2022-2023学年山东省聊城市聊城第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省聊城市聊城第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列集合与集合相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】本题可根据集合相等的相关性质解题.

【详解】A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，

C项：，即，解得或，

集合即集合，

因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，

所以与集合相等的是集合，

故选：C.

2．以下各组两个函数是相同函数的是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先确定函数的定义域是否相同，再确定对应法则是否相同.

【详解】A.   定义域：  ， 定义域不同，故不是同一函数；

B. 定义域：， 定义域：R，定义域不同，故不是同一函数；

定义域相同，对应法则不同，故不是同一函数；

D.   定义域：R  = 定义域：R，定义域相同，对应法则相同，故是同一函数.

故选D

【点睛】本题考查函数相同的条件：有相同的定义域、对应法则和值域，在判断两个函数是否相同，只需要判断有相同的定义域和对应法则，前两条相同的话，值域也就相同了.

3．“”是“函数的图象与x轴只有一个公共点”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】考虑和两种情况，计算得到，根据范围大小得到答案.

【详解】当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，满足；

当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，则，解得，

综上所述：或.

故选：B

4．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的解析式计算出、的值，即可计算出的值.

【详解】因为，则，，

因此，.

故选：B.

5．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】先将只参加田径比赛的人数，只参加球类比赛的人数，同时参加球类比赛和田径比赛的人数分别表示出来，再根据总人数为30人列出等式即可.

【详解】设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人，

则只参加田径比赛的人数为：；只参加球类比赛的人数为：，

可列等式：，

可得：，故只参加球类比赛的人数为：，

故选：C

6．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.

【详解】对于选项A，注意到若，当时，.故A错误.

对于选项B，设，

得，解得.又，，

得.故B错误.

对于C选项，因，则，故C错误.

对于D选项，，因，则，故D正确.

故选：D

7．已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案.

【详解】，即，

故函数在上单调递增，是上的奇函数，

故是上的偶数，

，，.

，故.

故选：A

8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为（m，n），则（    ）

A．4 B．8 C．12 D．2022

【答案】C

【分析】根据题意利用奇函数的性质得到函数关于对称，再利用函数的对称性计算得到答案.

【详解】，则

，为奇函数，则，

故，解得，即函数关于对称.

.

故选：C

二、多选题

9．下列函数中满足在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数图像，复合函数同增异减即可判断.

【详解】对于A，反比例函数在上单调递增，错误；

对于B，由于为减函数，在上单调递减，，正确；

对于C，另，则，在为增函数，在为减函数，复合函数同增异减，所以在上单调递减，正确；

对于D，，所以在上单调递增，错误.

故选：BC.

10．下列结论中正确的是（    ）

A．对，不等式成立

B．函数最大值为6，最小值为

C．函数的图象与直线有且仅有一个交点

D．设函数（其中）k是的小数点后的第n位数字，，则

【答案】ABD

【分析】化简得到恒成立，A正确，将函数化简为分段函数得到B正确，函数的图象与直线有一个交点或没有交点，C错误，直接计算得到D正确，得到答案.

【详解】，即恒成立，A正确；

，故函数最大值为6，最小值为，B正确；

函数的图象与直线有一个交点或没有交点，C错误；

，D正确.

故选：ABD.

11．已知正实数x，y满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．的最大值为2

C．的最小值为2 D．的最大值为

【答案】AC

【分析】替换，结合二次函数的性质可判断AB，替换结合二次函数性质以及的范围可判断D，由，利用均值不等式可判断C.

【详解】选项A，，当时等号成立，正确；

选项B，，当时等号成立，错误；

选项C，，当且仅当，即时等号成立，正确；

选项D，，当时等号成立，由于，且，故，故取不到，错误.

故选：AC

12．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，有

C．函数既有最大值也有最小值 D．当时，

【答案】AB

【分析】作出分段函数的图像，利用换元法可判断A，数形结合可判断B，由图像可判断C，赋特殊值可判断D.

【详解】在同一坐标系作出，和的图像如图所示：

联立和可求得，

联立和可求得，

由题意可知：，其图像是图中粗线部分.

对于A，由图可知，设，则，

直线的图像始终不在曲线的图像的下方，

所以当时，，即，A正确；

对于B，当时，，

的图像可由的图像向右平移两个单位得到，

显然，当时，的图像不在的图像的下方，

即当时，，B正确；

对于C，由题可知，函数有最小值0，无最大值，C错误；

对于D，当时，，，

显然，D错误.

故选：AB

三、填空题

13．设命题，，则的否定为___________．

【答案】，

【分析】利用存在量词命题的否定可得出命题的否定.

【详解】由存在量词命题的否定可知，命题的否定为：，.

故答案为：，.

14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当时，，则函数f（x）的解析式为___________．

【答案】

【分析】由已知条件，根据偶函数的定义，求出时的解析式，从而即可得答案.

