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    2023届山东省临沂市莒南县莒南第一中学高三上学期期中数学试题(解析版)
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    2023届山东省临沂市莒南县莒南第一中学高三上学期期中数学试题(解析版)

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    这是一份2023届山东省临沂市莒南县莒南第一中学高三上学期期中数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.已知全体实数集,集合,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据二次函数求值域,结合补集以及交集运算,可得答案.
    【详解】由题意,可得,或,则,
    故选:C.
    2.已知复数,则下列结论正确的是( )
    A.在复平面对应的点位于第三象限B.的虚部是
    C.(是复数的共轭复数)D.
    【答案】D
    【分析】化简得到,得到,,对比选项得到答案.
    【详解】,对应点在第二象限,A错误;虚部为,B错误;
    ,C错误;,D正确.
    故选:D.
    3.“数列为等比数列”是“数列为等差数列”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】根据等差数列的性质及对数的性质可求解.
    【详解】数列为等比数列,设其公比为,则也为等比数列,且,
    所以,所以,为等差数列,
    反之,若数列为等差数列,例如则,即,
    满足数列为等差数列,但推不出“数列为等比数列”(正负随取构不成等比数列).
    所以,“数列是等比数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件.
    故选:A.
    4.函数图象如图所示,则=
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由最值求由周期求由图象过原点求,可求得函数解析式,从而可得结果.
    【详解】由函数的图象可知函数最大值为2,最小值为-2,所以
    由从而得
    又图象过原点,所以,
    ,得,故选A.
    【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质,属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期,用周期公式求出,利用特殊点求出,正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键,由特殊点求时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
    5.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π ,则其面积是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】由题设可得,法1:求三个弓形的面积,再加上三角形的面积即可;法2:求出一个扇形的面积并乘以3,减去三角形面积的2倍即可.
    【详解】由已知得:,则,故扇形的面积为,
    法1:弓形的面积为,
    ∴所求面积为.
    法2: 扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍,
    ∴所求面积为.
    故选:D
    6.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征,得到在方向上的投影的取值范围是,利用向量数量积的定义式,求得结果.
    【详解】
    的模为2,根据正六边形的特征,
    可以得到在方向上的投影的取值范围是,
    结合向量数量积的定义式,
    可知等于的模与在方向上的投影的乘积,
    所以的取值范围是,
    故选:A.
    【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.
    7.定义在上的偶函数f(x)满足f(-x)+f(x-2)=0,当时,(已知),则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】根据条件,推出函数 的对称性,周期性和单调性,将自变量 转到区间 内,再根据单调性即可比较大小.
    【详解】∵,,∴ ,
    ∴的图像关于直线和点对称,∴的周期为4,
    当 时,,在递增,
    由对称性知在 ,递减
    ∴, ,

