2023届山东省临沂市莒南县莒南第一中学高三上学期期中数学试题(解析版)
展开一、单选题
1.已知全体实数集,集合,,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据二次函数求值域,结合补集以及交集运算,可得答案.
【详解】由题意,可得,或,则,
故选:C.
2.已知复数,则下列结论正确的是( )
A.在复平面对应的点位于第三象限B.的虚部是
C.(是复数的共轭复数)D.
【答案】D
【分析】化简得到,得到,,对比选项得到答案.
【详解】,对应点在第二象限,A错误;虚部为,B错误;
,C错误;,D正确.
故选:D.
3.“数列为等比数列”是“数列为等差数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质及对数的性质可求解.
【详解】数列为等比数列,设其公比为,则也为等比数列,且,
所以,所以,为等差数列,
反之,若数列为等差数列,例如则,即,
满足数列为等差数列,但推不出“数列为等比数列”(正负随取构不成等比数列).
所以,“数列是等比数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件.
故选:A.
4.函数图象如图所示,则=
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由最值求由周期求由图象过原点求,可求得函数解析式,从而可得结果.
【详解】由函数的图象可知函数最大值为2,最小值为-2,所以
由从而得
又图象过原点,所以,
,得,故选A.
【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质,属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期,用周期公式求出,利用特殊点求出,正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键,由特殊点求时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
5.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π ,则其面积是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】由题设可得,法1:求三个弓形的面积,再加上三角形的面积即可;法2:求出一个扇形的面积并乘以3,减去三角形面积的2倍即可.
【详解】由已知得:,则,故扇形的面积为,
法1:弓形的面积为,
∴所求面积为.
法2: 扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍,
∴所求面积为.
故选:D
6.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征,得到在方向上的投影的取值范围是,利用向量数量积的定义式,求得结果.
【详解】
的模为2,根据正六边形的特征,
可以得到在方向上的投影的取值范围是,
结合向量数量积的定义式,
可知等于的模与在方向上的投影的乘积,
所以的取值范围是,
故选:A.
【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.
7.定义在上的偶函数f(x)满足f(-x)+f(x-2)=0,当时,(已知),则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】根据条件,推出函数 的对称性,周期性和单调性,将自变量 转到区间 内,再根据单调性即可比较大小.
【详解】∵,,∴ ,
∴的图像关于直线和点对称,∴的周期为4,
当 时,,在递增,
由对称性知在 ,递减
∴, ,
,
又 , ,
由条件知 ,,
∴;
故选:A.
8.对于角的正切的倒数,记作,称其为角的余切.在锐角三角形中,角所对的边分别为,,,若满足,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换化简得到,根据角度的范围得到,化简得到,得到答案.
【详解】因为,根据正弦定理得,
由,,
即,
三角形为锐角三角形,可得,即,
所以,可得,可得,
所以,
则,
所以.
故选:C.
二、多选题
9.下列函数中,最小值为4的是( )
A.B.
C.D.
【答案】AD
【分析】根据均值不等式成立的条件可判断ABC,根据可取负值判断B即可.
【详解】对于A,由均值不等式可得,当且仅当时等号成立,故A正确;
对于B, 由时,显然,故B不正确;
对于C, 由均值不等式可得,当且仅当时等号成立,故4不是最小值,故C错误;
对于D,由均值不等式,当且仅当,即时,等号成立, 故D正确.
故选:AD
10.已知平面向量、、为三个单位向量,且,若(),则的取值可能为( )
A.B.C.D.
【答案】ABC
【分析】建立如图坐标系,以向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量,,求出、、的坐标,列出等式,结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出结果.
【详解】依题意,、是一组垂直的单位向量,如图建立坐标系,
向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量,,
因为,,,,
所以,故,,
故,故可以是选项中的,1,.
故选:ABC.
11.如图所示的数表中,第1行是从1开始的正奇数,从第2行开始每个数是它肩上两个数之和.则下列说法正确的是( )
A.第6行第1个数为192
B.第10行的数从左到右构成公差为的等差数列
C.第10行前10个数的和为
D.数表中第2021行第2021个数为
【答案】ABD
【分析】由题可知,数表中,每行是等差数列,且第一行的首项是1,公差为2,第二行的首项是4,公差为4,第三行的首项是12,公差为8,每行的第一个数满足,每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,然后分析计算即可.
