2022-2023学年福建省莆田第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省莆田第一中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求函数的定义域求得集合，解不等式求得集合，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由解得，所以；

由解得或，所以或；

所以.

所以：，A选项错误.

，B选项错误.

，C选项正确.

不是的子集，D选项错误.

故选：C

2．函数的零点所在区间是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间．

【详解】∵函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，

∴f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，

∴f（0）f（1）＜0．

根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间是（0，1），

故选C．

【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．

3．已知，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将与化为同底的对数式，然后利用对数函数的单调性及利用“”的关系进行比较即可.

【详解】，，因为，所以，，故,

故选：D.

【点睛】本题考查指数式与对数式比较大小的问题，解题关键是根据指指、对数的单调性进行比较，属于基础题.

4．函数的值域是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数单调性确定函数值域.

【详解】，，，，，

函数的值域为.

故选:A

【点睛】本题考查指数函数单调性与值域，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．已知函数若方程有且仅有三个不等实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出的图象，根据图象求得的取值范围.

【详解】画出的图象如下图所示，

由图可知，要使的图象与直线有三个不同的公共点，

则需.

故选：B

6．已知非零实数满足，则之间的关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算得到，，，依次带入选项计算即可.

【详解】，且，则，，，

，，，

对选项A：，错误；

对选项B：，错误；

对选项C：，错误；

对选项D：，正确.

故选：D

7．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）

A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年

【答案】C

【分析】根据指数型函数模型，求得投入资金的函数关系式，由此列不等式，解不等式求得经过的年份，进而求得开始超过亿元的年份.

【详解】由题意，可设经过年后，投入资金为万元，则.

由题意有，即，则，所以，所以，即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.

故选C.

【点睛】本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查指数不等式的解法，属于中档题.

8．若对，函数始终满足，则函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】确定，，排除AD；，排除C，得到答案.

【详解】当时，函数始终满足，，故.

，排除AD；

，排除C.

故选：B

二、多选题

9．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断即可.

【详解】对选项A：在上单调递增，，函数为奇函数，正确；

对选项B：在上单调递减，排除；

对选项C：，，函数为奇函数，在上单调递增，正确；

对选项D：，则，函数为偶函数，排除.

故选：AC

10．若正数满足，则下列关系正确的是是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】构造函数，根据函数单调性得到，再依次判断每个选项即可.

【详解】，故，函数单调递增，

故，，故.

对选项A：，正确；

对选项B：若，则，即，错误；

对选项C：若，则，错误；

对选项D：若，则，正确.

故选：AD

11．已知函数，则（    ）

A．是偶函数

B．方程有4个不同的解

C．在上单调递增

D．在上单调递减

【答案】ABC

【分析】A选项，根据函数奇偶性判断；B选项，换元法利用一元二次方程求出解，作出判断；CD选项，利用对勾函数，函数奇偶性及复合函数单调性进行判断.

【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，A正确；

设，令，则，即，解得，当时，；当时，，所以方程有4个不同的解，B正确；

令，则在上单调递减，在上单调递增，又知在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数的单调性性质可知，在上单调递减，在上单调递增，D错误；

由是偶函数，知在上单调递增，C正确，

故选：ABC.

12．已知函数若方程有三个不同的解，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】画出的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.

【详解】由题意可知，，作出的图象，如图所示：

因为方程有三个不同的解，由图可知，故D错误；

且，，

所以，故A错误，B正确；

所以，故C正确；

故选：BC

【点睛】关于形如、等函数图象的画法，可结合绝对值的意义、函数的奇偶性、函数的单调性进行作图，作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向，也要注意函数定义域的影响.

三、填空题

13．函数 (a>0且a≠1)恒过定点____________

【答案】

【分析】根据求定点坐标.

【详解】因为当时，，

所以恒过定点

故答案为：

【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．函数有且仅有1个零点，则m的取值范围为_______.

【答案】或

【分析】利用数形结合即得.

【详解】∵函数有且仅有1个零点，

∴函数的图象与直线有一个交点，

由图可得或，

∴或.

故答案为：或.

15．已知函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据分段函数是在实数集上的增函数，得到，解得答案.

【详解】函数是实数集上的增函数，

故，解得.

故答案为：

四、双空题

16．已知函数.

（1）______.

（2）函数在区间上有四个不同的零点，则实数的取值范围是______.

【答案】     ##0.5    

【分析】直接计算得到，计算函数的解析式，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】函数，则.

当时，；当时，；

当时，，

当时，，

函数在区间上有四个不同的零点，

即与有四个交点，作出函数的图象，

如图所示：由图可知，实数的取值范围是.

故答案为：；

五、解答题

17．（1）求值；

（2）已知，，试用、表示.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果；

（2）由换底公式可得出，然后利用换底公式可得出，并利用对数和表示分子和分母，代入化简计算即可.

【详解】（1）原式；

（2）由换底公式得，又，

因此，.

【点睛】本题考查指数、对数的运算，以及利用换底公式化简计算，考查计算能力，属于基础题.

18．已知函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)是否存在，使在上单调递增，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）设并配方，进而得到定义域，并算出t的范围，进而得到函数的值域；

（2）根据题意，只需在上单调递减且在上恒成立，进而列出不等式组求得答案.

【详解】（1）当时，，

设，则，所以，

所以的值域为.

（2）要使在上单调递增，

只需在上单调递减且在上恒成立，

所以，此不等式组无解.

故不存在，使在上单调递增.

19．已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断的单调性，并证明；

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

(3)或

【分析】（1）由求出，再验证此时的为奇函数即可；

（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；

（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.

【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，

此时，，所以为奇函数，

故.

（2）由（1）知，为上的增函数，

证明：任取，且，

则，

因为，所以，即，又，

所以，即，

根据增函数的定义可得为上的增函数.

（3）由得，

因为为奇函数，所以，

因为为增函数，所以，即，

所以或.

20．水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.

（参考数据： ）

（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.

【答案】（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.

【分析】（Ⅰ）判断两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．

（Ⅱ）利用 x=0时，，若经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍则有

，求解即可．

【详解】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.

   则有，    解得 ，

（Ⅱ）当时，

该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有

答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.

【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识.

21．已知函数

（1）若，求方程的解；

（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）将代入函数解析式，得到对应方程，结合题中条件求解即可；

（2）先令，由题意得到，化为对恒成立，求出的最小值，即可求解.

【详解】（1），则，

由，整理为，

因为，

所以，可得.

（2）令，

由，

即，

恒成立，只需，

又在上为增函数，当时，，

所以.

【点睛】关键点点睛：涉及指数型复合函数或不等式问题，换元后转化为其他基本初等函数问题是常用方法，注意换元后新元的取值范围要准确，恒成立问题一般要转化为求函数的最值问题来解决，本题转化为后只需利用函数的单调性来求的最小值即可，属于中档题.

22．已知函数和函数（其中）.

(1)求的值.

(2)用表示中的最大值，设函数，讨论函数零点的个数.

【答案】(1)0

(2)当时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，有3个零点.

【分析】（1）利用对数的运算法则直接计算得到答案.

（2）考虑，和三种情况，根据二次函数与轴的交点情况，分别计算零点个数得到答案.

【详解】（1）；

（2）①，故1为的一个零点，，由于，则，所以，即1为函数的零点；

②当时，，故在上无零点；

③当时，在上无零点，所以在上的零点个数就是在上的零点个数.

因为，

故当，即时，函数无零点，即在上无零点；

当，即时，函数的零点为，即在上有零点；

当，即时，对称轴，函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点.

综上所述：

当时，有1个零点；

当时，有2个零点；

当时，有3个零点.