2023届山东省聊城市聊城第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2023届山东省聊城市聊城第一中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．若函数是在R上的奇函数，当时，，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数为奇函数，图象关于原点对称求值域.

【详解】当时，，

因为是R上的奇函数，所以；

当时，由于图象关于原点对称，故，

所以.

故选：A

3．函数的极值点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据导数判断函数的导函数，据此可知函数单调递增无极值点.

【详解】由题意知，

令，则，

令，得，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，由此可知，函数单调递增，所以函数不存在极值点.

故选：A.

4．已知，(0, π)，则=

A．1 B． C． D．1

【答案】A

【详解】，，

，即，故

故选

5．已知，，与的夹角为，则（    ）

A．2 B．3

C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据的坐标求出，再由平面向量夹角公式列方程即可求解.

【详解】因为，

所以，

又因为，与的夹角为，

所以，

所以

故选：B.

6．已知数列的前项和为，若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】当时，求出，当时，利用可得是等比数列，求出其通项公式即可求出结果.

【详解】当时，因为，所以.

当时，，

所以，即，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

则.

故选：A

7．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.

【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，

由题意可知过圆的圆心，

则，解得，点A的坐标为，

，切点为B则，

.

故选:C

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

8．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，

再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，

所以，即椭圆的左焦点为，且   ①

直线交轴于，所以，，

因为，所以，所以，

又由点在椭圆上，得    ②

由，可得，解得，

所以，

所以椭圆的离心率为.

故选A.

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．

二、多选题

9．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.

【详解】由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；

记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，

即.

故选：AB

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，sinA=，tanC=7，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．  D．△ABC中的面积为

【答案】BC

【分析】对于A，由tanC=7可求出，，再结合sinA=，可得角为锐角，从而可求出的值，对于B，利用两角和的余弦公式可求得的值，从而可求出角，对于C，利用正弦定理求解即可，对于D，利用三角形的面积公式直接求解即可

【详解】对于A，由题意得，所以，因为，所以，，因为，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以A错误，

对于B，

，

因为，所以，所以B正确，

对于C，由正弦定理，得，所以C正确，

对于D，，所以D错误，

故选：BC

11．已知正数满足，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小值是2 B．的最大值是1

C．的最小值是4 D．的最大值是

【答案】ABD

【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.

【详解】因为正数满足，

由，

当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；

由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；

由，当且仅当时成立，所以C错误；

由正数满足，可得，

则，当且仅当时，

即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.

故选：ABD

12．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值可以为（    ）

A．0 B． C．3 D．4

【答案】CD

【分析】确定时，在区间上无零点，题目转化为或有3个解，得到有两个正数解，解得答案.

【详解】当时，恒成立，即在区间上无零点，

所以当时，有三个正根，解得或.

当时，单调递增，且，则方程有一个根，

则方程要有两个根，即有两个正数解，则，

解得，故CD项正确.

故选：CD

三、填空题

13．函数的零点个数为_________.

【答案】3

【分析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.

【详解】作出函数图象，如下，

由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.

故答案为：3

14．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数求解即可.

【详解】由题意得在上有解．

当时，可得，

故实数a的取值范围是．

故答案为：

15．已知集合，，若，则的取值范围为：_______.

【答案】

【分析】根据,列式解得.

【详解】因为，，且,

所以.

故答案为:.

【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.

16．设或；或，则是的________条件.

【答案】充分不必要

【分析】求出和，利用集合的包含关系判断即可.

【详解】或，或，则，.

，因此，是的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题.

四、解答题

17．记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

（2）[方法一]：二次函数的性质

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时，．

[方法二]：【最优解】邻项变号法

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，即有.

则当或时，．

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

18．已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为,

(1)求双曲线C的渐近线方程.

(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.

【答案】（1）（2）

【分析】⑴由，，由此可以求出双曲线的渐近线方程

⑵由得（判别式），求出中点坐标，再根据线段的中点在圆上，代入即可求得结果

【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，

   ∴，即

∴所求双曲线的渐进线方程   

（Ⅱ）  由（1）得当时,  双曲线的方程为.

设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，

 由得（判别式）,

 ∴,

∵点在圆上,∴，∴.

【点睛】本题主要考查了双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，化归与转化思想．

19．2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：

(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？

(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).

参考公式：，其中.

【答案】(1)能

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式得出观测值，把所得的观测值同表格中的临界值进行比较得出结论；

（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，得到分布列，再结合期望公式，即可求解.

【详解】（1）根据2×2列联表中的数据，

可得，

因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.

（2）记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A，

则，所以.

X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以随机变量X的分布列如表所示，

随机变量X的数学期望.

20．已知函数.

(1)写出函数的定义域并判断其奇偶性；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)的定义域为；为偶函数

(2)

【分析】（1）先列不等式组求得函数的定义域再利用定义判断其奇偶性即可；（2）先将转化为对数不等式，再列不等式组即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由，可得，则函数的定义域为

由

可得函数为偶函数

（2）由，

可得

由 ，可得

解之得，则实数的取值范围为

21．已知函数的两个零点分别为1和2.

（1）求实数m、n的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由函数的两个零点分别为1和2，得到，即可求解；

（2）由（1）可得，根据二次函数的图象与性质，求得函数的最小值，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数的两个零点分别为1和2，

可得，解得.

（2）由（1）可得，

因为不等式在上恒成立，

可得不等式在上恒成立，

又由，

所以在上的最小值为，

所以.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的定义，以及合理应用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

22．已知函数f(x)＝－ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过点(2，－1).

（1）求实数a的值；

（2）设b>1，求f(x)在[，b]上的最大值和最小值.

【答案】（1）1；（2）最大值为－1；最小值为－blnb－ .

【分析】（1）首先对函数求导，求得的值，利用两点斜率坐标公式求得切线斜率，建立等量关系，求得a的值；

（2）结合（1）的结论，得到函数的单调性，应用导数求得函数的最值，得到结果.

【详解】（1）由题可得，f(x)的导函数为，

∴，

依题意，有，即，

解得a＝1.

（2）由（1）得，，易知，f′（1）＝0，

∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.

又∵，∴f(x)的最大值为f（1）＝－1.

设，其中b>1，

则，

∴h(b)在(1，＋∞)上单调递增.

当b→1时，h(b)→0，可得h(b)>0，则，

故f(x)的最小值为.

【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的最值，属于中档题目.