2023届山东省临沂市莒南县莒南第一中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届山东省临沂市莒南县莒南第一中学高三上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全体实数集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数求值域，结合补集以及交集运算，可得答案.
【详解】由题意，可得，或，则，
故选：C.
2．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面对应的点位于第三象限B．的虚部是
C．（是复数的共轭复数）D．
【答案】D
【分析】化简得到，得到，，对比选项得到答案.
【详解】，对应点在第二象限，A错误；虚部为，B错误；
，C错误；，D正确．
故选：D．
3．“数列为等比数列”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质及对数的性质可求解.
【详解】数列为等比数列，设其公比为，则也为等比数列，且，
所以，所以，为等差数列，
反之，若数列为等差数列，例如则，即，
满足数列为等差数列，但推不出“数列为等比数列”（正负随取构不成等比数列）.
所以，“数列是等比数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
4．函数图象如图所示，则=
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由最值求由周期求由图象过原点求，可求得函数解析式，从而可得结果.
【详解】由函数的图象可知函数最大值为2，最小值为-2，所以
由从而得
又图象过原点，所以，
，得,故选A.
【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
5．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题设可得，法1：求三个弓形的面积，再加上三角形的面积即可；法2：求出一个扇形的面积并乘以3，减去三角形面积的2倍即可.
【详解】由已知得：，则，故扇形的面积为，
法1：弓形的面积为，
∴所求面积为．
法2： 扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为．
故选：D
6．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
7．定义在上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当时，（已知），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，推出函数 的对称性，周期性和单调性，将自变量 转到区间 内，再根据单调性即可比较大小.
【详解】∵，，∴ ，
∴的图像关于直线和点对称，∴的周期为4，
当 时，，在递增，
由对称性知在 ，递减
∴， ，
，
又 ， ，
由条件知 ，，
∴；
故选：A.
8．对于角的正切的倒数，记作，称其为角的余切．在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换化简得到，根据角度的范围得到，化简得到，得到答案.
【详解】因为，根据正弦定理得，
由，，
即，
三角形为锐角三角形，可得，即，
所以，可得，可得，
所以，
则，
所以．
故选：C．
二、多选题
9．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据均值不等式成立的条件可判断ABC，根据可取负值判断B即可.
【详解】对于A,由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B, 由时，显然，故B不正确；
对于C, 由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故4不是最小值，故C错误；
对于D，由均值不等式，当且仅当，即时，等号成立, 故D正确.
故选：AD
10．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】建立如图坐标系，以向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，求出、、的坐标，列出等式，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出结果.
【详解】依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，
向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，
因为，，，，
所以，故，，
故，故可以是选项中的，1，．
故选：ABC．
11．如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）
A．第6行第1个数为192
B．第10行的数从左到右构成公差为的等差数列
C．第10行前10个数的和为
D．数表中第2021行第2021个数为
【答案】ABD
【分析】由题可知，数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，然后分析计算即可.
【详解】数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足数列，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列.
对于选项A：由题可知，每行第一个数满足下列关系：，所以第6行第1个数为，故A正确；
对于选项B：每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，故第10行的数从左到右构成公差为的等差数列，选项B正确；
对于选项C：第10行的第一个数为，公差为，所以前10个数的和为：，故C错误；
对于选项D：数表中第2021行中第一个数为，第2021行的公差为，故数表中第2021行第2021个数为，选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查了数字的变化类问题，通过观察、归纳、总结得出：“数表中每行的第一个数满足数列，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列.”这一规律是解题的关键.
12．已知函数若存在实数，，，（）满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】画出函数图像，根据图像得到，故，计算函数最值，化简得到，再利用均值不等式得到答案.
【详解】，，所以，，，，如图，画出函数的图象，
，根据图像知：，
，关于对称，，A正确；
，，函数单调递增，故，C正确；
又，，．，即，B正确；
，，，D正确；
故选：ABCD．
三、填空题
13．已知向量满足，则的夹角为___________.
【答案】
【分析】根据，两边平方求得，从而可求得夹角的余弦值，即可得解.
【详解】解：由，得，
又，
所以，
所以，
即，所以，
又因，
所以.
即的夹角为.
故答案为：.
14．写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①；② 是偶函数.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】求出的周期为，再写出一个符合题意的函数即可求解.
【详解】由可得，，
所以周期为，
如函数满足周期为，且是偶函数，
所以，符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
15．《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当时，则符合条件的所有a的和为________．
【答案】8184
【分析】由题设a=3m+2=5n+3, m, n∈N*，则3m=5n+1，对m分类分析，可知m=5k十2，得到a=15k+8，k∈Z，由a∈[1,500]求得a的取值，再由等差数列的前n项和求得答案.
【详解】由题意知，a=3m+2=5n+3, m, n∈N*，
则时，不存在；
当时，不存在，
当时，，满足题意；
当时，不存在
当时，不存在，
故，
则共33个数，且这些数构成以8为首项，15为公差的等差数列，
这33个数的和为.
