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黑龙江省牡丹江市第三高级中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题
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这是一份黑龙江省牡丹江市第三高级中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年度第一学期开学考试
高三数学试卷
考试时间：120分钟分值：150分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，每题只有一个正确选项，共40分）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列所给图象是函数图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
5．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④
其中是“理想函数”的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
6．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为、、、、．根据直方图，以下结论不正确的是（ ）
A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300
D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300
7．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．和 D．
8．已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，每题有多个正确选项，选不全得2分，选错得0分，完全正确得5分，共20分）
9．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件．
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
10．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7
B．若随机变量，则
C．若事件满足，则与独立
D．若随机变量，则
11．已知函数，则下列正确的为（ ）
A．函数的定义域为
B．
C．函数的定义域为
D．若的值域为，则其定义域必为
12．3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（ ）
A．共有种不同的报名方法
B．若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能
C．若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法
D．若每个活动小组最少安排一名同学，且甲、乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式的解集是______．
14．已知，函数，若，则______．
15．二项式的展开式中第4项的系数为______．
16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则
①2是函数的一个周期；
②函数在上是减函数，在上是增函数；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④是函数的一个对称轴；
⑤当时，．
其中所有正确命题的序号是______．
四、解答题（共6题，共70分）
17．（10分）已知，且或，求：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
19．（12分）求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，求函数的最大值．
20．（12分）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
100
（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．
附：．
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
21．（12分）近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码
1
2
3
4
5
交易额亿元
7
16
20
27
30
（1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱．（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱．）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测2023年该网站“双11”当天的交易额．
参考数据：，参考公式：，
22．（12分）甲、乙两人进行猜灯谜游戏，每次同时猜同一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，且获胜一方得1分，失败一方得-1分；若两人都猜对或两人都猜错，则为平局，两人均得0分．已知猜灯谜游戏中，甲、乙每次猜对的概率分别为，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜游戏也互不影响．
（1）求1次猜灯谜游戏中，甲得分的分布列与数学期望；
（2）设3次猜灯谜游戏后累计得分为正者获胜，求甲获胜的概率．
2023—2024学年度第一学期开学考试
高三 数学试卷参考答案
参考答案：
1．C
【分析】利用交集的定义直接求解即可
【详解】解：因为A={x|-2
故选：C
2．B
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，且将∀→∃并否定原结论即可.
【详解】由题设知，原命题的否定为：“∃x∈(0 , π2) , x≤sinx ”.
故选：B
3．B
【分析】根据函数的定义，结合图象判断，任意的一个自变量x都有唯一确定的函数值y与之对应．
【详解】①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，
②中当x=x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，
③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，
故选B
【点睛】本题考查了函数的概念，在判定是否为函数时要根据其概念，对于定义域内的每一个变量x都有唯一确定的函数值y与之对应，结合图象即可判断，较为基础．
4．A
【分析】首先根据1a<1b<0判断出a,b的关系，然后对四个不等式逐一分析，由此确定正确不等式的序号.
【详解】由于1a<1b<0，所以b
③错误.
④由于b1，有基本不等式得ba+ab>2ba⋅ab=2，所以④正确.
综上所述，正确不等式的序号是①④.
故选：A
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式，属于基础题.
5．C
【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．
【详解】解：∵函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；
②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有f(x1)-f(x2)x1-x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”，
∴ “理想函数”既是奇函数，又是减函数，
①fx=x2是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；
②fx=-x3是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；
③fx=x-1x是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．
④fx=-x2,x≥0x2,x<0是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．
故选C
【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
6．A
【分析】根据频率分布直方图计算众数和中位数，可判断AB选项的正误；利用频率直方图估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时和25小时的人数，可判断CD选项的正误.
【详解】对于A，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是22.5+25÷2=23.75，故选项A错误；
对于B，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标，
设中位数为x，则有0.02×2.5+0.1×2.5+x-22.5×0.16=0.5，解得x=23.75，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项B正确；
对于C，每周的自习时间小于22.5小时的频率为0.02+0.1×2.5=0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是0.3×1000=300，故选项C正确；
对于D，每周的自习时间不小于25小时的频率为0.08+0.04×2.5=0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000=300，故选项D正确.