【详解】数表中,每行是等差数列,且第一行的首项是1,公差为2,第二行的首项是4,公差为4,第三行的首项是12,公差为8,每行的第一个数满足数列,每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,公差满足数列.
对于选项A:由题可知,每行第一个数满足下列关系:,所以第6行第1个数为,故A正确;
对于选项B:每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,故第10行的数从左到右构成公差为的等差数列,选项B正确;
对于选项C:第10行的第一个数为,公差为,所以前10个数的和为:,故C错误;
对于选项D:数表中第2021行中第一个数为,第2021行的公差为,故数表中第2021行第2021个数为,选项D正确.
故选:ABD.
【点睛】关键点睛:本题考查了数字的变化类问题,通过观察、归纳、总结得出:“数表中每行的第一个数满足数列,每行的公差构成一个以2为首项,公比为2的等比数列,公差满足数列.”这一规律是解题的关键.
12.已知函数若存在实数,,,()满足,则( )
A.B.
C.D.
【答案】ABCD
【分析】画出函数图像,根据图像得到,故,计算函数最值,化简得到,再利用均值不等式得到答案.
【详解】,,所以,,,,如图,画出函数的图象,
,根据图像知:,
,关于对称,,A正确;
,,函数单调递增,故,C正确;
又,,.,即,B正确;
,,,D正确;
故选:ABCD.
三、填空题
13.已知向量满足,则的夹角为___________.
【答案】
【分析】根据,两边平方求得,从而可求得夹角的余弦值,即可得解.
【详解】解:由,得,
又,
所以,
所以,
即,所以,
又因,
所以.
即的夹角为.
故答案为:.
14.写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①;② 是偶函数.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】求出的周期为,再写出一个符合题意的函数即可求解.
【详解】由可得,,
所以周期为,
如函数满足周期为,且是偶函数,
所以,符合题意,
故答案为:(答案不唯一).
15.《孙子算经》是我国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为a,当时,则符合条件的所有a的和为________.
【答案】8184
【分析】由题设a=3m+2=5n+3, m, n∈N*,则3m=5n+1,对m分类分析,可知m=5k十2,得到a=15k+8,k∈Z,由a∈[1,500]求得a的取值,再由等差数列的前n项和求得答案.
【详解】由题意知,a=3m+2=5n+3, m, n∈N*,
则时,不存在;
当时,不存在,
当时,,满足题意;
当时,不存在
当时,不存在,
故,
则共33个数,且这些数构成以8为首项,15为公差的等差数列,
这33个数的和为.
故答案为:8184
四、双空题
16.若定义在R上的偶函数满足,,则________.若m,且,记函数,则在上最少存在________个零点.
【答案】 1 2
【分析】由已知可得是以2为周期的周期函数,通过赋值可得,故;易知是的零点,区间的长度,故可得到的零点个数.
【详解】由已知,令,则,因,所以,又
,因为偶函数,所以,
故,所以是以2为周期的周期函数,故;
由题意知,,且①,当时,等号成立,①式说
明区间长度大于等于2,而,易知是的零点,而相邻
零点的距离为1,故在上至少存在2个零点.
故答案为:1;2
【点睛】本题考查抽象函数及其的应用,涉及到赋值法求特殊点的函数值、函数零点的个数问题、函数的奇偶性、周期性等,是一道中档题.
五、解答题
17.已知.
(1)若与的夹角为钝角,,求的取值范围;
(2)若函数在上有10个零点,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据与的夹角为钝角,可得与数量积小于零,且与不共线,化简求出范围即可.
(2)根据的解析式及进行换元,转化为在上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出的取值范围.
【详解】(1)解:由题知,与的夹角为钝角,所以且与不共线,
则有,
且,
因为,
故,
(2)由题知,,
令,
则在上有10个零点,即在上有10个零点,画出的图像如下所示
故只需,解得,
故.
18.已知函数在处的切线与直线平行.
(1)求a;
(2)设,若函数存在单调递减区间,求b的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】(1)结合已知条件,求出直线的斜率,然后利用导数的几何意义和两直线平行时斜率相等即可求解;(2)结合(1)中结论求出解析式,由已知条件可知在上有解,然后结合均值不等式即可求解.