故答案为：8184
四、双空题
16．若定义在R上的偶函数满足，，则________．若m，且，记函数，则在上最少存在________个零点．
【答案】 1 2
【分析】由已知可得是以2为周期的周期函数，通过赋值可得，故；易知是的零点，区间的长度，故可得到的零点个数.
【详解】由已知，令，则，因，所以，又
，因为偶函数，所以，
故，所以是以2为周期的周期函数，故；
由题意知，，且①，当时，等号成立，①式说
明区间长度大于等于2，而，易知是的零点，而相邻
零点的距离为1，故在上至少存在2个零点.
故答案为：1；2
【点睛】本题考查抽象函数及其的应用，涉及到赋值法求特殊点的函数值、函数零点的个数问题、函数的奇偶性、周期性等，是一道中档题.
五、解答题
17．已知．
(1)若与的夹角为钝角,,求的取值范围；
(2)若函数在上有10个零点,求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据与的夹角为钝角,可得与数量积小于零,且与不共线,化简求出范围即可.
(2)根据的解析式及进行换元,转化为在上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出的取值范围.
【详解】（1）解:由题知,与的夹角为钝角,所以且与不共线,
则有,
且,
因为,
故,
（2）由题知,,
令,
则在上有10个零点,即在上有10个零点,画出的图像如下所示
故只需,解得,
故.
18．已知函数在处的切线与直线平行.
(1)求a；
(2)设，若函数存在单调递减区间，求b的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】(1)结合已知条件，求出直线的斜率，然后利用导数的几何意义和两直线平行时斜率相等即可求解；(2)结合(1)中结论求出解析式，由已知条件可知在上有解，然后结合均值不等式即可求解.
【详解】（1）由题意，，直线的斜率为，
因为函数在处的切线与直线平行，
所以，解得.
（2）由(1)中结论可知，，从而，
故，
因为函数存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
当时，由均值不等式可知，，
当且仅当时，即时，取得最小值，
从而，即，
故b的取值范围为.
19．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，.
(1)证明：B＝2A；
(2)若a＝3，，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因所证涉及角度，故将已知条件利用诱导公式结合三角形面积公式，余弦定理转化为只关于角度的条件.
（2）由（1），结合已知和正弦定理可得的值，之后可得的可能值，后通过验证确定答案.
【详解】（1）证明：由题，则
，故
由余弦定理得，
由正弦定理：，
则，注意到
即
得，因为三角形内角，
则（排除）
或，得.
（2）由已知及正弦定理得，得.
由余弦定理：，解得或3.
当时，，结合（1）得，与矛盾，故舍去，∴.
20．如图，某校园有一块半径为20m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，设．
(1)当时，求改建后的绿化区域边界AC与线段CD长度之和L；
(2)若改建后绿化区域的面积为S，写出S关于的函数关系式，试问为多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值，最大值为多少？（注：请利用参考数据；；，求出本题中的L与S的结果的具体值）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据弧长公式以及余弦定理，求和可得答案；
（2）根据扇形面积公式以及三角形面积公式，整理函数解析式，利用导数求其最值，可得答案.
【详解】（1），
，解得，
故.
（2）扇形的面积，的面积，
故，则，
令，解得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
.
21．已知数列中，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】（1）将已知条件两边同时取倒数可得，利用构造法令求出的值，由等比数列的定义即可求证；求出即可得；
（2）求出的通项公式，由乘公比错位相减求出，使得即可.
【详解】（1）由，得，
令，所以，解得，
所以，
由等比数列的定义可知：
数列是以为公比，以为首项的等比数列，
所以，即，
（2）由题意得，
，
，
两式相减得：，
所以，
所以，
所以使恒成立的最小的整数为．
22．已知函数.
(1)若，求函数f（x）的零点个数；
(2)若函数，是否存在，使得在处取得极小值？说明理由.
【答案】(1)两个
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）先对求导，再分类讨论、与三种情况时的正负情况，再结合零点存在定理得到的零点情况，从而得到的单调性，结合零点存在定理即可判断函数f（x）的零点个数；
（2）先对求导，利用极小值点的意义求得，再令，分类讨论、与三种情况时的图像性质，从而得到的单调性与零点情况，进而得到的图像性质，证得在处取得极小值.
【详解】（1）时，，
当时，，，，在上单调递减；
当时，单调递增，，，
当时，显然大于0，
∴存在，使得，
∴在单调递减，在单调递增，
∵，，，
∴有两个零点.
（2）依题意，得，
，
显然是的极小值点的必要条件为，即，
此时，
令，则，
显然在递增，，，
当时，，，，∴，
当时，，，，∴，
∴存在唯一的零点，且，
∴在单调递减，单调递增，
，，
∴在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点，
当时，，
∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，
∴当时，是的极小值点.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．