故选：A.
【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，频率=组距×频率组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．
7．B
【分析】根据复合函数的单调性及二次函数的性质即得.
【详解】由题可得函数的定义域满足x2-4x+3≥0，即x|x≤1或x≥3，
根据复合函数的单调性，可得函数y＝x2-4x+3的单调递减区间为u=x2-4x+3在-∞,1∪3,+∞上的递减区间，
因为u=x2-4x+3在-∞,1∪3,+∞上的单调递减区间为(－∞,1)，
所以函数y＝x2-4x+3的单调递减区间为(－∞,1).
故选：B
8．A
【分析】可以得出f(x)=x+4x，从而可得出f(x)在(1,2)上单调递减，在[2，3]上单调递增，从而求出f(x)在(1，3]上的最小值为f(2)，并求出f(1)，f(3)的值，这样即可得出f(x)在(1，3]上的值域．
【详解】f(x)=x2+4x=x+4x，
∴f(x)在(1,2)上单调递减，在[2，3]上单调递增，
∴ f(2)=4是f(x)在(1，3]上的最小值，且f(1)=5，f(3)=133，
∴f(x)在(1，3]上的值域为[4，5)．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数y=x+ax(a>0)的单调性，函数值域的定义及求法，根据函数单调性求值域的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．
9．ABD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：选项A，由a>1，能推出1a<1，但是由1a<1，不能推出a>1，
例如当a<0时，符合1a<1，但是不符合a>1，所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，由x2-4x+4=0，解得x=2，所以“x=2”是“x2-4x+4=0”的充要条件，故B正确；
选项C，根据不等式的性质可知：由x≥2且y≥2能推出x2+y2≥4，充分性成立，故C错误；
选项D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立，
由ab≠0可得a≠0且b≠0，即必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
10．CD
【分析】A应用百分数的求法求70%分位数；B应用二项分布方差公式求D(X)即可；C应用全概率公式及已知条件判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立即可；D根据正态分布的对称性求P(2≤x<3)即可.
【详解】A：由10×70%=7，所以70%分位数是7+82=7.5，错误；
B：由题设，D(X)=6×13×(1-13)=43，错误；
C：因为P(AB)+P(AB)=P(A)，即P(AB)=P(A)-P(AB)，又P(AB)=P(A)⋅[1-P(B)]，即P(A)P(B)=P(A)-P(AB)，所以P(AB)=P(A)P(B)，故A与B独立，正确；
D：由题设，P(X)关于X=2对称，所以P(2≤x<3)=2P(X>1)-12=0.18，正确；
故选：CD
11．AB
【分析】选项A，由根式定义，求解4-x2≥0，即可判断；
选项B，代入f-x验证，即可判断；
选项C，令-2≤2x-1≤2，求解即可得到定义域；
选项D，当定义域为3,2，值域也为0,1，故可判断.
【详解】选项A，由题意4-x2≥0，即(2-x)(2+x)≥0，解得-2≤x≤2，故函数定义域为-2,2，正确；
选项B，∀x∈-2,2，f-x=4-(-x)2=4-x2=fx，正确；
选项C，由题意-2≤2x-1≤2，解得-12≤x≤32，即函数gx的定义域为[-12,32]，错误；
选项D，当定义域为3,2，即3≤x≤2，此时3≤x2≤4，0≤4-x2≤1，0≤4-x2≤1，即fx的值域为0,1，错误.
故选：AB
12．ABD
【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解.
【详解】A：每位同学都有3个选择，所以共有36种不同的安排方法，故A正确；
B：每个活动小组至少有1名同学参加，各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有6种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有1种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有3种可能，
所以共有6+1+3=10种可能，故B正确；
C：若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，
则3个活动小组的报名人数分别为222，
所以报名的方法有(C31C31)(C21C21)(C11C11)=36种，故C错误；
D：若每个活动小组最少安排一名同学，则各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
而甲､乙两名同学报名同一个活动小组，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有(C41C33+C41C32)A33=96种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有C42C22A332=18种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有C42C21A332=36种方法，
所以报名的方法有96+18+36=150种，故D正确.
