压轴题综合训练（四）（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

压轴题综合训练（四）

（时间：60分钟  总分：100）      班级            姓名              得分     

一、选择题

1. 直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点C最多有：

A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

【答案】C

【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、分类讨论思想、等腰三角形的性质

【解析】

【分析】

本题主要考查一次函数的综合应用对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论确定A、B两点的位置，分别以AB为腰、底讨论C点的位置．

【解答】

解：直线与y轴的交点为，直线与x轴的交点为．

以AB为底，C在原点；
以AB为腰，且A为顶点，C点有3种可能位置；
以AB为腰，且B为顶点，C点有3种可能位置．
所以满足条件的点C最多有7个．
故选C．

2. 的整数部分是x，小数部分是y，则的值为   

A.  B.  C.  D. 2

【答案】D

【知识点】估算无理数的大小、二次根式的混合运算

【解析】

【分析】
此题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，得出x，y的值是解题关键．
因为的整数部分为3，小数部分为，所以，，代入计算即可．
【解答】
解：的整数部分为3，小数部分为，
，，
，
故选D．
 

3. 已知a、b、c为的三边，且满足，则是

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【知识点】等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理

【解析】解：，
，或，
即或，
的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
由，可得：，或，进而可得或，进而判断的形状为等腰三角形或直角三角形．
此题考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足的三角形是直角三角形．
 

4. 如图，≌，其中，，，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误   

A. 四边形BECF为平行四边形
B. 当时，四边形BECF为矩形
C. 当时，四边形BECF为菱形
D. 四边形BECF不可能为正方形

【答案】B

【知识点】平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定、全等三角形的性质

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定；熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】
解：，，，
，
≌，
，，，，，
为BC中点，
，
在和中，

≌，
，
四边形BECF为平行四边形，故A选项不符合题意；
当时，若，
，
，
，
，
，
时，四边形BECF不是矩形，
故B选项符合题意；
，
，
，
为AC中点，
，
四边形BECF是平行四边形，
当时，四边形BECF为菱形，故C选项不符合题意；
当时，四边形BECF为菱形，此时，
四边形BECF不可能为正方形．故D选项不符合题意．
故选B．
 

二、填空题

5. 如图，点A的坐标为，正方形ABCD的顶点C、D都在y轴上．一次函数的图象经过点，且与正方形ABCD恰有2个交点，则k的取值范围是______．

【答案】

【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、正方形的性质

【解析】解：一次是函数过点A、C，
将点E坐标代入一次函数得：，解得：，
故一次函数的表达式为：，
当直线过点A时，，解得：；
同理当直线过点时，解得：，
故答案为：．
一次函数与正方形ABCD恰有2个交点的临界点是函数过点A、C，即可求解．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与正方形ABCD恰有2个交点的临界点为A、C，即可求解．
 

6. 已知a，b是正整数，若有序数对使得的值也是整数，则称数对是的一个“理想数对”例如：使得，所以是的一个“理想数对”请写出其他所有的“理想对数”：___________．

【答案】，，，，，

【知识点】分类讨论思想、二次根式的性质

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．根据已知假设a的值，分别进行分析讨论得出使得的值也是整数时，b的值，进而得出答案．
【解答】
解：当，，要使为整数，或时，分别为4和3，得出是的“理想数对” 
当，，要使为整数，或时，分别为3和2，得出是的“理想数对” 
当，，要使为整数，时，，得出是的“理想数对” 
当，，要使为整数，时，，得出是的“理想数对” 
当，，要使为整数，时，，得出是的“理想数对”．
即其它所有的“理想数对”：、、、、、．
故答案为，，，，，．
 

7. 如图，在的纸片中，，，点D在边BC上，以AD为折痕将折叠得到，与边BC交于点若为直角三角形，则BD的长是______．

【答案】7或

【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、分类讨论思想、直角三角形的概念及其性质

【解析】

【分析】
本题考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【解答】
解：在中，．
当时，如图1，

过点作，交AC的延长线于点F，
由折叠得：，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
即：，解得：舍去，，
因此，．
当时，如图2，此时点E与点C重合，

由折叠得：，则，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
因此．
故答案为7或．
 

8. 如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在CD，AD上，，BE，CF相交于点若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的周长为____．
   
    

【答案】

【知识点】正方形的性质

【解析】

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．
 根据面积之比得出的面积等于正方形面积的，进而依据的面积以及勾股定理，得出的长，进而得出其周长．
【解答】解：阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，

阴影部分的面积为，

空白部分的面积为，

由，，，可得≌，

的面积与四边形DEGF的面积相等，均为，

设，，则，

又222，

22，

即2，

，即，

的周长，

故答案为．

三、解答题

9. 甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的线路跑向公园，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向公园．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程米与甲出发的时间秒之间的函数图象，请根据题意解答下列问题．

