2022-2023学年山东省临沂市莒南县高一上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市莒南县高一上学期9月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】用向量平行坐标运算公式.
【详解】因为，，
所以，
故选:A
2．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
3．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出抽到的牌为“黑桃”或“”所包含的牌的数量，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该副扑克牌共张，其中“黑桃”共张，“”共张，
则抽到的牌为“黑桃”或“”共张，故所求概率为.
故选：C.
4．在矩形ABCD中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】由题意作出图形，如下图，

所以
.
故选：C.
5．已知z=，(i是虚数单位)的共轭复数为，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再得到共轭复数和其对应的点的坐标，判断所在的象限即可.
【详解】因为z==2+i，
所以z的共轭复数为=2﹣i，则在复平面上对应的点为(2，﹣1)，位于第四象限.
故选：D.
6．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆锥的母线，底面半径，利用圆锥侧面积公式求解出答案
【详解】因为圆锥的轴截面是直角边长为的等腰直角三角形，
所以圆锥的母线长为，
底面直径长为，半径为，
则此圆锥的侧面积为，
故选：B．
8．给出如下四个命题，正确的有（ ）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则α//β
D．若平面，，过平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线垂直于平面
【答案】B
【分析】A.由线面平行的性质判断；B.由线面垂直的性质判断；C.由面面平行的性质判断；D.由面面垂直的性质判断.
【详解】A.平行于同一个平面的两条直线平行,相交或异面，故错误；
B.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质知，故正确；
C.若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，α//β或相交，故错误；
D.若平面，，当过平面内的点在交线上作交线的垂线，则此垂线不一定垂直于平面，故错误；
故选：B
二、多选题
9．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，下面说法正确的为（ ）
A．两次均正面朝上的概率为
B．两次均反面朝上的概率为
C．两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为
D．两次中，至少一次正面朝上的概率为
【答案】BD
【分析】根据概率的公式逐个求解即可
【详解】对A，两次均正面朝上的概率为，故A错误；
对B，两次均反面朝上的概率为，故B正确；
对C，两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为，故C错误；
对D，两次均反面朝上的概率为，故两次中，至少一次正面朝上的概率为，故D正确；
故选：BD
10．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】根据线面垂直的性质可判断A，根据与平面的关系判断B，再由线面平行的判定与性质定理判断C，根据平行平面的性质及面面垂直的判定定理判断D.
【详解】由线面垂直的性质定理知，，，故A正确；
当，时，可能内，也可能，故B错误；
，，，，又，，，，故C正确；
因为，设，，因为，所以，又，所以，故D正确.
故选：ACD
11．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误
【详解】，即A正确
，即B正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示
由其性质有
∴，即C错误
同理
，即
∴，即D错误
故选：AB
【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
12．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（ ）
A．它的表面积为
B．它的外接球的表面积为
C．侧棱与下底面所成的角为60°
D．它的体积比棱长为的正方体的体积大
【答案】ACD
【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得的长，分析可得即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，代入表面积公式，可判断B的正误；分别求得正四棱台的体积和正方体的体积，利用作商法比大小，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】由题意得：上底面的面积，下底面的面积，
侧面为等腰梯形，过分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示
所以，则，
所以，
所以梯形的面积为，
所以正四棱台的表面积，故A正确；
连接，且交于点，连接AC、BD交于点，连接，
则垂直底面ABCD，
过作于G，则底面ABCD，则四边形为矩形，
由题意得，所以，
同理，
又，所以，
在中，，
所以，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确
所以.
连接，在中，，
所以点到的距离相等，均为，
所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，
所以外接球的表面积，故B错误；
正四棱台的体积，
棱长为的正方体的体积，
所以，所以，
所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确；
故选：ACD
【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
三、填空题
13．总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成.现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若千个范围内的整数随机数的开始部分数据(如下)，则选出来的第5个个体的编号为___________.
【答案】31
【分析】根据随机抽样中利用随机数法获取个体编号的规律即可得解.
【详解】随机抽样中，随机数法获取个体编号在指定编号范围内，遇到大于总体编号或者重复号码舍去不要，
由给定的数据，从8数起至第5个仍是8，重复，舍去，第5个编号为31，
所以选中的第5个个体的编号为31.