故选：ABD.
13．{x|1
14．-1
【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值
【详解】ff9=f(9-2)=f(1)=1-3+a=1，解得a=-1
故答案为：-1
15．-560
【分析】直接利用二项展开式通项可求得结果.
【详解】T4=C73⋅2x4⋅-1x3=-35×16×x4-32=-560x52.
因此，二项式2x-1x7的展开式中第4项的系数为-560.
故答案为：-560.
16．①②④⑤
【分析】①根据f（x+1）＝f（x﹣1），变形为f（x+2）＝f（x），再利用周期的定义判断.②易知，当x∈[0，1]时，f（x）＝（12）1﹣x，是增函数，再利用周期性和奇偶性转化判断.③根据②的结论判断.④根据②的结论判断.⑤设x∈（3，4）时，则有4﹣x＝（0，1），再利用周期性和奇偶性再求解.
【详解】∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝f[（x+1）﹣1]＝f（x），即2是函数f（x）的一个周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f（x）＝（12）1﹣x为增函数，因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以当x∈[﹣1，0]时，f（x）为减函数，
再由函数的周期为2，可得（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；
由②得：当x＝2k，k∈Z时，函数取最小值12，当x＝2k+1，k∈Z时，函数取最大值1，故③错误；
由②和函数是偶函数得x＝k，k∈Z均为函数图象的对称轴，故④正确；
设x∈（3，4），则4﹣x∈（0，1），所以f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝（12）1﹣（4﹣x）＝（12）x﹣3，故⑤正确
故答案为：①②④⑤
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了数形结合，转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
17．(1)x-4
【分析】（1）根据交集的概念计算即可；
（2）根据补集和交集的概念计算即可.
（1）
因为U=R，且A={x|-4
∁UA={xx≤-4或x≥4}，
则∁UA∩B={xx≤-4或x≥4}.
18．(1)a＝2，b＝1；
(2)答案见解析
【分析】（1）由不等式f(x)<0的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值；
（2）b＝1时不等式可化为x-ax-1>0，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集．
【详解】（1）由函数f(x)=x2-(a+b)x+a，不等式f(x)<0化为x2-a+bx+a<0，由不等式的解集为1,2，所以方程x2-(a+b)x+a=0的两根为1和2，
由根与系数的关系知：1+2=a+b1×2=a，解得a＝2，b＝1；
（2）b＝1时不等式f(x)>0，可化为x2-(a+1)x+a>0
即x-ax-1>0；
当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；
当a＝1时，解不等式得x≠1；
当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．
综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；
a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．
19．（1）-52；（2）2
【分析】（1）变换y=-123-2x+83-2x+32，再利用均值不等式计算得到答案.
（2）变换y=22⋅2x4-2x，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）x<32，则3-2x>0，
y=x+82x-3=-123-2x+83-2x+32≤-2123-2x⋅83-2x+32=-52，
当123-2x=83-2x，即x=-12时等号成立.
（2）y=x(4-2x)=22⋅2x4-2x≤22⋅2x+4-2x2=2，
当2x=4-2x，即x=1时等号成立.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的转化能力，合理变形是解题的关键.
20．(1)填表见解析；有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”
(2)815
【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）分析可知，抽取的6名学生中，男生2人，分别记为a、b，女生4人，分别记为A、B、C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
满意
不满意
合计
男生
20
20
40
女生
40
20
60
合计
60
40
100
K2=100×20×20-40×20260×40×60×40=259≈2.778>2.706所以有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”.
（2）解：由题意，抽取的6名学生中，男生2人，分别记为a、b，女生4人，分别记为A、B、C、D，
则在这6名学生中抽取2名学生，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、
bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种，
其中，事件“恰好抽中1名男生与1名女生”所包含的基本事件有：aA、aB、aC、
aD、bA、bB、bC、bD，共8种，
故所求概率为P=815.
