压轴题综合训练（一）（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

压轴题综合训练（一）

（时间：60分钟  总分：100）      班级            姓名              得分     

一、选择题

1. 化简的结果为   

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的性质

【解析】分析】
根据题意得到，再根据化简，最后合并同类二次根式即可．
详解
解：由题意得：
原式．
故选B．
点评
本题考查二次根式的乘法和二次根式的性质及化简，解题的关键是根据题意得出及准确化简．
 

2. 如图，直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边或直径分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足的图形个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【知识点】勾股定理

【解析】

【分析】

此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据，可得第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据，可得第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据，可得第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据，可得．

【解答】

解：，，，
，
，
；
，，，
，
，
；
，，，
，
，
；
，，，
，
．
综上，可得面积关系满足图形有4个．
故选D．

3. 如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，于点E，于点F，连接给出下列结论：；；；其中正确的结论个数有    

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

【答案】B

【知识点】勾股定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理等．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
连接PC，根据正方形的性质，证明≌后即可证明，；再过P作于点G，延长AP到EF上于一点H，根据三角形内角和定理可得；由中，，矩形PECF中，，可得；利用勾股定理即可判断．
【解答】
解：连接PC，如图所示：

在正方形ABCD中，，，
在和中，

≌，
，，
，，
四边形PECF是矩形，
，，
，，故正确；
过P作于点G，延长AP到EF上于一点H，

，，
，即；
故正确；
在中，，
在矩形PECF中，，
，故错误；
，，
，
又，由知，
，故正确；
故正确，
故选B．
 

4. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：快车途中停留了；快车速度比慢车速度快；图中；快车先到达目的地．其中正确的是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】略
 

二、填空题

5. 已知，那么 ______ ．

【答案】

【知识点】二次根式的化简求值

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式得出，进而得出的值．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
 

6. 已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为             ．

【答案】或4cm

【知识点】勾股定理

【解析】

【分析】

此题考查勾股定理考虑两种情况：3和5都是直角边或5是斜边，根据勾股定理进行求解． 

【解答】

解：当3和5都是直角边时，则第三边是；

5是斜边时，则第三边是．

故答案为或4cm．

7. 如图，有一块直角三角形的木板AOB，，，，一只小蚂蚁在OA边上爬行可以与O、A重合，设其所处的位置C到AB的中点D的距离为x，则x的取值范围是______ ．

【答案】

【知识点】直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线定理

【解析】解：在中，
当C点与点或点A重合时，CD的长最大

当时，线段CD长最小，此时CD是中位线

．
由勾股定理知，，当C点与点O或点A重合时，到点D的距离最大，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，，当时，线段CD是从点D到AO的垂线段，长最小，此时CD是中位线，，所以．
本题利用了勾股定理和三角形的中位线求解．注意点C在点A或点O是x是最大的，CD是从点D到AO的垂线段时，x是最小的．
 

8. 把a，b两个数中较小的数记为，直线与函数的图象只有一个公共点，则k的取值范围是_________．

【答案】或或

【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系、分类讨论思想、一次函数与二元一次方程(组)的关系、一次函数的图象、分段函数

【解析】

【分析】
本题主要考查分段函数，一次函数的图像，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，两条直线相交或平行问题以及分类讨论的思想．
首先，求出一次函数和的交点坐标为，画出函数的图象的图像，由经过定点，结合图像，分情况讨论即可求得k的取值范围．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
，
一次函数和的交点坐标为，
函数的图象的图像如图：
，
经过定点．
如图，当经过点A时，直线与函数的图象只有一个公共点，
，
此时，将点代入，得：，解得：；
如图所示情况下，直线与函数的图象只有一个公共点，
，
当直线与直线平行时，，
此时，；
如图所示情况下，直线与函数的图象只有一个公共点，
，
当直线与直线平行时，，
此时，，
综上，k的取值范围为或或，
故答案为或或．
 

