2021-2022学年陕西省渭南市华阴市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市华阴市高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．在等比数列中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质，得到，即可求解.

【详解】由等比数列的性质，可得，则.

故选：A.

2．准线方程为的抛物线的标准方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出的值即可得到抛物线的标准方程.

【详解】因为准线方程为，所以设抛物线方程为，

又因为准线方程，所以，

所以抛物线标准方程为：.

故选：A.

【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中的值即可得到标准方程.

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定直接写出结果即可.

【详解】命题“，”的否定是，.

4．在中，，，，则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】已知三角形的两边及其夹角，可用三角形面积公式进行求解

【详解】由三角形面积计算公式可得：

故选：A

5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

【答案】B

【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.

【详解】在中，，

，即，

则为直角三角形，

故选：B.

6．设，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由不等式的运算性质即可得到答案.

【详解】由题意，.

故选：B.

7．以下求导正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接利用导数的运算公式求解.

【详解】A. ，故错误；

B. ，故错误；

C. ，故正确；

D. ，故错误；

故选：C

8．若实数、满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.

故选：C.

9．函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

10．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，即可根据集合的包含关系判断充分性及必要性

【详解】当，；当，，故.

故“”等价于或，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

11．已知命题p：双曲线的离心率一定比椭圆的离心率大；命题q：若一个函数既有极大值又有极小值，则其极大值一定比极小值大.那么（    ）

A．为真 B．为真 C．为真 D．为假

【答案】B

【分析】先判断p为真命题，q为假命题，利用复合命题的真假判断得解.

【详解】因为双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率的离心率小于1，

所以双曲线的离心率一定比椭圆的离心率大，所以p为真命题；

若一个函数既有极大值又有极小值，则其极大值不一定比极小值大，所以命题q为假命题；

所以为假命题，为真命题，为假命题，为真命题.

故选：B

12．记为数列的前n项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据与的关系求出，利用即可得到数列是等比数列，进而得到.

【详解】解：当时，，

当时，，

，

所以，数列是等比数列，

所以，

故选：A.

二、填空题

13．在等差数列中，已知，则____________．

【答案】5

【分析】在等差数列中，根据等差中项公式求解即可.

【详解】解：由等差数列的性质得，

，

故答案为：5.

14．不等式的解集为____________．

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的求解方法，即可解不等式.

【详解】解：不等式，可化为，

即，解得，

故答案为：.

15．焦点在轴上，虚轴长为8，焦距为10的双曲线的标准方程是_____;

【答案】

【详解】试题分析：因为虚轴长为8，所以2b=8，即b=4，因为焦距为10,所以2c=10,即c=5,所以，所以双曲线的标准方程为．

【解析】双曲线的标准方程．

点评：直接考查双曲线标准方程的求法，属于基础题型．我们要注意双曲线中的关系和椭圆中的关系的不同．

16．设函数的导函数为，若，则____________．

【答案】##

【分析】求导得，进而计算即可.

【详解】解：由题知，，

所以

故答案为：

三、解答题

17．（1）解不等式；

（2）已知，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值25.

【解析】（1）将分式不等式转化成一元二次不等式，即解得结果；

（2）利用“1”的妙用，拼凑得，化简利用基本不等式即得结果.

【详解】解：（1）原不等式转化为，等价于，

解得，所以原不等式的解集为；

（2）因为，

所以

当且仅当时等号成立，由解得，

所以当时取等号，的最小值为25.

【点睛】利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.

（1）积定，利用，求和的最小值；

（2）和定，利用，求积的最大值；

（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.

18．已知a，b是实数，1和3是函数的两个极值点．

(1)求a，b的值；

(2)求在上的最大值．

【答案】(1)，；

(2)20

【分析】（1）由极值点建立方程组可解得a，b；

（2）由导数法最值即可.

【详解】（1）由题设知，且，，解得，．

（2）由（1）知，则，是方程的两根，

当或，，∴在，上为增函数．

当时，，∴在上为减函数．

又，，故在闭区间上的最大值为20．

19．在平面四边形ABCD中,∠A=60°,AB=2,AD=3,AB⊥BC.

（1）求BD;

（2）若∠BCD=150°,求CD.

【答案】（1）.（2）

【分析】（1）在三角形中，用余弦定理求得，

（2）在三角形中，用余弦定理求得，结合，求得，在三角形中，用正弦定理求得.

【详解】（1）在三角形ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=7,

∴BD.

（2）由余弦定理得cos∠ABD,

∵AB⊥BC,∴sin∠CBD=cos∠ABD,

在△BCD 中,由正弦定理得,即,

解得CD=1.

【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，属于基础题.

20．已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，分别求出和，可求公差d，根据是等差数列写出通项公式即可；

（2）由，利用等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可.

【详解】（1）依题意，知，则，，

设的公差为d，

则，

．

（2）由（1）知，，，

，

设的前n项和为，

则

．

21．已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，c，即可得到椭圆C的标准方程；

（2）由题意可得直线l的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可得到的值.

【详解】（1）由题得，解得，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）由（1）知椭圆C的右焦点坐标为，

则直线l的方程为，

设，

联立，化简得，

，．

．

22．设函数

(1)讨论的单调性；

(2)当时，若在上恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析.

(2)

【分析】（1）首先求出函数的导数，对a讨论，根据的正负即可求出函数单调性；

（2）利用参数分离将在上恒成立，转化为在上恒成立问题，设，求出在上的最大值，即可得到a的取值范围.

【详解】（1）已知，则函数的定义域为，且，

当时，，在单调递增；

当，且时，，此时在上是增函数；

时，，此时在上是减函数．

综上所述，当时，在定义域上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

，则，

a的取值范围为.