21．（1）r≈0.986；变量y与x的线性相关性很强；（2）y=2.9+5.7x；可预测2023年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
【分析】（1）首先根据表中数据求出x,y，再求出相关系数即可判断线性相关性的强弱.
（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再将x=6代入回归方程即可求解.
【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，
可得x=1+2+3+4+55=3，y=7+16+20+27+305=20，
r=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2i=15yi2-5y2=357-5×3×2055-5×3×32334-5×20×20=573340≈5757.8≈0.986
因为0.75<0.986≤1，所以变量y与x的线性相关性很强．
（2）b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=357-5×3×2055-5×3×3=5710=5.7．
a=y-bx=20-5.7×3=2.9
可得y关于x的线性回归方程为y=2.9+5.7x
令x=6，可得y=37.1，
即可预测2023年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
22．(1)分布列答案见解析，数学期望：112
(2)79192
【分析】（1）先写出甲的得分的所有可能取值，分别求得其概率，列出分布列，即可求得期望.
（2）写出甲获胜的累计得分的所有可能取值，分别求得其概率，即可得甲获胜的概率
(1)
1次猜灯谜游戏中，甲的得分记为ξ，则ξ的所有可能取值为1，0，-1.
Pξ=1=34×13=14，Pξ=0=34×23+14×13=712，Pξ=-1=14×23=16.
ξ的分布列为
ξ
1
0
-1
P
14
712
16
ξ的数学期望Eξ=1×14+0×712+-1×16=112.
(2)
设3次猜灯谜游戏后甲获胜的累计得分为X，
则X=3表示甲获胜3次，PX=3=C33×143=164，
X=2表示甲获胜2次且平局1次，PX=2=C32142×712=764，
X=1表示甲获胜2次且失败1次或甲获胜1次且平局2次，PX=1=C32142×16
+C31×14×7122=55192，
所以PX>0=PX=3+PX=2+PX=1=164+764+55192=79192，
所以3次猜灯谜游戏后甲获胜的概率为79192.
2023-2024学年度第一学期开学考试
高三数学试卷
考试时间：120分钟分值：150分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，每题只有一个正确选项，共40分）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列所给图象是函数图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
5．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④
其中是“理想函数”的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
6．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为、、、、．根据直方图，以下结论不正确的是（ ）
A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300
D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300
7．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．和 D．
8．已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，每题有多个正确选项，选不全得2分，选错得0分，完全正确得5分，共20分）
9．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件．
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
10．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7
B．若随机变量，则
C．若事件满足，则与独立
D．若随机变量，则
11．已知函数，则下列正确的为（ ）
A．函数的定义域为
B．
C．函数的定义域为
D．若的值域为，则其定义域必为
12．3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（ ）
A．共有种不同的报名方法
B．若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能
C．若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法
D．若每个活动小组最少安排一名同学，且甲、乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式的解集是______．
14．已知，函数，若，则______．
15．二项式的展开式中第4项的系数为______．
16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则
①2是函数的一个周期；
②函数在上是减函数，在上是增函数；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④是函数的一个对称轴；
⑤当时，．
其中所有正确命题的序号是______．
四、解答题（共6题，共70分）
17．（10分）已知，且或，求：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
19．（12分）求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，求函数的最大值．
20．（12分）为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
100
（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．
附：．
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
21．（12分）近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码
1
2
3
4
5
交易额亿元
7
16
20
27
30
（1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱．（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱．）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测2023年该网站“双11”当天的交易额．
参考数据：，参考公式：，
22．（12分）甲、乙两人进行猜灯谜游戏，每次同时猜同一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，且获胜一方得1分，失败一方得-1分；若两人都猜对或两人都猜错，则为平局，两人均得0分．已知猜灯谜游戏中，甲、乙每次猜对的概率分别为，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜游戏也互不影响．
（1）求1次猜灯谜游戏中，甲得分的分布列与数学期望；
（2）设3次猜灯谜游戏后累计得分为正者获胜，求甲获胜的概率．
2023—2024学年度第一学期开学考试
高三 数学试卷参考答案
参考答案：
1．C
【分析】利用交集的定义直接求解即可
【详解】解：因为A={x|-2
故选：C
2．B
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，且将∀→∃并否定原结论即可.
