2022-2023学年福建省龙岩第一中学高一上学期第一次月考数学试题含解析

  龙岩一中2022-2023学年第一次月考

高一数学试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.

【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．

故选：A．

2. 已知命题，，则为（    ）．

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】“存在一个符合”的否定为“任意一个都不符合”

【详解】“存在一个符合”的否定为“任意一个都不符合”，故为，.

故选：B

3. 若，则下列结论一定成立是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据，可得，判断A;利用作差法可判断B,C,D,即得答案.

【详解】因为，则，A错误；

因为，则因为，故，

所以，B错误；

因为，故，即，C错误；

因为，故，则，D正确，

故选：D

4. 函数 的图像大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.

【详解】因为，所以，为奇函数，所以C错误；

当时，，所以A，D错误，B正确.

故选：B.

5.  “”的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由集合包含关系直接判断即可.

【详解】，

因为，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

6. 若，则有（    ）

A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.

【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．

故选：D.

7. 对于函数，下列说法正确的是（    ）

A. 若，．则函数的最小值为

B. 若，，则函数的单调递增区间

C. 若，，则函数是单调函数

D. 若，，则函数是奇函数

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，举出反例；B选项，单调区间不能用；C选项，函数在，上分别单调递增，但在定义域上不单调；D选项，根据奇函数定义可得到是奇函数.

【详解】对于A，若，，则当时，，故A中说法错误；

对于B，的单调递增区间应为，，故B中说法错误；

对于C，的定义域为，

当，时，在，上分别单调递增，

但在定义域上不单调，故C中说法错误；

对于D，的定义域为，关于原点对称，

且，

故是奇函数，故D中说法正确，

故选：D．

8. 已知函数 ．若，则实数的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可.

【详解】解：当时，，解得，

当时，，解得，

所以，当时，，

令时，或；令时，；令时，或，

所以，作出函数的图像如图，

当时，实数的取值范围是.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案.

【详解】由已知图中阴影部分可知，阴影为集合的交集和的交集的并集，

故阴影部分可表示为或，

所以A,C正确，B,D错误，

故选：

10. 下列四个命题中的假命题为（    ）．

A. ，

B. 所有素数都是奇数

C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件

D. 命题，命题，则p是q的充分不必要条件

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据存在量词命题的真假的判断方法判断A，根据素数的定义判断B，结合充分条件和必要条件的定义判断C，D.

【详解】当时，，所以A正确;

因为为素数，但是偶数，所以B错误;

当，时，为空集，但A与B都不是空集，所以“为空集”不是“A与B至少一个为空集”的充分条件，C错误;

因为不等式等价于，p不是q的充分条件，D错误.

故选：BCD.

11. 下列对应中是函数的是（    ）．

A. ，其中，，

B. ，其中，，

C. ，其中y为不大于x的最大整数，，

D. ，其中，，

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.

【详解】对于A，对集合中的每个元素x，按照，在中都有唯一元素y与之对应，A是；

对于B，在区间内存在元素x，按照，在R中有两个y值与这对应，如，与之对应的，B不是；

对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；

对于D，当时，按照，在中不存在元素与之对应，D不是.

故选：AC

12. 对于定义在D函数若满足：

①对任意的，；

②对任意的，存在，使得．

则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据已知“等均值函数”的定义，逐项分析验证所给函数是否满足所给的两个条件，即可判断答案.

【详解】对于定义域为R，满足，满足，

对任意的，存在，使得,故A正确；

对于，

若，则，则 ，

若，则，则 ，即满足①；

对任意的，存在，使得，

对任意的，存在，使得，

即满足②，故B正确；

对于，定义域为，

对任意的，都有成立，满足①；

对任意的，存在，

使得，即满足②，故C正确；

对于，定义域为，

当时，，故对任意的，不成立，故D错误，

故选：ABC

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13. 如果不等式的解集，则a的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】由于不等式是含参不等式，对a进行分类讨论来解即可.

【详解】不等式的解集，皆不满足题意，．

故答案为：.

14. 已知全集U=R集合，，则______．

【答案】或

【解析】

【分析】根据集合A可求得集合B，根据补集的运算即可求得答案.

【详解】由集合可知,所以，

故，所以或,

故答案为：或

15. 已知正实数满足，则的最小值为___________.

【答案】8

【解析】

【分析】根据结合基本不等式即可得解.

【详解】解：因为，

所以

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为8.

故答案为：8.