在跑步的全过程中，甲共跑了           米，甲的速度为           米秒；

乙跑步的速度为       米秒，乙在途中等候甲的时间为         秒；

求乙出发多长时间第一次与甲相遇

【答案】解，；

，100；

，，，

的函数关系式是，AB的函数关系式是，
根据题意得，
解得，
乙出发150秒时第一次与甲相遇．

【知识点】一次函数的应用

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数的实际运用，正确识别函数图象，观察图象提供的信息，利用信息解决问题．

终点E的纵坐标就是路程，横坐标就是时间；
首先求得C点对用的横坐标，即a的值，则CD段的路程可以求得，时间是秒，则乙跑步的速度即可求得；
B点时，所用的时间可以求得，然后求得路程是150米时，甲用的时间，就是乙出发的时刻，两者的差就是所求；
首先求得甲运动的函数以及AB段的函数，求出两个函数的交点坐标即可．

【解答】

解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：米秒；

故答案为900，．
过B作轴于E．
甲跑500秒的路程是米，

甲跑600米的时间是秒，

乙跑步的速度是米秒，

乙在途中等候甲的时间是秒．

故答案为，100；

见答案．

10. 如图，在平面直角坐标系中，，且．
    
    求的值
    在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标在坐标轴上一共存在多少个点M，使成立请直接写出符合条件的点M的坐标．

【答案】解：由题意得，，，
解得：，； 
，，， 
，点C到AB的距离为2，到y轴的距离是1， 
， 
解得：， 
点M在y轴正半轴上， 
的坐标为； 

点M在y轴上时，点M为

点M在x轴上时，， 
解得，
所以点M的坐标为或
综上所述，存在点M的坐标为，，．

【知识点】绝对值、坐标与图形性质、三角形的面积、二次根式的非负性

【解析】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，注意几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；要注意题目条件对点M的要求． 
根据非负数的性质得出a，b的值即可； 
根据三角形的面积公式列式求出OM的长，然后写出点M的坐标即可；
写出点M在y轴上时的坐标，再求出点M在x轴上，根据三角形的面积公式列式求出OM的长，然后写出点M的坐标．
 

11. 如果满足等式的a、b、c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
    请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；
    若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律，，，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为______；
    用所学知识加以说明．

【答案】、61；
   ；
，
，

又为奇数，且，
由a，，三个数组成的数是勾股数．

【知识点】勾股数、整式的混合运算、数式规律问题

【解析】解：、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，
，60，61；
故答案为：60，61；

第一个数用字母为奇数，且表示，第二数为，
则用含a的代数式表示第三个数为，
故答案为：；

，
，

又为奇数，且，
由a，，三个数组成的数是勾股数．
分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
根据所提供的例子发现股是勾平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
依据新定义进行证明即可．
本题属规律型问题，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
 

12. 如图1，已知点，，且a、b满足，的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．且
    
    求m和k的值；

点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P的坐标；

以线段AB为对角线作正方形如图，点T是边AF上一动点，M是HT的中点，，交AB于N，当T在AF上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论。

【答案】解：，

解得：
，，
为AD中点，
，
．
，
将代入双曲线得：；
由可知反比例函数的解析式为，
点P在双曲线上，点Q在y轴上，
，
当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则，且AB与PQ平行，
，解得，

此时
如图2，ABQP为平行四边形，Q点在B点下方，且AP与y轴平行，，即，

此时，
如图3，当AB为对角线时，Q点在点B上方，，且；

，
．
综上所述：所有点P的坐标为或．
不变，，
理由：连接TN、FN，
是HT中点，，
垂直平分TH，
，
正方形AFBH，
，
，
，
，
，
在与中

≌，
，，
，
，
，
，
，
在四边形ATNH中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
不变，
，
，

，
，
，
，
即．

【知识点】等腰直角三角形、坐标与图形性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质、非负数的性质：偶次方、反比例函数综合、分类讨论思想、非负数的性质：算术平方根、全等三角形的判定与性质

【解析】本题考查的是反比例函数的图象及解析式，算术平方根和偶次方的非负性，特别与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，再根据中点坐标公式求得m，进而确定点D的坐标，待定系数法求出k的值即可；
由可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
连NH、NT、NF，易证，故，，得是等腰直角三角形，再根据三角形内角和定理即可解答．
 

13. 如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，，．
    
    求直线AC的解析式；
    作直线AC关于x轴的对称直线，交y轴于点D，求直线CD的解析式并结合的结论猜想并直接写出直线关于x轴的对称直线的解析式；
    若点P是直线CD上的一个动点，试探究点P在运动过程中，是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出的最大值及此时点P的坐标．

【答案】解：四边形ABCO是矩形，
，，
，，
设直线AC的解析式为，则有，
解得，
直线AC的解析式为．

由题意，点A，D关于原点对称，
，
设直线CD的解析式为，则有，
解得，
直线CD的解析式为．
由可知，直线关于x轴的对称直线的解析式为．

如图，由题意，

当P，A，B共线时，的值最大，最大值为4，此时．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质、一次函数的性质、一次函数综合

【解析】求出A，C两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．
求出点D的坐标，利用待定系数法解决问题即可．
易知，当P，A，B共线时，的值最大，由此即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了矩形的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．