故答案为：31
14．已知为坐标原点，向量，，若，则________.
【答案】
【分析】首先设点坐标为，分别求出和的坐标，根据即可得到点的坐标，再求即可.
【详解】设点坐标为，，
.
因为，所以.
即，解得，.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.
15．在中，角所对的边分别为，
①若，则；
②若，则一定为等腰三角形；
③若，则为直角三角形；
④若为锐角三角形，则.
以上结论中正确的有___________.（填正确结论的序号）
【答案】①③
【分析】利用三角形的内角和为结合三角函数的图像、性质以及正弦定理求解即可.
【详解】①因为，由正弦定理得，所以，正确；
②因为，且在中，，所以或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，错误；
③由二倍角公式得，化简得，由正弦定理得，所以为直角三角形，正确；
④若为锐角三角形，则，，当时得，由正弦函数的单调性得，则，与为锐角三角形矛盾，错误.
故答案为：①③.
16．一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.
【答案】
【分析】先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．
【详解】从中随机抽取2个球，所有的抽法共有种，
事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，
而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为，
故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于，
故答案为.
【点睛】本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，属于简单题.
四、解答题
17．已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解；
(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.
【详解】（1）依题意，，得，
，
所以；
（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，
而当向量与同向时，可知，
综上所述的取值范围为.
18．已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，，．求：
（1）3人都通过体能测试的概率；
（2）只有2人通过体能测试的概率；
（3）只有1人通过体能测试的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（2）只有2人通过体能测试为AB＋AC＋BC，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（3）只有1人通过体能测试为A＋B＋C，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】解：设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，由题意有：P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
（1）设事件M1＝“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，
即事件M1＝ABC，由事件A，B，C相互独立可得
P(M1)＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝．
（2）设事件M2＝“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，
则M2＝AB＋AC＋BC，
由于事件A，B，C，，，均相互独立，
并且事件AB，AC，BC两两互斥，
因此P(M2)＝P(A)·P(B)·P()＋P(A)·P()·P(C)＋P()·P(B)·P(C)
＝××＋××＋××＝．
（3）设事件M3＝“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，
则M3＝A＋B＋C，
由于事件A，B，C，，，均相互独立，
并且事件A，B，C两两互斥，
因此P(M3)＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝．
19．已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.
【详解】
（Ⅰ）的最小正周期为.
（Ⅱ），，
故当即时，
当即时，
本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.
【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．
20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，角化边，得到，利用余弦定理，求得答案；
（2）利用余弦定理结合求得，利用三角形面积公式，求得答案.
【详解】(1)因为，
在中，由正弦定理可得，化简得，
所以.
又因为，所以.
(2)由余弦定理，得
因为，所以将代入上式，解得，
所以的面积.
21．如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
（1）求成绩在80~90这一组的频数；
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；
（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率.
【答案】（1）4；（2）平均数为，40百分位数为；（3）.
【分析】(1)由给定的频率分布直方图，求出成绩在80~90这一组频率即可得解；
(2)利用频率分布直方图求平均数及百分位数的方法计算即得；
(3)先求出给定两段的学生总数，再用列举法求概率的方法求解即得.
【详解】（1）依题意50~60这一组的频率为，60~70这一组的频率为，
70~80这一组的频率为，90~100这一组的频率为，
则80~90这一组的频率，其频数为4；
（2）这次竞赛成绩的平均数为
，
40~50这一组的频率为0.1，50~60这一组的频率为0.15，40~60的频率为0.25，60~70这一组的频率为，
因此40百分位数在60~70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，
所以40百分位数为；
（3）记选出的2人不在同一分数段为事件，
40~50之间的人数为人，设为，，，，90~100之间有人，设为1，2，
从这6人中选出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点，
其中事件包括，，，，，，，，共8个基本事件，
于是得，
所以不在同一分数段的概率.
22．如图，正方体的棱长为2，为的中点.
（1）求证：平面
（2）求三棱锥的体积；
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由正方体的性质可得，，由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）利用三棱锥体积相等即可求解.
【详解】（1）在正方体中，面，
因为面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
因为，面，面，
所以平面；
（2）正方体的棱长为2，为的中点，
所以，，平面，
所以.