2022-2023学年山东省临沂市临沂第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省临沂市临沂第二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线与圆相交于，两点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，解之即可.

【详解】圆心到直线的距离

半径为

故

故选：D

【点睛】圆的弦长的常用求法：

（1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；

（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：

2．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（    ）．

A．0 B． C．0或 D．0或

【答案】C

【分析】根据向量夹角公式解方程即可得解

【详解】由题可得：

所以

两边同时平方：

所以等于0或.

故选：C

3．直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用两直线垂直的公式求出，两直线联立求交点坐标即可.

【详解】由直线与直线互相垂直，

可得，

即，

所以直线的方程为：；

由，

得它们的交点坐标为.

故选：B.

4．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（    ）

A．0或1 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断

【详解】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．

故选：B

5．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.

【详解】由题意可得

.

故选：D

6．已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（    ）

A．2x-y-2=0 B．2x-y-4=0

C． D．

【答案】B

【解析】由圆的几何性质可得线段的中垂线与直线垂直，并且过圆心，求直线方程.

【详解】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，

所以，即，所以.

故选：B

7．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】求出圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离，列方程即可求得的值.

【详解】由圆可得圆心，半径，

因为圆上有三个点到直线的距离等于1，

所以圆心到直线的距离，

可得：，

故选：A.

8．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

二、多选题

9．已知向量，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．不存在实数，使得

D．若，则

【答案】AC

【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D选项错误.

【详解】对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；

对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；

对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；

对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

10．瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是（ ）

A．(2,0) B．(0,2) C．(－2,0) D．(0,－2)

【答案】AD

【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标．

【详解】，，的垂直平分线方程为，

又外心在欧拉线上，

联立，解得三角形的外心为，

又，

外接圆的方程为．

设，则三角形的重心在欧拉线上，即．

整理得．

联立，解得或．

所以顶点的坐标可以是，

故选：AD．

11．平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（    ）

A．点P到圆O上的点的距离最大值为

B．过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为

C．过点P与圆O相切的直线方程为

D．过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1

【答案】ABD

【分析】对于A，点P到圆心O的距离与半径之和即为点到圆上点的最大值，求出即可；对于B，利用圆的弦长公式求得即可；对于C，过点的直线与圆相切，分斜率存在与不存在两种情况，其中存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线斜率即可；对于D，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，代入化简，验证是否是定值-1即可.

【详解】对于选项A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为 ，故选项A正确；

对于选项B ，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长公式知，弦长为，故选项B正确；

对于选项C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题意；

当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，

综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.故选项C不正确；

对于选项D，由题意知点，联立得，

设 ，则，

所以

.故选项D正确.

故选：ABD

12．（多选）椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．，满足的点P有两个

B．，满足的点P有四个

C．的面积的最大值

D．的周长小于

【答案】ACD

【分析】由椭圆的几何性质可得，当，，当，，故A正确，B错误；，故C正确；由椭圆定义可得，D正确.

【详解】记椭圆C的上、下顶点分别为，易知.

选项A中，，，正确；

选项B中，，不存在90°的，错误；

选项C中，面积，正确；

选项D中，周长，正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于中档题目.

三、填空题

13．过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数m的值为______________．

【答案】-2

【分析】由，，结合向量平行的关系即可求解.

【详解】由题知，，设直线的方向向量为，则，

即，得，解得或，

当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.

故答案为：

14．在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为_______________．

【答案】

【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据平面可知所求距离即为点到平面的距离，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.

【详解】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，

，平面，平面，平面，

直线到平面的距离即为点到平面的距离；

，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

点到平面的距离，

即直线到平面的距离.

故答案为：.

15．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．

【答案】1

【分析】根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.

【详解】在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：

因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，

，

于是得，

所以的值为1.

故答案为：1

四、双空题

16．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值为______．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是______．

【答案】          4+33##33+4

【分析】由P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，即，可得中，求解，利用椭圆的定义，达到，然后共线时，取得最大值求解.

