2023届山东省聊城市高三上学期期中数学试题含解析

 2023届山东省聊城市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数以及对数函数的单调性，确定集合,求出，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意得，，

故，所以，

故选：B.

2．已知复数z满足，则（    ）．

A． B． C． D．8

【答案】A

【分析】根据复数的除法求出z,再根据复数模的计算即可求得答案.

【详解】因为，所以，

故，

故选：A.

3．下列结论正确的是（    ）．

A．若命题，，则，．

B．若，则“”是“”的必要不充分条件．

C．点在的终边上，则的一个充要条件是．

D．，．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、充要条件、存在量词命题的真假性的知识确定正确答案.

【详解】A选项，命题，，则，，A选项错误.

B选项，；，

不能推出；不能推出，

所以“”是“”的非充分非必要条件，B选项错误.

C选项，设，

所以，但此时为负数，所以C选项错误.

D选项，当时，，所以D选项正确.

故选：D

4．已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】当时，有一个零点，只需当时，有一个根，利用“分离参数法”结合函数图像求解即可.

【详解】因为函数,

当时，令可得，解得，所以在上有一个零点，又函数在R上有两个零点，所以当时，方程有一个根，所以方程在上有一个根，即函数与函数的图象在时有且只有一个交点，作函数的图象如下：

观察图象可得，所以，所以m的取值范围是.

故选：D.

5．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化即可得到答案.

【详解】

故选:A

6．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据的值可得，由递推公式即可判断B；利用累加法可得，再计算前4项的和即可判断A；由即可判断C；利用裂项相消求和法即可判断D.

【详解】因为，

，

，

……，

，

以上个式子累加可得：，

所以，故选项A错误；

由递推关系可知：，所以B错误；

由，可得，C正确；

因为，

所以，

D错误；

故选：C.

7．若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，对，，即，结合的单调性求解即可.

【详解】由题意，对，，

即，

即，对恒成立，

由于在上单调递增，故，

故.

即.

故选：B

8．已知，，，下列说法正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，利用导数研究单调性可比较，，利用导数研究单调性可比较，即可求解

【详解】设，则在上恒成立，

所以在单调递增，

所以，

所以在单调递增，

所以，即，

所以，

又在单调递增，

所以，即，

所以；

设，则在上恒成立，

所以在单调递减，

所以，

所以在单调递减，

所以，即，

所以，即

所以；

综上所述：，

故选：C

二、多选题

9．已知平面向量，，，则（    ）．

A．若，则 B．若，则

C．若与的夹角为锐角，则 D．的最小值为4

【答案】ABD

【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可判断A,B;根据向量的夹角公式求出与的夹角为锐角时的n的范围，要考虑向量同向情况，判断C;根据向量的模的坐标计算可判断D.

【详解】由题意平面向量，，，

若，则 ，A正确；

若，则，B正确；

若与的夹角为锐角，则 ，即 ，

但时，与同向，满足，但夹角为 ，不是锐角，故C错误；

，

当时，取得最小值，故的最小值为4，D正确，

故选：ABD.

10．下列结论正确的是（    ）．

A．若，且，则

B．若，，，则的最小值为4

C．函数的最小值为4

D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，

【答案】AB

【分析】利用基本不等式可判断A;根据对数运算可得，再结合基本不等式可判断B;利用换元法将化为函数，，结合其性质判断C;求出数列的通项公式，可得的表达式，即可判断D.

【详解】对于A，若，且，因为 ，

即，A正确；

对于B, 若，，,则，

则，即，故，

当且仅当是取得等号，故的最小值为4，B正确；

对于C,当时，，令 ，

则函数，单调递减，故，

即函数的最小值为2，C错误；

对于D, 各项均为正数的数列满足，，

则

，

满足上式，所以,

所以，当时，，当时，，

由于，故D错误，

故选：AB.

11．已知函数的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（    ）．

A．

B．

C．是曲线的对称轴

D．直线是曲线的一条切线

【答案】ACD

【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A;根据三角函数图象的平移变换可得到表达式，判断B;将代入验证，可判断C;利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断D.

【详解】由图象知 ， 解得 ，

 将代入中得，则 ，

因为   ，A正确；

由于将函数图象向右平移个单位后，得函数的图象，

再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故，B错误；

将代入中，，是曲线的对称轴，C正确；

，令 ，即，

可得时满足，此时，

则在点处的切线方程为 ，D正确，

故选：ACD.

12．在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（    ）

A．为等比数列 B．为等差数列

C．为递增数列 D．

【答案】BD

【分析】连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出，结合，推出，即，求出，，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出，可判断D.

【详解】如图，连交于，

则，即，

所以，所以，

所以，

设，

因为，

所以，

，所以，

所以，即，

又，所以，

所以是首项为2，公差为的等差数列，

所以，所以，

因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；

因为，

所以为等差数列，故B正确；

因为，

所以为递减数列，故C不正确；

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知，若，，则=     ．

【答案】

【详解】因为，所以，又，

，整理得

解得或（舍去）

因此，因为，所以，

，

14．在四边形ABCD中，，且，，则的值为______．

【答案】5

【分析】由条件可得，然后可得答案.