【详解】由题设知，原命题的否定为：“∃x∈(0 , π2) , x≤sinx ”.
故选：B
3．B
【分析】根据函数的定义，结合图象判断，任意的一个自变量x都有唯一确定的函数值y与之对应．
【详解】①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，
②中当x=x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，
③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，
故选B
【点睛】本题考查了函数的概念，在判定是否为函数时要根据其概念，对于定义域内的每一个变量x都有唯一确定的函数值y与之对应，结合图象即可判断，较为基础．
4．A
【分析】首先根据1a<1b<0判断出a,b的关系，然后对四个不等式逐一分析，由此确定正确不等式的序号.
【详解】由于1a<1b<0，所以b
③错误.
④由于b
综上所述，正确不等式的序号是①④.
故选：A
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式，属于基础题.
5．C
【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．
【详解】解：∵函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；
②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有f(x1)-f(x2)x1-x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”，
∴ “理想函数”既是奇函数，又是减函数，
①fx=x2是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；
②fx=-x3是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；
③fx=x-1x是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．
④fx=-x2,x≥0x2,x<0是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．
故选C
【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
6．A
【分析】根据频率分布直方图计算众数和中位数，可判断AB选项的正误；利用频率直方图估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时和25小时的人数，可判断CD选项的正误.
【详解】对于A，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是22.5+25÷2=23.75，故选项A错误；
对于B，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标，
设中位数为x，则有0.02×2.5+0.1×2.5+x-22.5×0.16=0.5，解得x=23.75，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项B正确；
对于C，每周的自习时间小于22.5小时的频率为0.02+0.1×2.5=0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是0.3×1000=300，故选项C正确；
对于D，每周的自习时间不小于25小时的频率为0.08+0.04×2.5=0.3，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000=300，故选项D正确.
故选：A.
【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，频率=组距×频率组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．
7．B
【分析】根据复合函数的单调性及二次函数的性质即得.
【详解】由题可得函数的定义域满足x2-4x+3≥0，即x|x≤1或x≥3，
根据复合函数的单调性，可得函数y＝x2-4x+3的单调递减区间为u=x2-4x+3在-∞,1∪3,+∞上的递减区间，
因为u=x2-4x+3在-∞,1∪3,+∞上的单调递减区间为(－∞,1)，
所以函数y＝x2-4x+3的单调递减区间为(－∞,1).
故选：B
8．A
【分析】可以得出f(x)=x+4x，从而可得出f(x)在(1,2)上单调递减，在[2，3]上单调递增，从而求出f(x)在(1，3]上的最小值为f(2)，并求出f(1)，f(3)的值，这样即可得出f(x)在(1，3]上的值域．
【详解】f(x)=x2+4x=x+4x，
∴f(x)在(1,2)上单调递减，在[2，3]上单调递增，
∴ f(2)=4是f(x)在(1，3]上的最小值，且f(1)=5，f(3)=133，
∴f(x)在(1，3]上的值域为[4，5)．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数y=x+ax(a>0)的单调性，函数值域的定义及求法，根据函数单调性求值域的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．
9．ABD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：选项A，由a>1，能推出1a<1，但是由1a<1，不能推出a>1，
例如当a<0时，符合1a<1，但是不符合a>1，所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，由x2-4x+4=0，解得x=2，所以“x=2”是“x2-4x+4=0”的充要条件，故B正确；
选项C，根据不等式的性质可知：由x≥2且y≥2能推出x2+y2≥4，充分性成立，故C错误；
选项D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立，
由ab≠0可得a≠0且b≠0，即必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
10．CD
【分析】A应用百分数的求法求70%分位数；B应用二项分布方差公式求D(X)即可；C应用全概率公式及已知条件判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立即可；D根据正态分布的对称性求P(2≤x<3)即可.