    又 , ,
    由条件知 ,,
    ∴;
    故选:A.
    8.对于角的正切的倒数,记作,称其为角的余切.在锐角三角形中,角所对的边分别为,,,若满足,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换化简得到,根据角度的范围得到,化简得到,得到答案.
    【详解】因为,根据正弦定理得,
    由,,
    即,
    三角形为锐角三角形,可得,即,
    所以,可得,可得,
    所以,
    则,
    所以.
    故选:C.
    二、多选题
    9.下列函数中,最小值为4的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AD
    【分析】根据均值不等式成立的条件可判断ABC,根据可取负值判断B即可.
    【详解】对于A,由均值不等式可得,当且仅当时等号成立,故A正确;
    对于B, 由时,显然,故B不正确;
    对于C, 由均值不等式可得,当且仅当时等号成立,故4不是最小值,故C错误;
    对于D,由均值不等式,当且仅当,即时,等号成立, 故D正确.
    故选:AD
    10.已知平面向量、、为三个单位向量,且,若(),则的取值可能为( )
    A.B.C.D.
    【答案】ABC
    【分析】建立如图坐标系,以向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量,,求出、、的坐标,列出等式,结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出结果.
    【详解】依题意,、是一组垂直的单位向量,如图建立坐标系,
    向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量,,
    因为,,,,
    所以,故,,
    故,故可以是选项中的,1,.
    故选:ABC.
    11.如图所示的数表中,第1行是从1开始的正奇数,从第2行开始每个数是它肩上两个数之和.则下列说法正确的是( )
    A.第6行第1个数为192
    B.第10行的数从左到右构成公差为的等差数列
    C.第10行前10个数的和为
    D.数表中第2021行第2021个数为
    【答案】ABD
    【分析】由题可知,数表中,每行是等差数列,且第一行的首项是1,公差为2,第二行的首项是4,公差为4,第三行的首项是12,公差为8,每行的第一个数满足,每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,然后分析计算即可.
    【详解】数表中,每行是等差数列,且第一行的首项是1,公差为2,第二行的首项是4,公差为4,第三行的首项是12,公差为8,每行的第一个数满足数列,每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,公差满足数列.
    对于选项A:由题可知,每行第一个数满足下列关系:,所以第6行第1个数为,故A正确;
    对于选项B:每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,故第10行的数从左到右构成公差为的等差数列,选项B正确;
    对于选项C:第10行的第一个数为,公差为,所以前10个数的和为:,故C错误;
    对于选项D:数表中第2021行中第一个数为,第2021行的公差为,故数表中第2021行第2021个数为,选项D正确.
    故选:ABD.
    【点睛】关键点睛:本题考查了数字的变化类问题,通过观察、归纳、总结得出:“数表中每行的第一个数满足数列,每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,公差满足数列.”这一规律是解题的关键.
    12.已知函数若存在实数,,,()满足,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ABCD
    【分析】画出函数图像,根据图像得到,故,计算函数最值,化简得到,再利用均值不等式得到答案.
    【详解】,,所以,,,,如图,画出函数的图象,
    ,根据图像知:,
    ,关于对称,,A正确;
    ,,函数单调递增,故,C正确;
    又,,.,即,B正确;
    ,,,D正确;
    故选:ABCD.
    三、填空题
    13.已知向量满足,则的夹角为___________.
    【答案】
    【分析】根据,两边平方求得,从而可求得夹角的余弦值,即可得解.
    【详解】解:由,得,
    又,
    所以,
    所以,
    即,所以,
    又因,
    所以.
    即的夹角为.
    故答案为:.
    14.写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①;② 是偶函数.
    【答案】 (答案不唯一)
    【分析】求出的周期为,再写出一个符合题意的函数即可求解.
    【详解】由可得,,
    所以周期为,
    如函数满足周期为,且是偶函数,
    所以,符合题意,
    故答案为:(答案不唯一).
    15.《孙子算经》是我国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为a,当时,则符合条件的所有a的和为________.
    【答案】8184
    【分析】由题设a=3m+2=5n+3, m, n∈N*,则3m=5n+1,对m分类分析,可知m=5k十2,得到a=15k+8,k∈Z,由a∈[1,500]求得a的取值,再由等差数列的前n项和求得答案.
    【详解】由题意知,a=3m+2=5n+3, m, n∈N*,
    则时,不存在;
    当时,不存在,
    当时,,满足题意;
    当时,不存在
    当时,不存在,
    故,
    则共33个数,且这些数构成以8为首项,15为公差的等差数列,
    这33个数的和为.
    故答案为:8184
    四、双空题
    16.若定义在R上的偶函数满足,,则________.若m,且,记函数,则在上最少存在________个零点.
    【答案】 1 2
    【分析】由已知可得是以2为周期的周期函数,通过赋值可得,故;易知是的零点,区间的长度,故可得到的零点个数.
    【详解】由已知,令,则,因,所以,又
    ,因为偶函数,所以,
    故,所以是以2为周期的周期函数,故;
    由题意知,,且①,当时,等号成立,①式说
    明区间长度大于等于2,而,易知是的零点,而相邻
    零点的距离为1,故在上至少存在2个零点.
    故答案为:1;2
    【点睛】本题考查抽象函数及其的应用,涉及到赋值法求特殊点的函数值、函数零点的个数问题、函数的奇偶性、周期性等,是一道中档题.
    五、解答题
    17.已知.
    (1)若与的夹角为钝角,,求的取值范围;
    (2)若函数在上有10个零点,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据与的夹角为钝角,可得与数量积小于零,且与不共线,化简求出范围即可.
    (2)根据的解析式及进行换元,转化为在上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出的取值范围.
    【详解】(1)解:由题知,与的夹角为钝角,所以且与不共线,
    则有,
    且,
    因为,
    故,
    (2)由题知,,
    令,
    则在上有10个零点,即在上有10个零点,画出的图像如下所示
    故只需,解得,
    故.
    18.已知函数在处的切线与直线平行.
    (1)求a;
    (2)设,若函数存在单调递减区间,求b的取值范围.
    【答案】(1)3
    (2)
    【分析】(1)结合已知条件,求出直线的斜率,然后利用导数的几何意义和两直线平行时斜率相等即可求解;(2)结合(1)中结论求出解析式,由已知条件可知在上有解,然后结合均值不等式即可求解.
    【详解】(1)由题意,,直线的斜率为,
    因为函数在处的切线与直线平行,
    所以,解得.
    (2)由(1)中结论可知,,从而,
    故,
    因为函数存在单调递减区间,
    所以在上有解,即在上有解,
    当时,由均值不等式可知,,
    当且仅当时,即时,取得最小值,
    从而,即,
    故b的取值范围为.
    19.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,.
    (1)证明:B=2A;
    (2)若a=3,,求.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)因所证涉及角度,故将已知条件利用诱导公式结合三角形面积公式,余弦定理转化为只关于角度的条件.
    (2)由(1),结合已知和正弦定理可得的值,之后可得的可能值,后通过验证确定答案.
    【详解】(1)证明:由题,则
    ,故
    由余弦定理得,
    由正弦定理:,
    则,注意到

