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A.由图可得，中，，，中，，，k的取值矛盾，故本选项错误；
B.由图可得，中，，，中，，，b的取值相矛盾，故本选项错误；
C.由图可得，中，，，中，，，b，k的取值相一致，故本选项正确；
D.由图可得，中，，，中，，，k的取值相矛盾，故本选项错误；
故选C．

3. 等式成立的条件是   

A.  B.  C. 且 D.

【答案】D

【知识点】分式有意义的条件、二次根式的性质、二次根式有意义的条件

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除的有关知识，二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．
【解答】
解：等式成立，

解得：．
故选D．
 

4. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上，若，，则两个三角形重叠部分的面积为

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【知识点】角平分线的性质、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质

【解析】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作于M，于N．

，
，
，，
≌，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，于M，于N，
，
，
，
故选：D．
如图，设AB交CD于O，连接BD，作于M，于想办法求出的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．
 

二、填空题

5. 如图，在矩形ABCD中，，，点E为射线DC上一个动点，把沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．

【答案】或10

【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理

【解析】

【分析】
本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．
分两种情况讨论：点F在矩形内部；点F在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到DE的长．
【解答】
解：分两种情况：

如图1，当点F在矩形内部时，
点F在AB的垂直平分线MN上，
；
，
由勾股定理得，
，
设DE为y，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即DE的长为．
如图2，当点F在矩形外部时，

同的方法可得，
，
设DE为z，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10．
故答案为：或10．
 

6. 如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为          ．
    

【答案】 

【知识点】待定系数法求一次函数解析式

【解析】解：如图，
 

将图中1补到2的位置，
个正方形的面积之和是10，
梯形ABCD的面积只要等于5即可，
设点B的横坐标为x，则，
则，
解得，
点B的坐标为．

设过点A和点B的直线的解析式为，

将，分别代入，得

解得．

即过点A和点B的直线的解析式为．

7. ，，，，，其中n为正整数，则的值是__________．

【答案】

【知识点】数式规律问题、二次根式的性质

【解析】

【分析】
本题主要考查数式规律问题，二次根式的性质，解题的关键运用规律进行化简，先求出，，，的值，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故答案为．
 

8. 如图，，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则的面积为          ．

【答案】

【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、三角形的面积

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠与对称等有关知识，根据勾股定理计算出AB的长，再根据面积法计算出CE的长，根据勾股定理计算出AE的长，进一步得到AD的长，根据为等腰直角三角形求出EF的长，即可计算出BF的长，再根据，然后计算的面积即可解答．

【解答】

解：在中，，，所以．

根据折叠的性质可得：，，，，，，

，

，

解得：，

在中，

，

又因为，

所以，即为等腰直角三角形，

，

，

，
，
；

故答案为：．

三、解答题

9. 如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，，，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．
   若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；
   若点D在OA的延长线上，且，求点E的坐标；
   若，求点E的坐标．

【答案】解：当点D与点A重合时，如图1，

，
四边形BDFE是正方形，
，，
，
，
；
如图2，过E作于G，作轴于H，

，
，
，
四边形AGEH是矩形，
，
四边形BDEF是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
；
分两种情况：
在点A的右侧时，如图3，过E作轴于H，

由知：≌，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：或舍，
；
在点A的左侧时，如图4，过E作轴于H，
由知：≌，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：或舍，
，
；
综上，点E的坐标是或．

【知识点】矩形的性质、勾股定理、图形与坐标、正方形的性质

【解析】根据正方形的边长相等和矩形的对边相等，可得OE的长，从而得E的坐标；
作辅助线，先根据可知EG是AB的垂直平分线，证明≌，可得结论；
分两种情况：点D在点A的左侧和右侧，过E作轴于H，构建全等三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可得结论．
本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质和判定、勾股定理及一元二次方程，解题的关键是学会利用添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题．
 

10. 下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．

设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额，，都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式

填空：

若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为               

若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为               

若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为               

小王、小张今年5月份的通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．

【答案】解析  元元，

由题意可得

．

作出函数图象，如图：

结合图象可得：

若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为．

故答案为．

结合图象可得小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将代入，可得，

解得，，

小王该月的通话时间为55小时．

【解析】略
 

11. 用“”、“”、“”填空．

____；____；____；____．

由中各式猜想与的大小，并说明理由．

请利用上述结论解决下面问题：

某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？

【答案】解：，，，；
猜想：，
理由是：，，
，
；
设对角线长分别为a，b，
由题意得：，
，
，
，
，
用来做对角线的竹条至少要120厘米．

【知识点】非负数的性质：偶次方、二次根式的应用、数式规律问题、完全平方公式

【解析】

【分析】
此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；
直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
根据对角线互相垂直的四边形面积相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用的结论得出答案即可．
【解答】
解：，
，
，
同理得：；；．
故答案为，，，；
见答案；
见答案．
 

12. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发运动的时间为t秒．

出发2秒后，求PQ的长； 

当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ 

当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

【答案】解：， ，，
；
，，
根据题意得：，
解得：，
即出发秒钟后，能形成等腰三角形；
当时，如图1所示，
则，
，
．
，
，
，
，
，
秒．
当时，如图2所示，
则，
秒．
当时，如图3所示，
过B点作于点E，
则，
，
，
，
秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．

【知识点】勾股定理、等腰三角形的判定与性质、等腰三角形的判定

【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可；
当点Q在边CA上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
当时，则，可证明，则，则，从而求得t；
当时，则，易求得t；
当时，过B点作于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
 

13. 如图，已知直线与坐标轴交于B，C两点，点A是x轴正半轴上一点，并且，点F是线段AB上一动点不与端点重合，过点F作轴，交BC于E．

求AB所在直线的解析式

若轴于D，且点D的坐标为，请用含m的代数式表示DF与EF的长

在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形若存在，请直接写出点P的坐标若不存在，请说明理由．

【答案】解：在中，当时，，

即点B为，

，

同理，

，

，

即，

，

即点A的坐标为，

设AB所在直线的解析式为，

则，

解得，

所在直线的解析式为；

在中，当 时，即，

在中，当时，，

；

 或或．

【知识点】等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、一次函数综合

【解析】本题主要考查的是待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数的图象和性质，点的坐标的确定．

根据一次函数解析式求得B的坐标，得到OB的长，同理求得OC的长，再根据三角形的面积公式求得OA的长，即可得到A的坐标，再根据待定系数法求得解析式即可；

把代入即可得到DF，把代入即可得到EF；

分，，三种情况求值即可得出结论．