【详解】A：由10×70%=7，所以70%分位数是7+82=7.5，错误；
B：由题设，D(X)=6×13×(1-13)=43，错误；
C：因为P(AB)+P(AB)=P(A)，即P(AB)=P(A)-P(AB)，又P(AB)=P(A)⋅[1-P(B)]，即P(A)P(B)=P(A)-P(AB)，所以P(AB)=P(A)P(B)，故A与B独立，正确；
D：由题设，P(X)关于X=2对称，所以P(2≤x<3)=2P(X>1)-12=0.18，正确；
故选：CD
11．AB
【分析】选项A，由根式定义，求解4-x2≥0，即可判断；
选项B，代入f-x验证，即可判断；
选项C，令-2≤2x-1≤2，求解即可得到定义域；
选项D，当定义域为3,2，值域也为0,1，故可判断.
【详解】选项A，由题意4-x2≥0，即(2-x)(2+x)≥0，解得-2≤x≤2，故函数定义域为-2,2，正确；
选项B，∀x∈-2,2，f-x=4-(-x)2=4-x2=fx，正确；
选项C，由题意-2≤2x-1≤2，解得-12≤x≤32，即函数gx的定义域为[-12,32]，错误；
选项D，当定义域为3,2，即3≤x≤2，此时3≤x2≤4，0≤4-x2≤1，0≤4-x2≤1，即fx的值域为0,1，错误.
故选：AB
12．ABD
【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解.
【详解】A：每位同学都有3个选择，所以共有36种不同的安排方法，故A正确；
B：每个活动小组至少有1名同学参加，各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有6种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有1种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有3种可能，
所以共有6+1+3=10种可能，故B正确；
C：若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，
则3个活动小组的报名人数分别为222，
所以报名的方法有(C31C31)(C21C21)(C11C11)=36种，故C错误；
D：若每个活动小组最少安排一名同学，则各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
而甲､乙两名同学报名同一个活动小组，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有(C41C33+C41C32)A33=96种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有C42C22A332=18种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有C42C21A332=36种方法，
所以报名的方法有96+18+36=150种，故D正确.
故选：ABD.
13．{x|1
14．-1
【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值
【详解】ff9=f(9-2)=f(1)=1-3+a=1，解得a=-1
故答案为：-1
15．-560
【分析】直接利用二项展开式通项可求得结果.
【详解】T4=C73⋅2x4⋅-1x3=-35×16×x4-32=-560x52.
因此，二项式2x-1x7的展开式中第4项的系数为-560.
故答案为：-560.
16．①②④⑤
【分析】①根据f（x+1）＝f（x﹣1），变形为f（x+2）＝f（x），再利用周期的定义判断.②易知，当x∈[0，1]时，f（x）＝（12）1﹣x，是增函数，再利用周期性和奇偶性转化判断.③根据②的结论判断.④根据②的结论判断.⑤设x∈（3，4）时，则有4﹣x＝（0，1），再利用周期性和奇偶性再求解.
【详解】∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝f[（x+1）﹣1]＝f（x），即2是函数f（x）的一个周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f（x）＝（12）1﹣x为增函数，因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以当x∈[﹣1，0]时，f（x）为减函数，
再由函数的周期为2，可得（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；
由②得：当x＝2k，k∈Z时，函数取最小值12，当x＝2k+1，k∈Z时，函数取最大值1，故③错误；
由②和函数是偶函数得x＝k，k∈Z均为函数图象的对称轴，故④正确；
设x∈（3，4），则4﹣x∈（0，1），所以f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝（12）1﹣（4﹣x）＝（12）x﹣3，故⑤正确
故答案为：①②④⑤
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了数形结合，转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
17．(1)x-4
【分析】（1）根据交集的概念计算即可；
（2）根据补集和交集的概念计算即可.
（1）
因为U=R，且A={x|-4
∁UA={xx≤-4或x≥4}，
则∁UA∩B={xx≤-4或x≥4}.