    得,因为三角形内角,
    则(排除)
    或,得.
    (2)由已知及正弦定理得,得.
    由余弦定理:,解得或3.
    当时,,结合(1)得,与矛盾,故舍去,∴.
    20.如图,某校园有一块半径为20m的半圆形绿化区域(以O为圆心,AB为直径),现对其进行改建,在AB的延长线上取点D,,在半圆上选定一点C,改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,设.
    (1)当时,求改建后的绿化区域边界AC与线段CD长度之和L;
    (2)若改建后绿化区域的面积为S,写出S关于的函数关系式,试问为多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值,最大值为多少?(注:请利用参考数据;;,求出本题中的L与S的结果的具体值).
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据弧长公式以及余弦定理,求和可得答案;
    (2)根据扇形面积公式以及三角形面积公式,整理函数解析式,利用导数求其最值,可得答案.
    【详解】(1),
    ,解得,
    故.
    (2)扇形的面积,的面积,
    故,则,
    令,解得,当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    .
    21.已知数列中,,.
    (1)求证:数列为等比数列,并求出的通项公式;
    (2)数列满足,设为数列的前项和,求使恒成立的最小的整数.
    【答案】(1)证明见解析,;(2).
    【分析】(1)将已知条件两边同时取倒数可得,利用构造法令求出的值,由等比数列的定义即可求证;求出即可得;
    (2)求出的通项公式,由乘公比错位相减求出,使得即可.
    【详解】(1)由,得,
    令,所以,解得,
    所以,
    由等比数列的定义可知:
    数列是以为公比,以为首项的等比数列,
    所以,即,
    (2)由题意得,


    两式相减得:,
    所以,
    所以,
    所以使恒成立的最小的整数为.
    22.已知函数.
    (1)若,求函数f(x)的零点个数;
    (2)若函数,是否存在,使得在处取得极小值?说明理由.
    【答案】(1)两个
    (2)存在,理由见解析
    【分析】(1)先对求导,再分类讨论、与三种情况时的正负情况,再结合零点存在定理得到的零点情况,从而得到的单调性,结合零点存在定理即可判断函数f(x)的零点个数;
    (2)先对求导,利用极小值点的意义求得,再令,分类讨论、与三种情况时的图像性质,从而得到的单调性与零点情况,进而得到的图像性质,证得在处取得极小值.
    【详解】(1)时,,
    当时,,,,在上单调递减;
    当时,单调递增,,,
    当时,显然大于0,
    ∴存在,使得,
    ∴在单调递减,在单调递增,
    ∵,,,
    ∴有两个零点.
    (2)依题意,得,

    显然是的极小值点的必要条件为,即,
    此时,
    令,则,
    显然在递增,,,
    当时,,,,∴,
    当时,,,,∴,
    ∴存在唯一的零点,且,
    ∴在单调递减,单调递增,
    ,,
    ∴在上存在唯一的零点,即在上存在唯一的零点,
    当时,,
    ∴在单调递增,在单调递减,在单调递增,
    ∴当时,是的极小值点.
    【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
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