【详解】函数是定义在R上的偶函数，所以，

当时，，

所以，

所以.

故答案为：.

15．某种物资实行阶梯价格制度，具体见表：

若某居民使用该物资的年花费为220元，则该户居民的年用量为___________千克．

【答案】28

【分析】根据已知价格数据，结合题意，直接求解即可.

【详解】因为，，，

故该户居民的年用量超过千克，设其为，

则，解得，故该户居民的用量为千克.

故答案为：.

16．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．

【答案】或

【分析】作出函数的图象，令，解得或，结合图象易知有个解，从而只需有个解，结合图象讨论的取值范围即可.

【详解】解：当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，当时，图象始终在的下方；

当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，且，.

作出函数的图象如下图所示：

令，解得或，

而和的图象有个交点，即有个实数根，

所以只需有个实数根即可，即和的图象有个交点，

观察可知，当或时，符合题意，

解得或.

故答案为：或.

四、解答题

17．化简与求值

(1)

(2)已知且，求的值．

【答案】(1)8.3

(2)

【分析】（1）由指数幂的运算法则即可求解；

（2）由立方差公式即可求解.

【详解】（1）原式

（2），，

.

18．已知集合，.

（1）当时，求，；

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）由可得，解不等式得到，再由交并补的定义可得，；

（2）根据题意，分析可得，进而分两种情况讨论：当时和当时，列不等式分别求出的取值范围，进而对其求并集可得答案．

【详解】（1）当时,,,

则 ,

又或,则；

（2）根据题意,若,则,分两种情况讨论：

当时,有,解得：；

当时,若有,必有 ，解得：,

综上可得：的取值范围是：．

【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.

19．给定函数

(1)讨论函数的奇偶性；

(2)当时，求函数在区间上的最大值与最小值．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析.

(2)最大值为1，最小值为

【分析】（1）根据函数奇偶性定义分类讨论即可；

（2）根据已知确定函数解析式，集合函数奇偶性，转换为基本不等式求最值形式即可得.

【详解】（1）解：函数得定义域为

当时，，既是奇函数又是偶函数：

当时，满足，是奇函数

综上，当时既是奇函数又是偶函数，当时，是奇函数．

（2）解：当时，由（1）知函数是奇函数．

当时；

当时，当且仅当时取等号，

即当时

由是奇函数可知，当时，当且仅当时取等号：

所以，函数在区间上的最大值为1，最小值为.

20．实施乡村振兴战略，是党的十九大做出的重大决策部署．某地区因地制宜，致力于建设“特色生态樱桃基地”．经调研发现：某品种樱桃树的单株产量L（单位：千克）与施肥量x（单位：千克）满足函数关系：，且单株樱桃树的肥料成本投入为25x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为20x元．已知这种樱桃的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该樱桃树的单株利润为（单位：元）．

(1)求的函数关系式；

(2)当单株施肥量为多少千克时，该樱桃树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)当单株施肥量为4千克时，该樱桃树的单株利润最大，最大利润是720元．

【分析】（1）由题干条件得到，根据求出答案；

（2）考虑时，配方求出的最大值660元，再考虑，变形后利用基本不等式求出的最大值720元，从而得到答案.

【详解】（1）由题意得：，

所以；

（2）当时，，

所以当时，取最大值为（元）.

当时，，

而，

当且仅当，即时取等号，

所以（元），

因为，故当单株施肥量为4千克时，该樱桃树的单株利润最大，最大利润是720元．

21．已知定义在上的函数对任意正数x，y都有当时，，且．

(1)求的值；

(2)用定义证明函数在上是增函数；

(3)解关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)或

【分析】（1）令，代入计算得到答案.

（2），确定，计算得到证明.

（3）计算，不等式转化为，根据函数单调性结合定义域得到答案.

【详解】（1）令得，所以.

（2），且，由题意有，

，

所以，即函数在上是增函数.

（3）由题意，

所以，

因为在上是增函数，所以，

解得或，

所以不等式的解集为或.

22．若存在常数，使得对定义域D内的任意，都有成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”．

(1)判断函数是不是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明；若不是，说明理由；

(2)若函数是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；

(3)若是定义在[1，2]上的“2-利普希兹条件函数”，求最小的实数m，使得对任意的都有．

【答案】(1)不是，证明见解析；

(2)

(3)2

【分析】（1）由题意，举反例，可得答案；

（2）整理不等式，利用不等式性质，求得最值，可得答案；

（3）利用绝对值的几何意义，可得答案.

【详解】（1）函数不是“2—利普希兹条件函数”．理由如下：

取可得，

所以函数不是“2-利普希兹条件函数”.

（2）由题意∀，，都有成立，

即都有成立，

由，可得，因为

所以，进一步有，所以．

故常数的最小值为.

（3）若是定义在[1，2]上的“2-利普希兹条件函数”则，且，都有成立，

因为，所以，所以所以最小的实数m为2．