【详解】如图所示：

当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，

P对两个焦点的张角渐渐增大，

当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值，

由椭圆上存在一点P，使得，可得中，，

可得中，，

所以，即，

所以椭圆离心率e的最小值，由，，，

解得，，

圆的圆心，半径，

，，

而当取得最大值时，取得最大值，

所以当共线时，取得最大值，

所以，

,

故答案为：，

五、解答题

17．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．

（1）用向量表示，；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）作出图形，根据平面向量的基本定理求解即可；

（2）由平面向量的基本定理表示即可求解

【详解】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，

（2）

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．

（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（2）求点D到平面PBC的距离．

【答案】（1）； （2）见解析.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小．

（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离．

【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），

∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），

设异面直线PB与CD所成角为θ，

则cosθ=,

所以异面直线PB与CD所成角大小为 ．

（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），

=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），

则，取x=1，得=（1，0，1），

∴点D到平面PBC的距离d=．

【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．

求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．

19．已知圆C经过和两点，圆心在直线上．

(1)求圆C的方程．

(2)过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出AB中垂线方程，将直线方程与直线联立，求出交点得出圆心，再由两点间的距离公式求出半径，从而得出圆的方程.

（2）讨论直线率不存在或直线l斜率存在，利用点到直线的距离求出参数即可求解.

【详解】（1）因为，AB中点为，

所以AB中垂线方程为，

即，解方程组 得

所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，

因此，所求的圆C的方程为．

（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，

解得或，此时，符合．

②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，

又因为，所以，

即，解得，直线方程为，

综上，直线l方程为或．

20．在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．

(1)求线段的中点C的轨迹方程；

(2)若直线．

①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；

②求直线l被曲线C截得的最短弦长．

【答案】(1)

(2)① 证明见解析；②

【分析】（1）根据点C到原点的距离为定值2，得出点C在以原点为圆心，2为半径的圆上，写出圆的方程即为点C的轨迹方程；

（2）先求解直线所过定点的坐标，再判断定点在圆内可得出结论；

根据动直线与圆相交得最短弦长的条件（直线所过定点与圆心的连线和直线垂直）确定弦心距的长，再计算弦长即可.

【详解】（1）设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，

即的斜边上的中线长，

因为，所以，

所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，

所以点C的轨迹方程是．

（2）直线可整理为

，

方程组的解为，

所以直线恒过定点，

将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，

所以直线与曲线C恒有两个不同交点．

由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，

又 所以此时弦长为，

所以直线被曲线C截得的最短弦长为．

21．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长和侧棱长都为2，点D在棱BB1上运动(不包括端点).

(1)若D为BB1的中点，证明：CD⊥AC1；

(2)设平面AC1D与平面ABC所成的二面角大小为θ(θ为锐角)，求cosθ的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）分别取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,根据已知求得，利用数量积坐标公式计算即可证得结果.

（2）设，求得设平面的法向量，由平面的一个法向量为，利用数量积公式计算即可求得结果.

【详解】（1）证明：分别取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，

所以，

故，

则，所以.

（2）设，则点，所以，设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

故，

又平面的一个法向量为，

所以,

因为，则，

所以.

故的取值范围为.

【点睛】22．已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面积为．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的性质和题意可得，再根据，可得，两边同时除以，即可得到，由此即可求出结果；

（2）解法一：设直线的方程为，由（1）知直线AE的方程为，

与直线的方程联立，可得点Q的坐标，再由已知，列出方程，求解即可；

解法二：依题意设直线的方程为，由（1）知直线AE的方程为，

与直线的方程联立，可得点Q的坐标，再由已知，列出方程，求解即可；

【详解】（1）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．

又由可得，即．

又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．

（2）解法一：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为．

由（1）知，则直线AE的方程为，即，

与直线的方程联立，可解得，，

即点的坐标为．

由已知，有．

整理得．所以．即直线的斜率为．

解法二：依题意设直线的斜率为k，则直线的方程为

由（1）知，则直线AE的方程为，即，

由解得

∴点坐标为，

由已知，

有，

整理得，即．即直线的斜率为．