2022-2023学年山东省临沂市莒南第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省临沂市莒南第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简抛物线方程为标准形式，然后求解焦点坐标即可

【详解】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为：．

故选：B

2．已知向量，，且，则实数的值为（    ）．

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】解：因为，，且，

所以，解得.

故选：A

3．若直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B．3 C．3或 D．或6

【答案】B

【分析】由两直线平行得到方程，求出或，通过检验舍去不合要求的解.

【详解】直线：与直线：平行，

所以，解得：或，

①当时，：，：，，符合题意；

②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，

故，

故选：B

4．已知函数，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求导，再代入即可求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

故选：A.

5．已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得，再利用圆上动点到直线的距离的最值求法求得点P到直线的最大距离，由此可求得面积的最大值.

【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，

所以圆心到直线的距离，

则，

又点P到直线的距离的最大值为，

所以面积的最大值．

故选：A.

.

6．已知数列满足，，则（    ）

A．1 B．2 C．-1 D．1.5

【答案】C

【分析】结合数列的周期性求得正确答案.

【详解】，

所以数列是周期为的周期数列，

所以.

故选：C

7．已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作答.

【详解】函数的定义域是R，求导得：函数，而，

则曲线在点处的切线的斜率，

当且仅当，即，时取“=”，而，

于是得，有倾斜角锐角，因此，，

所以的取值范围是.

故选：A

【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.

8．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（      ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】B

【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.

【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，

由于线段的垂直平分线过，所以有.

根据双曲线和椭圆的定义有，

两式相减得到，即，

，

所以，

当且仅当即等号成立，即最小值为.

故选：B.

【点睛】思路点睛：本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目，由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同，对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.

二、多选题

9．下列函数中，求导正确的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】ACD

【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解.

【详解】解：对于A，，，则A正确；

对于B，，，则B错误；

对于C，，，则C正确；

对于D，，，则D正确．

故选：ACD.

10．已知圆 ，直线，则（    ）

A．直线恒过定点

B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1

C．直线与圆有一个交点

D．若圆与圆 恰有三条公切线，则

【答案】AD

【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解.

【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确.

对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为

，故B选项错误.

对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误.

对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确.

故选：AD

11．已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（        ）

A． B．

C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数的值为4043

【答案】ABD

【分析】由等比数列的性质得，再对选项逐一判断，

【详解】由，，得，且，

对于A，，故A正确，

对于B，，故B正确，

对于C，当时，，当时，，

故的值是中最小的，故C错误，

对于D，，，故使成立的最大正整数的值为4043，故D正确，

故选：ABD

12．如图，在长方体中，，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，B、P、三点共线

B．当时，

C．当时，平面

D．当时，平面

【答案】ACD

【分析】如图，以D为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，表示出的坐标，再逐个分析判断即可.

【详解】解：如图，以D为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系：

则，

，

设，，则，

可得，

，

对于A：当时，则点P为对角线的中点，

根据长方体性质可得三点共线，故A正确；

对于B：当时，

∴，解得，

所以，

则，

因此不正确，故B错误；

对于C：当时，，

设平面的法向量为，

，

∴，，

当时，，，故，

∴，∴，

又平面，∴平面，故C正确；

对于D：当时，可得，，

设平面的法向量为，

则，，

取，则，∴，

而，∴，∴平面，故D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则____________．

【答案】##-0.75

【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k的方程，解之即可.

【详解】由圆，得圆心，半径，

则圆心到直线即的距离为

，所以，

有，解得.

故答案为：.

14．在直三棱柱中， ，，分别是，的中点， ，则与所成角的余弦值是_____________.

【答案】##

【分析】已知是直三棱柱，取的中点，连接，，可得和所成角即为与所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小．

【详解】，分别是，的中点，

取的中点，连接，，

则且，所以为平行四边形，,

那么和所成角即为与所成角．

设，，是直三棱柱，

，，

故答案为：．

15．已知等差数列的前项和为，则数列的前2017项和___________.

【答案】

【分析】设等差数列的公差为，由，根据基本量法可得，利用裂项相消法求解数列的和即可．

【详解】设等差数列的公差为，由题意，故.

又，故，故.

∴=，

则数列的前2017项和为

故答案为：．

16．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的斜率为____________.

【答案】2

【分析】当直线l斜率不存在时显然不成立，当直线l斜率存在时，设l的方程为，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标运算可得答案.

【详解】当直线l斜率不存在时显然不成立，

当直线l斜率存在时，设l的方程为，设，

联立方程组消x化简，得，

所以，代入到中可得，，

又以为直径的圆与C的准线切于点可知，，

所以，且，

所以，

整理得，

即，

即，解得.

故答案为：2.

四、解答题

17．已知函数

(1)求y＝f(x)的导数；

(2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.

【答案】(1)；

(2)2x－2y－3＝0.

【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则即可计算；

（2）根据导数几何意义求出切线斜率，再根据直线点斜式方程即可求切线方程.

【详解】（1）由题意，＝x－1＋；

（2）f(1)＝，＝1；

∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：

y＋＝x－1，即2x－2y－3＝0.

18．已知圆和直线.

(1)判断直线与圆的位置关系；

(2)求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程.

【答案】(1)相交

(2)；

【分析】（1）根据直线过定点以及点与圆的位置关系即可得到结果；

（2）当当直线时，直线被圆截得的弦长最短，结合弦长公式即可得到最短弦长及直线的方程.

【详解】（1）因为直线，即恒过定点

又因为圆，即

即圆心，半径为

因为

所以点在圆内，即直线与圆相交.

（2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，

此时可得弦长的一半为

即最短弦长为

又因为点横坐标相同，故直线轴，

则直线的斜率为

所以直线的方程为

19．如图，在长方体中，.

(1)求到平面的距离；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得与平面的法向量，进而利用空间向量法求得点到平面的距离；

（2）结合（1）中结论，求得的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得结果.

【详解】（1）根据题意，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，

则，，

设平面的一个法向量为，则，

令，则，故，

所以到平面的距离为.

.

（2）由（1）得，平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知数列，，数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求，再代入即可求数列的通项公式；

（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和.

【详解】（1），

，

又，

．

（2）由（1）知，，

，

①，

②，

故①-②得．

，

.

21．已知椭圆：的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程．

(2)过点的直线交椭圆于、两点，求为原点面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，解得，，即可得出答案．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案．

【详解】（1）解：由题意可得，

解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，

联立，得，

，

所以，即或，

则，

故，

点到直线的距离，

所以的面积，

设，则，

故，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为．

22．已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线

(1)求曲线C的方程；

(2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，点

【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.

（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与，可得，后通过分解因式可得之间关系，从而可得l所过定点.

【详解】（1）如图，设圆E的圆心为，半径为r，由题可得圆M半径为，圆N半径为

则，，所以，

由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，

又.

所以动圆的圆心E的轨迹方程为，.

（2）设直线l的方程为，将直线方程与曲线E方程联立，有：

，消去x得，

由题直线与曲线有两个交点，则.

设，，其中，，由韦达定理有：.

又，

则

又，，则

，

即，

又，故或，

若，则直线l的方程为，

此时l过点，与题意矛盾，

所以，

故，

所以直线l的方程为，

则直线l恒过点

【点睛】关键点点睛：本题涉及求动点轨迹及双曲线中的定点问题，（1）类问题常结合椭圆与双曲线定义思考；对于（2）问，难点为能将分解因式.