2023届黑龙江省大庆市大庆中学高三上学期开学考试数学试题含答案

2023届黑龙江省大庆市大庆中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可求出，再根据交集定义求解.

【详解】由解得，所以，

所以，

故选:A.

2．下列函数中，值域为的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对选项逐一分析对应函数的值域，由此确定正确答案.

【详解】A，的值域为，不符合，

B，的值域为，不符合，

C，的值域为，符合，

D，函数值可以为负数，不符合.

故选：C

3．若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据导数求切线方程的即可.

【详解】设切点坐标为，由，则，且，将代入得，故a=1.

故选：A

4．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性比较大小．

【详解】∵是减函数，，所以，

又，

∴．

故选：C．

5．把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由排列数公式计算4本书排成一行、语文书和英语书不相邻的排法，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有种不同的排法，

若语文书和英语书不相邻，其排法有种，

则语文书和英语书不相邻的概率.

故选：C.

6．如果，那么下列不等式成立的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．

【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．

可得，，，故B不正确．

可得，，，故C不正确．

故选：D．

7．导函数的图象如图所示，下列说法正确的个数是（    ）

①导函数在处有极小值

②函数在处有极大值

③函数在上是减函数

④函数在是增函数

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据导函数图象与原函数的单调性的关系逐项分析可得.

【详解】由的图象可知，故①正确；

在两边，所以在无极值，②错误；

由图象可知，在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，③错误；

在上，所以函数在上单调递增，④正确.

故选：B

8．5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（    ）

A．30种 B．90种 C．120种 D．150种

【答案】D

【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案．

【详解】因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，

共有1，2，2和1，1，3两种情况．若是1，2，2，则共有（种）；

若是1，1，3，则共有（种），

所以共有（种）不同的方法.

故选：D．

9．已知函数为增函数，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意恒成立，从而可得出答案.

【详解】，由函数为增函数

所以恒成立，即

由，所以

故选：A

10．在某校的一次化学考试中，全体考生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参加考试的学生总数约为（    ）

（参考数据：，，）

A．202 B．205 C．206 D．208

【答案】A

【分析】利用给定的正态分布求出90分以上的概率，再列式计算作答.

【详解】因化学考试的成绩服从正态分布，显然期望，标准差，

于是得，

所以参加考试的学生总数约为.

故选：A

11．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法错误的是（    ）

A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期为

C．当时，函数的最小值为 D．方程有个根

【答案】C

【分析】利用偶函数的定义判断A；利用函数周期的定义判断B；根据对称性以及二次函数的性质可判断C；利用数形结合的判断D.

【详解】因为是定义域为R的函数，

由，则，

又，

所以，即，

所以，所以函数是偶函数，故A正确；

由，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B正确；

当时，，

函数的最小值为，

由，所以为对称轴，

所以当时，函数的最小值为，故C不正确；

作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，

又与为偶函数，

由对称性可知方程有10个根，故D正确.

故选：C.

12．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.

【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，

当，，故在上单调递减，

且易知为奇函数，故在上单调递减，由，

所以.

故选：B.

二、多选题

13．下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.

【详解】因为关于的不等式对恒成立，

当时，原不等式即为恒成立；

当时，不等式对恒成立，

可得，即，解得：.

当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，

综上：的取值范围为：.

所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有

或.

故选：BC.

14．已知函数，若有三个不等实根，且，则（    ）

A．的单调递减区间为 B．的取值范围是

C．的取值范围是 D．函数有4个零点

【答案】ACD

【分析】作出函数和有三个交点的图象，结合图象逐个判断即可求解

【详解】作出函数和有三个交点的图象，

可知，的单调递减区间为，故A正确；

的取值范围是，故B错误；

由，得，即，

故，则.

又因为，所以的取值范围为，故C正确；

令，则或，

则函数的零点可转化为或的零点，

由图象可知只有一个零点，有3个零点，

即函数有4个零点，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

15．根据超市统计资料显示，顾客购买产品的概率为，购买产品的概率为，既购买产品又购买产品的概率为，则顾客购买产品的条件下购买产品的概率为           .

【答案】/0.375

【分析】利用条件概率公式即得.

【详解】记“顾客购买产品”为事件，记“顾客购买产品”为事件，

则，

∴.

故答案为：.

