2022-2023学年山东省聊城市临清市第一中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

  2022-2023学年第二学期高一年级第一次月考

数学试题

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先化为，再逆用两角和余弦公式即可求解.

【详解】

故选：B

2. 给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

③若与同向，且，则>；

④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．

其中假命题的个数为（　　）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比较大小判断③；举反例否定④.

【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；

②正确．∵＝，∴||＝||且；

又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．

反之，若四边形是平行四边形，

则且与方向相同，因此＝；

③不正确．两向量不能比较大小．

④不正确．当时，与可以为任意向量，

满足λ＝μ，但与不一定共线．

故选：.

3 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据向量平行的运算规则计算x，再根据向量的加法法则求解.

【详解】 ， ， ；

故选：A.

4. 在中，若为边上的中线，点在上，且，则（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.

【详解】如图所示，在中，

因为为边上的中线，

所以为的中点，

所以由平行四边形法则有：

，

又点在上，且

所以，

所以

，

故选：A.

5. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】先根据周期变换和平移变换的原则得出函数的解析式，再将代入即可.

【详解】将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得，

再向右平移个单位长度，得，

即，

所以.

故选：B.

6. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（    ）

A. 若，则一定是等边三角形

B. 若，则一定是等腰三角形

C. 若，则一定是等腰三角形

D. 若，则一定是锐角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．

【详解】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；

若，由正弦定理得，即，

，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；

例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；

时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．

故选：A．

【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由得结论时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点．

7. 已知函数，若函数的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角恒等变换公式以及正弦函数的性质即可求解.

【详解】

所以，

所以图象关于y轴对称，

则有即，

所以，

所以当时，最小等于，

故选:B.

8. 是内一点，若，，则（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用各向量的几何关系及已知条件可得，且，即可得结果.

【详解】由，则，

所以，即，又，

故，故.

故选：D

二、多选题（每小题5分，共20分．全部答对5分，部分答对2分，答错0分）

9. 下列等式中成立的有（    ）

A. ； B. ；

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据向量的加法运算求解.

【详解】对于A, ，正确；

对于B，，正确；

对于C，,错误；

对于D，，正确，

故选:ABD.

10. 中，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于选项A，由三角形大边对大角和正弦定理可判断；

对于选项B，由余弦函数单调性可判断；

对于选项C，由正弦的二倍角公式可判断；

对于选项D，由余弦的二倍角公式可判断

【详解】在中，若，由三角形中大边对大角，可得，又由正弦定理，可知，故A选项正确；

又由余弦函数在上单调递减，可知，故B选项正确；

由和，当时，，所以，故C选项错误；

由，，由A选项可知正确，故D选项正确.

故选：ABD

11. 已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（    ）

A. 与的夹角为钝角 B. 向量在方向上的投影为

C.  D. 的最大值为2

【答案】CD

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可得，从而可判断A；根据向量在方向上的投影为可判断B;根据共线向量的坐标运算可判断C；由C可得，根据基本不等式即可判断D.

【详解】对于A，因为所以，

则与的夹角为锐角，故A错误；

对于B，因为

所以向量在方向上的投影为，故B错误；

对于C，因为所以.

因为，，所以，即，故C正确；

对于D，因为，，

所以，当且仅当,即时取等号，

故的最大值为2，故D正确.

故选:CD.

12. 已知函数则下列选项正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 为偶函数

C. 的最大值为 D. 在上单调递增

【答案】ACD

【解析】

【分析】将化简后，根据正弦性函数的性质，即可判断ABCD.

【详解】

．

对于A，的最小正周期，故A正确；

对于B，为非奇非偶函数，故B错误；

对于C，的最大值为，故C正确；

对于D，由，，解得，，所以的单调递增区间为故当时，在上单调递增，故D正确．

故选：ACD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.

【答案】

【解析】

【分析】已知条件可转化为，且与不共线，利用平面向量数量积的坐标公式以及共线公式列不等式，解出的取值范围．

【详解】因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，

，，即，且，

解得且

故答案为：

14. 已知，则__．

【答案】

【解析】

【分析】根据半角公式或二倍角公式变形即可求解.

【详解】依题意，

．

故答案为：.

15. P为ΔABC所在平面上的点，且满足=+，则ΔABP与ΔABC的面积之比是_______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意结合向量加法的运算法则和三角形的性质即可确定ΔABP与ΔABC的面积之比.

【详解】如图，D为AC的中点，M为BD的中点，

，根据向量的三角形法则得：，

，

，

，

即：△ABP与△ABC的面积之比是.

故答案为 ．

【点睛】本题主要考查平面向量的加法及其应用，向量的应用，三角形面积公式及其应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16. 如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .

【答案】7

【解析】

【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.

【详解】∵四点共圆，圆内接四边形对角和为 ﹒

∴ ，

∴由余弦定理可得 ，

，

∵，即 ，

∴ ,解得,

故答案为：7

四、解答题

17. 已知，.

（1）若，求；

（2）若与垂直，求当为何值时，?

【答案】（1）   

（2）3

【解析】

【分析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；

(2)根据与垂直可以求出，根据即可求出的值.

【小问1详解】

，

，

所以；

【小问2详解】

因为与垂直，

所以，即，

解得，

当时，，

即，

解得，

所以当时，.

18. 已知，，，.

（1）求的值；

（2）求的值：

（3）求的值.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.

（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.

（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.

【小问1详解】

由题设，，，

∴，，

又.

【小问2详解】

.

【小问3详解】

由，则，

由，则，

∴，，又，，则，

∴，而，故.

19. 已知的内角的对边分别为，且

（1）求角；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；（2）先利用正弦定理找到边的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.

【小问1详解】

已知，

由正弦定理得，

，

显然，

所以有，得，

因为角为内角，

所以.

【小问2详解】

由正弦定理可知，

由（1）可知，因为，

由余弦定理可得，，

所以有，，

解得，.

20. 在三角形中，是的中点．

（1）求在上的投影向量；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形可知在上的投影向量；

（2）由向量的加法、减法运算可知，再由圆上动点到定点的距离的范围求解即可.

【小问1详解】

在上的投影向量的模长即，

故在上的投影向量为．

【小问2详解】

，

因为，，

所以，即，，

故的取值范围为.

21. 已知函数．

（1）若，且函数，求的值；

（2）若将函数图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图像向左平移个单位长度，得到的图像，求函数在上的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简并结合题意可得，结合的范围可求得，然后利用诱导公式可得，即可求解；

（2）先利用图象变换得到，然后利用三角函数的性质即可求得最小值

【小问1详解】

由题意可得，

得，

由，得，

【小问2详解】

将函数图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图像向左平移个单位长度，得到，，

因为所以，

所以当时，即时，

22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，D为AC边上的一点，，且        ，求△ABC的面积．

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和正弦公式即可求解；

（2）选择①，由平分得，分别用三角形面积公式求解可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积.

【小问1详解】

解：由正弦定理知，，

∵，

代入上式得，

∵，

∴，，

∵，∴.

【小问2详解】

若选①：

由平分得，，

∴，

即．

在中，由余弦定理得，

又，∴，

联立得，

解得，（舍去），

∴．

若选②：

因为，，

，得，

在中，由余弦定理得，

即，

联立，可得，

∴．