18．(1)a＝2，b＝1；
(2)答案见解析
【分析】（1）由不等式f(x)<0的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值；
（2）b＝1时不等式可化为x-ax-1>0，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集．
【详解】（1）由函数f(x)=x2-(a+b)x+a，不等式f(x)<0化为x2-a+bx+a<0，由不等式的解集为1,2，所以方程x2-(a+b)x+a=0的两根为1和2，
由根与系数的关系知：1+2=a+b1×2=a，解得a＝2，b＝1；
（2）b＝1时不等式f(x)>0，可化为x2-(a+1)x+a>0
即x-ax-1>0；
当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；
当a＝1时，解不等式得x≠1；
当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．
综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；
a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．
19．（1）-52；（2）2
【分析】（1）变换y=-123-2x+83-2x+32，再利用均值不等式计算得到答案.
（2）变换y=22⋅2x4-2x，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）x<32，则3-2x>0，
y=x+82x-3=-123-2x+83-2x+32≤-2123-2x⋅83-2x+32=-52，
当123-2x=83-2x，即x=-12时等号成立.
（2）y=x(4-2x)=22⋅2x4-2x≤22⋅2x+4-2x2=2，
当2x=4-2x，即x=1时等号成立.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的转化能力，合理变形是解题的关键.
20．(1)填表见解析；有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”
(2)815
【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）分析可知，抽取的6名学生中，男生2人，分别记为a、b，女生4人，分别记为A、B、C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
满意
不满意
合计
男生
20
20
40
女生
40
20
60
合计
60
40
100
K2=100×20×20-40×20260×40×60×40=259≈2.778>2.706所以有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”.
（2）解：由题意，抽取的6名学生中，男生2人，分别记为a、b，女生4人，分别记为A、B、C、D，
则在这6名学生中抽取2名学生，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、
bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种，
其中，事件“恰好抽中1名男生与1名女生”所包含的基本事件有：aA、aB、aC、
aD、bA、bB、bC、bD，共8种，
故所求概率为P=815.
21．（1）r≈0.986；变量y与x的线性相关性很强；（2）y=2.9+5.7x；可预测2023年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
【分析】（1）首先根据表中数据求出x,y，再求出相关系数即可判断线性相关性的强弱.
（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再将x=6代入回归方程即可求解.
【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，
可得x=1+2+3+4+55=3，y=7+16+20+27+305=20，
r=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2i=15yi2-5y2=357-5×3×2055-5×3×32334-5×20×20=573340≈5757.8≈0.986
因为0.75<0.986≤1，所以变量y与x的线性相关性很强．
（2）b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=357-5×3×2055-5×3×3=5710=5.7．
a=y-bx=20-5.7×3=2.9
可得y关于x的线性回归方程为y=2.9+5.7x
令x=6，可得y=37.1，
即可预测2023年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．
22．(1)分布列答案见解析，数学期望：112
(2)79192
【分析】（1）先写出甲的得分的所有可能取值，分别求得其概率，列出分布列，即可求得期望.
（2）写出甲获胜的累计得分的所有可能取值，分别求得其概率，即可得甲获胜的概率
(1)
1次猜灯谜游戏中，甲的得分记为ξ，则ξ的所有可能取值为1，0，-1.
Pξ=1=34×13=14，Pξ=0=34×23+14×13=712，Pξ=-1=14×23=16.
ξ的分布列为
ξ
1
0
-1
P
14
712
16
ξ的数学期望Eξ=1×14+0×712+-1×16=112.
(2)
设3次猜灯谜游戏后甲获胜的累计得分为X，
则X=3表示甲获胜3次，PX=3=C33×143=164，
X=2表示甲获胜2次且平局1次，PX=2=C32142×712=764，
X=1表示甲获胜2次且失败1次或甲获胜1次且平局2次，PX=1=C32142×16
+C31×14×7122=55192，
所以PX>0=PX=3+PX=2+PX=1=164+764+55192=79192，
所以3次猜灯谜游戏后甲获胜的概率为79192.
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