三、解答题

9. 根据平方差公式，得到由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题．

第1个式子：；

第2个式子：；

请写出第n个式子．

已知，求n的值．

求证：．

【答案】解：由题意得：第n个式子为其中n为大于等干1的整数
等式左边，
等式右边，
，
，
，
，
．
证明：，
．

【知识点】二次根式的混合运算、数式规律问题

【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简、数式规律解题关键在于读懂题意，得出数式的规律，根据规律化简即可得出答案．
根据第1个式子、第2个式子归纳即可得出第n个式子的规律
由的规律，将等式左边进行化简解出该方程即可得出答案
根据规律，将不等式的左边进行化简变形，估算出无理数的大小即可证明得出答案．
 

10. 如图，在凸四边形中，，，．
    如图，若连接AC，则的形状是______三角形．你是根据哪个判定定理？
    答：______请写出定理的具体内容
    如图，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．
    在第题的前提下，请你说明成立的理由．

【答案】等边  一个内角为的等腰三角形是等边三角形

【知识点】全等三角形的判定、勾股定理、等边三角形的判定

【解析】解：在中，，
是等腰三角形，
又，
是等边三角形一个内角为的等腰三角形是等边三角形；
故答案是：等边；一个内角为的等腰三角形是等边三角形；

由知，是等边三角形，
，；
又是等边三角形，
，，
，即，
≌，
全等三角形的对应边相等；

证明：由知，是等边三角形，则，．
．
在中，由勾股定理得．
又，
．
通过全等三角形的判定定理SAS证得≌，然后根据全等三角形的对应边相等推知；
要证明，只需证明是直角三角形即可．
本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形为等边三角形：三边长度相等；三个内角度数均为60度；一个内角为60度的等腰三角形．
 

11. 如图1，正方形ABCD的顶点C在线段EF上，于点E，于点F，
    求证：≌；
    判断线段EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明；
    如图2，若将正方形ABCD四个顶点都置于一组平行线上，且平行线间的间距都为1cm，求此时BD的长．

【答案】证明：如图1，四边形ABCD是正方形，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，理由是：
由得：≌，
，，
，
；
解：如图，过B作于E，过D作于F，

平行线间的间距都为1cm，
，，
四边形ABCD是正方形，
同理可得≌，
，
由勾股定理得：，
．

【知识点】四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形的性质

【解析】通过AAS证明≌；
根据中的≌，得，，相加可得结论；
如图，作辅助线，构建三角形全等，证明≌，得，最后利用勾股定理可得结论．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理等知识，解本题的关键是证明≌．
 

12. 某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
    请填写下表；

设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元，其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．

【答案】市运往A市吨；C市运往B市吨；D市运往A市吨；  
由题意可得，
，
；
由题意可得，
，
当时，
时，w取得最小值，此时，
解得，，
当时，
时，w取得最小值，此时，，
解得，，
，
这种情况不符合题意，
由上可得，m的取值范围是．

【知识点】一元一次不等式的应用、一次函数的应用

【解析】

解：市运往B市x吨，
市运往A市吨，C市运往B市吨，C市运往A市吨，
故答案为：、、；
见答案；
见答案．
【分析】
根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整；
根据题意可以求得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数和不等式的性质解答．
 

13. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点，点且a、b满足．
    
    ______；______．
    点P在直线AB的右侧，且，
    若点P在x轴上，则点P的坐标为______；
    若为直角三角形，求点P的坐标；
    如图2，在的条件下，且点P在第四象限，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，连接求证：提示：过点P作交x轴于

【答案】解：；  4 

 当时，过点P作轴于点H，

，，
，
由，，
可得，
又，
≌，
，，，
故点P的坐标为；
当时，
同理可求得：点P的坐标为，
故点P的坐标为或；
过点P作交x轴于H，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点F、E，

由知，，

，
，
，又，
≌，
，，

，
又，
≌，
，
．

【知识点】平面直角坐标系中点的坐标、一次函数的应用、全等三角形的判定与性质

【解析】

解：
，
即：，，
解得，，
故答案是，4；
点P在x轴上，则，
所以点P的坐标为，
故答案是；
见答案
见答案．
【分析】
整理已知式，由非负数的性质，即可求解；
点P在x轴上，则，即可求解；
分、两种情况，求解即可；
通过证明≌得：，证明≌，，即可求解．
本题为一次函数综合题，主要考查了三角形全等、因式分解等知识点，其中通过两次全等证明角相等是本题的亮点．