16．若实数x，y满足，则的最小值为           ．

【答案】

【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案．

【详解】由题意，

得：，

则（当且仅当时，取等号）．

故答案为：

17．已知，则        ．（用数字作答）

【答案】210

【分析】根据二项展开式的通项可知展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，可得，令，即可求解．

【详解】解：因为，

所以展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，

所以，

展开式的通项公式为，

所以，，

在二项展开式中，令，

可得，

，

故答案为：．

18．已知函数满足：，则；当时，，则        ．

【答案】/

【分析】利用对数函数性质确定的范围，再利用给定关系求解作答.

【详解】依题意，，则，因此，

而，则；当时，，

所以.

故答案为：

四、解答题

19．2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始，持续到1月31日，用户打开支付宝最新版，通过AR扫描“福”字集福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），在除夕夜22：18前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表所示：

(1)请根据以上数据，由的独立性检验，判断集齐“五福”是否与性别有关；

(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．

参考公式：，其中．

【答案】(1)有的把握认为是否集齐“五福”与性别有关

(2)

【分析】（1）由公式根据列联表求出，将其与临界值比较大小，根据比较结果判断即可；

（2）由条件列出所有基本事件，再由古典概型的概率公式求解.

【详解】（1）根据列联表可得：，

又，，

所以有95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关；

（2）设集齐“五福”卡的男性抽取x人，则，所以，

故抽取的5人中集齐“五福”卡的男性有4人，未集齐“五福”卡的男性有1人，

设被抽取的集齐“五福”卡的4名男性为,未集齐“五福”卡的1名男性为，

从5人中任意抽取3人的所有基本事件如下：

，

，

所以基本事件总数为10，其中事件恰有1人未集齐“五福”卡包含的基本事件有：

共6种，

由古典概型的概率公式可得事件恰有1人未集齐“五福”卡的概率,

故这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率是.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且

(1)证明：平面平面ACE；

(2)求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意可证平面PBD，进而可得结果；

（2）以点O为坐标原点建系，根据垂直关系求点E的坐标，利用空间向量求面面夹角.

【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，则

又因为ABCD为菱形，则，

且，平面PBD，

所以平面PBD，则平面，

故平面平面PBD.

（2）由题意可知：，平面ABCD，

故以点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

设，则，

可得，解得，即，

可得，

因为，则，解得，所以，

由题意可知：平面PAC的一个法向量为，

设平面ACE的一个法向量，可得，

则，

令，则，可得

则，

所以平面PAC与平面ACE所成角的余弦值为.

21．防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份与订单（单位：万元）的几组对应数据：

(1)求关于的线性回归方程，并估计6月份该厂的订单数；

(2)求相关系数（精确到0.01），说明与之间具有怎样的相关关系.

参考数据：，，.，.参考公式：相关系数；回归直线的方程是，其中.

【答案】(1)，6月份该厂的订单数为59.9万元；

(2)，与之间具有很强的正相关关系.

【分析】（1）求出与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值得答案；

（2）由已知数据求得值，可得与的相关系数近似为0.99，故与之间的线性相关程度相当高．

【详解】（1）解：由题可得：，

，

，

关于的线性回归方程为，

2022年6月对应的变量为6，将代入，

得，

估计6月份该厂的订单数为59.9万元．

（2）相关系数.

与之间具有很强的正相关关系.

22．在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得1分､1分､2分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.

(1)求乙同学恰好答对两道题的概率；

(2)运用你学过的知识判断，谁的得分能力更强.

【答案】(1)

(2)乙的得分能力更强

【分析】（1）利用二项分布可求乙同学恰好答对两道题的概率；

（2）利用独立事件和二项分布可求甲同学在本次竞赛中得分和乙同学在本次竞赛中得分的数学期望，从而可求判断谁的得分能力更强.

【详解】（1）设“乙同学恰好答对两道题”为事件为A，则，

所以.

（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为0，1，2，3，4分，

则，  

，

，

，

，

所以的概率分布列为：

所以

设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为0，1，2，3，4分

，   

， ，

，，

所以的概率分布列为：

所以，

所以，所以乙的得分能力更强.

23．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）根据（1）中的结果，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

，

当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为；

当时，由可得，由可得，

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，此时函数至多一个零点，不合乎题意；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

则，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递减，且，

所以，，故.

令，其中，则.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，即，

所以，，

所以，，

，

又因为，由零点存在定理可知，函数在、上各有一个零点，合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.