16. 设表示不大于的最大整数，则下列说法不正确的是______．

①            ②

③        ④的解集是

【答案】①③④

【解析】

【分析】对于①，取代入判断即可；对于②，设，，再分和两种情况讨论判断；对于③，设，，，，再分和两种情况讨论判断；对于④，当时代入判断即可.

【详解】解：对于①，取，则，，显然，故选项①不正确；

对于②，设，，则，，

，

当时，，，，，，

所以，，所以，

当时，，，，，，

所以，，

所以，

综上所述恒成立，故选项②正确；

对于③，设，，，，

所以，，

当时， ，此时，

当时，，此时，

综上所述，故选项③错误；

对于④，当时，，此时不成立，故选项④不正确；

综上，说法不正确的是①③④

故答案为：①③④

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合 ，集合．

（1）求，；

（2）求的所有子集，并求出它的非空真子集的个数．

【答案】（1）；   

（2）子集为，，，，非空真子集有2个

【解析】

【分析】（1）确定集合A的元素，根据集合的交集和并集运算求得答案;

（2）根据的元素，即可写出其子集，进而确定真子集的个数.

【小问1详解】

由题意得，，

所以，；

【小问2详解】

因为，所以其子集有：，，，，

非空真子集有2个.

18. 已知函数（其中）．

（1）当时，解关于x的不等式；

（2）若解集为，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（2）对进行分类讨论，结合开口方向以及判别式求得的取值范围.

【小问1详解】

当时，由得，

，解得，

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

依题意恒成立，

即恒成立，

当时，不恒成立，不符合题意.

当时，不恒成立，不符合题意.

当时，要使恒成立，

则需，

，解得.

所以的取值范围是.

19. 已知函数，．

（1）用单调性定义证明在上单调递减，并求出其最大值与最小值；

（2）若在上的最大值为m，且，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析，，   

（2）3

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义证明，再结合单调性求最值即可；

（2）根据（1）得，进而利用基本不等式整体代换的用法求解即可．

【小问1详解】

解：设，是区间上的任意两个实数，且，

则       

因为，且，所以，，

所以，即，

所以函数在上单调递减，   

所以，．

【小问2详解】

解：由（1）知在上的最大值为，

所以，

所以，

因为，，所以，，

所以，   

当且仅当，且，即，时等号成立，

所以的最小值为3.

20. 某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元．（注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用）

（1）将y表示为x的函数；

（2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？

【答案】（1），   

（2）月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元

【解析】

【分析】（1）由时，，代入求得，由利润=销售收入－生产投入－促销费用，列出函数关系，即可得出结果；

（2）由（1）知，利用基本不等式即可求得最大利润.

【小问1详解】

由题意知当时，，代入

则，解得，．       

利润，   

又因为，

所以，．

【小问2详解】

由（1）知，   

因为时，，

因为，当且仅当时等号成立

所以，   

故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元

21. 已知是定义在R上的函数，且，时，．

（1）求函数的解析式；

（2）设，且在R上单调递减，求m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由函数的奇偶性求解析式；

（2）根据单调性建立不等式可求解.

【小问1详解】

由题意，任取，则，故有，

因为是定义在R上的函数，且，

即函数是定义在R上的奇函数，   

∴时，，

又时，，即，

所以．

【小问2详解】

当时，，在单调递减

又当时，，且在R上单调递减，   

所以，   

解得，

即m的取值范围为．

22. 定义函数与在区间I上是同步的：对，都有不等式恒成立．

（1）函数与在区间上同步，求实数b的取值范围；

（2）设，函数与在以a，b为端点的开区间上同步，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数新定义结合，时，可得，即得答案；

（2）根据函数新定义可知恒成立，分类讨论的大小，结合二次函数性质求得a的范围，即可求得范围.

【小问1详解】

由题意函数与在区间上同步，

而，时,，

由，得，   

所以恒成立，即，故．

【小问2详解】

①当时，∵和在上是同步的，

∴，在上恒成立，

即，恒成立，

∵，∴，，

∴，，∴，

∴ ； 

②当时，

∵和在上是同步的，

∴在上恒成立，

即，恒成立，

∵，∴，，

∴，，∴，

∴，∴．

③当时，∵和在上是同步的，

∴在上恒成立，

即，恒成立，

∵，而时，，不符合题意．       

④当时，由题意，恒成立，

∴，，∴，∴，∴，

综上可知最大值为.