【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，

所以，

因为，，所以，

故答案为：

15．设为数列的前n项和，且，，，则______．

【答案】

【分析】由得()，两式相减可化为()，由此即可得出答案．

【详解】因为，①

则当时，，②

①－②得，所以，(），

则数列从第二项起，是公比2的等比数列，

又，

(），

当时，，不符合，

故，

故答案为：．

16．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，讨论a的取值范围，参变分离，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，即可求解.

【详解】因为函数，故函数，

由题意可知在上恒成立，（不恒等于0），

当时，，不符合题意；

当时， ，则在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

当时，递增，当时，递减，

故，故 ，

当时，仅在时取等号，符合题意；

当时， ，则在上恒成立，

即在上恒成立，

由上述分析可知无最小值，且当时，，

比如取时，，即此时在上不恒成立，

综合上述可得a的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题是根据函数的单调性，求解参数范围，实质上是不等式恒成立问题，解决这类问题的一般方法是：利用导数列出不等式恒成立，然后参变分离，根据分离后的式子特征构造合适的函数，进而将恒成立问题转化为函数最值问题解决.

四、解答题

17．已知函数．

(1)当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1

【分析】（1）转化为时，恒成立，结合且，求解即可；

（2）由复合函数单调性可得为减函数，即，又最大值为，求解即可.

【详解】（1）因为且，设，

则为减函数，时，的最小值为，

当时，恒有意义，即时，恒成立．

所以．所以．

又且，所以．

（2），因为，所以函数为减函数．

因为在区间上为增函数，所以为减函数，

所以．

当时，最大值为，

所以，即．

故，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1．

18．已知正项数列满足且．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项的和．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案；

（2）由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差等比数列的前n项和公式求得答案.

【详解】（1）由题意得：,

∵，∴，即为常数，

∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，

∴．

（2）由（1）得,

∴

.

19．已知函数为奇函数，且，其中，．函数．

(1)求a，的值；

(2)求函数的单调递减区间．

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）法一：根据函数的奇偶性求得，根据求得.法二：根据的奇偶性以及列方程组，由此解得.

（2）化简的表达式，利用换元法求得的单调递减区间.

【详解】（1）法一：因为是奇函数，

而为偶函数，所以为奇函数，

又，得．

所以，

由，得，即．

法二：由题意可得，

因为，所以，可解得，，

此时为奇函数，

符合题意，所以，．

（2）

，

令，则的单调递减区间为，，

由解得，，

所以的单调递减区间为，．

20．已知中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且，．

(1)若，求的面积；

(2)若，求的周长．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由余弦定理与三角形面积公式求解即可；

（2）由正弦定理把边化角，结合已知条件求得，，再讨论角B，结合三角恒等变换与正弦定理即可求解

【详解】（1）因为，，，

∴，解得，

∴．

（2）因为，由正弦定理可得，

代入，解得，，

因为，所以A为锐角，

∴，

当B为锐角时，，

∴，

因为，

∴，，

∴，

当B为钝角时，，

∴，

因为，

∴，，

∴．

综上：的周长为或．

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求导函数，讨论的范围，求解和的解集，写出单调区间．（2）当时，根据(1)求出的最小值，由已知可得不等式有解，所以，利用导数求函数的最大值即可．

【详解】（1）定义域为，

，

令，得或．

当即时：

，，函数在上单调递减；

，，函数在单调递增；

当，即时：

，，函数在单调递增；

，，函数在上单调递减；

，，函数在上单调递增；

当即时：，，函数在单调递增；

当即时：

，，函数在单调递增；

，，函数在上单调递减；

，，函数在上单调递增；

综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；

当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；

当时，单调递增区间有，无单调递减区间；

当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．

（2）当时，

由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，

从而函数在区间上的最小值为．

即存在，使，

即存在，使得，

即，令，，则，

由，当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以，所以．

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)恒成立⇔；

(2)恒成立⇔.

22．已知函数，，其中．

(1)若在上有两个不同零点，求a的取值范围．

(2)若在上单调递减，求a的取值范围．

(3)证明：，．

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）求得，利用导数研究其单调性，最值，即可得出a的取值范围；

（2）在区间上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，通过研究函数得出a的取值范围；

（3）由（2）知时，，即，．令得，由此即可证得结论.

【详解】（1），，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以时，取最小值．

因为在有两个不同的零点，所以，所以．

下面验证：当时，在有两个不同的零点.

当时，，，

令，则，

当时，，单调递减，

则，

所以，又，，

时，单调递减，时，单调递增，

所以在，上各有一个零点，即在有两个不同的零点.

综上，.

（2）在区间上单调递减，

即在上恒成立，

即在上恒成立．

令，，

当时，，，

所以，即在上单调递增，

所以当时，，所以．

（3）由（2）知时，，所以，即，．

令得，

所以，

即，．