2021-2022学年陕西省渭南市富平县高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市富平县高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．设函数在处的导数为2，则（    ）

A．2 B．1 C． D．6

【答案】A

【分析】根据导数的定义即得.

【详解】因为函数在处的导数为2，

所以.

故选：A.

2．命题“对任意一个实数，都有”的否定是（    ）

A．存在实数，使得 B．对任意一个实数，都有

C．存在实数，使得 D．对任意一个实数，都有

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案.

【详解】“对任意一个实数，都有”的否定是：存在实数，使得.

故选：A

3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（    ）

A．6 B．26 C．4 D．14

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点到焦点的距离等于6 ，可得的长.

【详解】解：根据椭圆的定义，

又椭圆上一点到焦点的距离等于6，

，则，

故选：D.

4．如果，且，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，即可得出.

【详解】对于A项，因为，所以，所以，故A项错误；

对于B项，因为，所以，所以，故B项正确；

对于C项，因为，若，则，故C项错误；

对于D项，取，，则满足，但，故D项错误.

故选：B.

5．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得的能量，则需提供的能量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设需提供的能量为a,由题意知有大约的能量能够流到下一个营养级，即的能量为，的能量为，即构成等比数列，要使获得的能量，列等式，即可求得a的值.

【详解】设需提供的能量为a,由题意知：的能量为，的能量为，

即，解得：，

所以要能使获得的能量，则需提供的能量为，

故选：C.

6．已知双曲线的离心率，则该双曲线的一条渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，可知该双曲线焦点在轴上，则它的渐近线方程为，再根据双曲线离心率，求出的值，从而可求出该双曲线的一条渐近线方程.

【详解】解：根据题意，双曲线的离心率，

可知该双曲线焦点在轴上，则它的渐近线方程为，

而，则，所以，

故其中一条渐近线方程为，

故选：D.

7．若函数在上为增函数，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m的范围即可.

【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立，

即在恒成立，则，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．

8．设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．与均为的最大值

【答案】C

【分析】由可判断B；由，分析可判断A；由可判断C；由，可判断D.

【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A正确；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的.

∵，，∴与均为的最大值，故D正确；

故选：C

9．下列函数中，最小值是2的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出的取值范围.

【详解】解：A：当时，，最小值不是2，故A错误；

B：当时，，则，

当且仅当，即时等号成立，故当时，，B错误；

C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；

D：因为，所以，所以，

当且仅当，即时等号成立，由得，D错误.

故选:C.

【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.

10．“”是“函数的最小正周期为”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分且必要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数的表达式,根据时函数的解析式,利用余弦函数的周期性求得最小正周期，从而判定充分性；反之，当函数最小正周期为时，利用周期公式求得a的值，从而判定是否必要；注意函数的最小正周期公式，不要遗漏绝对值.

【详解】解：

当时，的最小正周期为，故充分性成立

当函数的最小正周期为时，

所以,不能得出，故必要性不成立，

综上：“”是“函数的最小正周期为”的充分而不必要条件.

故选：A.

11．已知命题，方程都表示双曲线；命题：抛物线的焦点坐标为.则下列命题是真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先判断命题和的真假，再根据复合命题的真假性质进行判断即可．

【详解】方程表示双曲线，则有，解得，

故命题，方程都表示双曲线为真命题；

抛物线化成标准方程为，焦点坐标为，

故命题：抛物线的焦点坐标为是假命题；

所以为假，为假，为假，为真.

故选：D

12．设和为椭圆的两个焦点，若，，是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角形是等边三角形，得到b、c的齐次式，即可求出离心率.

【详解】设椭圆是焦距为2c.

因为，，是等边三角形的三个顶点，

所以，有，则.

故选：B.

二、填空题

13．若数列为等差数列，，则________.

【答案】2

【分析】利用等差数列的性质即可求解.

【详解】由等差数列的性质可得

，解得，

故答案为：.

14．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据二次不等式的解法即得.

【详解】因为关于的不等式的解集为空集，

所以，解得，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

15．海面上有三个灯塔，，从望和成视角，从望和成视角，则______.（表示海里，）

【答案】

【分析】根据题意得到中的两角一边三个元素，从而利用正弦定理即可得解.

【详解】根据题意，可知在中，，，，则，

所以由正弦定理得，即，解得，

所以.

故答案为：．

16．曲线在点处的切线也为曲线的切线，则实数______.

【答案】

【分析】利用导数求得曲线在点处切线的斜率，点斜式得到切线方程，此方程也是曲线的切线方程，设切点坐标，利用导数列方程组求实数a的值.

【详解】由求导得 ， 则曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为，

设直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得，解得.

故答案为：-1

三、解答题

17．求下列函数的导数：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数运算法则运算求解即可；

（2）根据导数运算法则运算求解即可；

【详解】（1）解：

（2）解：

18．若关于的不等式的解集为

（1）求的值；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意可知，方程的两根为，结合根与系数的关系得出的值；

（2）根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】（1）由题意可知，方程的两根为

由根与系数的关系可知，，解得

（2）由（1）可知，

，即，解得

即该不等式的解集为

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

19．在中，角的对边分别为，且满足.

(1)求角的大小；

(2)点为边的中点，，设，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，从而求得角；

（2）利用余弦定理与基本不等式求得，从而利用三角形面积公式即可求得面积的最大值.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理得，则，故，

又，所以.

（2）在中，，

所以由余弦定理得，即，

又，当且仅当时，等号成立，则，

所以，此时，

故面积的最大值为.

20．已知各项均不为零的数列满足，且.

(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；

(2)令为数列的前项和，求.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）构造得解决即可；

（2）由（1）得，错位相减解决即可.

【详解】（1）由，

得，

又，

是首项为5，公差为3的等差数列.

，故.

（2）由（1）知，

所以①

②，

①-②得：

，

.

21．设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为3.

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线与圆和抛物线均相切，求实数的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出A、B点坐标，由已知可得，又易得，即可解出；

（2）根据直线与圆相切，可得；联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得，即可推得.联立两式，即可解出实数的值.

【详解】（1）设，，.

则线段的中点坐标为，

由题意知，则，

如图，分别过点、作准线的垂线，垂足为、，根据抛物线的定义可知，，，

又，所以，所以，

所以，抛物线的方程为：.

（2）因为圆圆心为，半径为，直线，即与圆相切，

，即有①

联立直线与抛物线的方程，可得，

因为直线与抛物线相切，

所以，得②，

联立①②，解得或，

即实数的值为.

22．已知函数.

(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；

(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系.

【详解】（1）当时，则函数，，

令，解得或，

当时，，当时，，

则函数在上单调递减，函数在上单调递增，

∴在时取得极小值为，且，

故在上的最大值为，最小值为.

（2）∵，则

①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；

②当时，令，得或，

∴在，上单调递增，在上单调递减，

故函数在时取得极大值，在时取得极小值，

∴；

③当时，令，得或，

∴在和上单调递增，在上单调递减，

故函数在时取得极大值，在时取得极小值，

∴，解得.

综上所述：实数的取值范围是.