【详解】(1)由题意,,直线的斜率为,
因为函数在处的切线与直线平行,
所以,解得.
(2)由(1)中结论可知,,从而,
故,
因为函数存在单调递减区间,
所以在上有解,即在上有解,
当时,由均值不等式可知,,
当且仅当时,即时,取得最小值,
从而,即,
故b的取值范围为.
19.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,.
(1)证明:B=2A;
(2)若a=3,,求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)因所证涉及角度,故将已知条件利用诱导公式结合三角形面积公式,余弦定理转化为只关于角度的条件.
(2)由(1),结合已知和正弦定理可得的值,之后可得的可能值,后通过验证确定答案.
【详解】(1)证明:由题,则
,故
由余弦定理得,
由正弦定理:,
则,注意到
即
得,因为三角形内角,
则(排除)
或,得.
(2)由已知及正弦定理得,得.
由余弦定理:,解得或3.
当时,,结合(1)得,与矛盾,故舍去,∴.
20.如图,某校园有一块半径为20m的半圆形绿化区域(以O为圆心,AB为直径),现对其进行改建,在AB的延长线上取点D,,在半圆上选定一点C,改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,设.
(1)当时,求改建后的绿化区域边界AC与线段CD长度之和L;
(2)若改建后绿化区域的面积为S,写出S关于的函数关系式,试问为多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值,最大值为多少?(注:请利用参考数据;;,求出本题中的L与S的结果的具体值).
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据弧长公式以及余弦定理,求和可得答案;
(2)根据扇形面积公式以及三角形面积公式,整理函数解析式,利用导数求其最值,可得答案.
【详解】(1),
,解得,
故.
(2)扇形的面积,的面积,
故,则,
令,解得,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
.
21.已知数列中,,.
(1)求证:数列为等比数列,并求出的通项公式;
(2)数列满足,设为数列的前项和,求使恒成立的最小的整数.
【答案】(1)证明见解析,;(2).
【分析】(1)将已知条件两边同时取倒数可得,利用构造法令求出的值,由等比数列的定义即可求证;求出即可得;
(2)求出的通项公式,由乘公比错位相减求出,使得即可.
【详解】(1)由,得,
令,所以,解得,
所以,
由等比数列的定义可知:
数列是以为公比,以为首项的等比数列,
所以,即,
(2)由题意得,
,
,
两式相减得:,
所以,
所以,
所以使恒成立的最小的整数为.
22.已知函数.
(1)若,求函数f(x)的零点个数;
(2)若函数,是否存在,使得在处取得极小值?说明理由.
【答案】(1)两个
(2)存在,理由见解析
【分析】(1)先对求导,再分类讨论、与三种情况时的正负情况,再结合零点存在定理得到的零点情况,从而得到的单调性,结合零点存在定理即可判断函数f(x)的零点个数;
(2)先对求导,利用极小值点的意义求得,再令,分类讨论、与三种情况时的图像性质,从而得到的单调性与零点情况,进而得到的图像性质,证得在处取得极小值.
【详解】(1)时,,
当时,,,,在上单调递减;
当时,单调递增,,,
当时,显然大于0,
∴存在,使得,
∴在单调递减,在单调递增,
∵,,,
∴有两个零点.
(2)依题意,得,
,
显然是的极小值点的必要条件为,即,
此时,
令,则,
显然在递增,,,
当时,,,,∴,
当时,,,,∴,
∴存在唯一的零点,且,
∴在单调递减,单调递增,
,,
∴在上存在唯一的零点,即在上存在唯一的零点,
当时,,
∴在单调递增,在单调递减,在单调递增,
∴当时,是的极小值点.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一上学期期中学业质量检测数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一上学期期中学业质量检测数学试题含答案,共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2024届山东省临沂市莒南县第二中学高三上学期第一次素养检测数学试题含解析: 这是一份2024届山东省临沂市莒南县第二中学高三上学期第一次素养检测数学试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
山东省临沂市莒南第一中学北校区2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题: 这是一份山东省临沂市莒南第一中学北校区2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题,共24页。