2022-2023学年福建省福州第四中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州第四中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．把集合用列举法表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先解方程，再用列举法表示.

【详解】或

所以=

故选：D

【点睛】本题考查列举法，考查基本求解能力，属基础题.

2．命题“，使”的否定形式为（    ）

A．，使 B．，使

C．，使 D．，使

【答案】D

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以：，使的否定是：，使．

故选：D．

3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A．必要条件 B．充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】直接根据必要性和充分性的定义判断得到答案

【详解】解：“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；

“返回家乡”一定是在“攻破楼兰”的前提下，

所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

故选：．

4．若，则不等式的解集是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】分析：先根据a的范围确定a与 的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集．

详解：∵0＜a＜1，

∴a＜，

而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外

∴的解集为{x|}

故选C．

点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．

（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．

5．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.

【详解】因为，所以，

所以，所以

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零）.

6．不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．

【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.

则有，变形可得，

故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.

对照四个选项，只有C符合.

故选：C．

7．若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ）

A．＜＜ B．＜＜

C．＜＜ D．＜＜

【答案】B

【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.

【详解】∵a，b∈R+，且a≠b，

∴a+b＞2，∴＜，

而＝＞0，

∴＜，

故选：B

8．关于的不等式的解集为，且，则实数为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】法一：根据根与系数的关系，得到关于的方程，求出的值，检验后舍去不合要求的解，即可求出结果；

法二：因式分解，根据的符号讨论求出，结合，能求出结果．

【详解】法一：因为的解集为，

为方程的两个根，

，，

又∵，

∴，

，

，

，

．

当时，，，由，得，，成立；

当时，，，由，得，，不成立，

综上．

解法二：的解集为，

当时，，，

此时，，

，

∴或（舍；

当时，无解．

当时，，，

此时，，无解，

综上，．

故选：B．

二、多选题

9．使不等式成立的一个充分而不必要条件是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】BC

【解析】解出不等式的解集，利用集合关系可选出其充分不必要条件.

【详解】解不等式，得或，

对于A，不能推出或，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；

对于B，可以推出或，反之不能，是其充分不要条件；

对于C，可以推出或，反之不能，是其充分不必要条件；

对于D，或，是其充要条件

故选：BC.

【点睛】此题考查判断充分不必要条件，关键在于准确求解不等式，根据集合的包含关系判定充分不必要条件.

10．下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小值为2

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】BD

【分析】由已知结合基本不等式及应用条件分别检验个选项即可判断，对C选项使用不等式性质判断.

【详解】令，则，

在，上单调递增，故，A错误；

当时，，当且仅当时取等号，B正确；

当，时，C显然不成立；

若，，则，，

则，当且仅当时取等号，D正确．

故选：BD．

11．下列命题正确的是（    ）

A．已知，都是正数，且，则

B．若，，，则“”的充要条件是“”

C．命题“使得”的否定是真命题

D．“且”是“”的充要条件

【答案】AC

【分析】利用不等式的性质判断A；利用不等式的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义判断BD；利用否命题判断C．

【详解】对于A，，都是正数，且，，，故A选项正确；

对于B，由得，但若，则推不出，如当时，，“”的充分不必要条件是“”，故B错误；

对于C，命题“使得”是假命题，该命题的否定是真命题，故C正确；

对于D，由且可得，但若推不出且，例如，，且是的充分不必要条件，故D错误．

故选：AC．

12．若正数，满足，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由题意可得，展开后结合基本不等式即可求解

【详解】解：正数，满足，

，

，

当且仅当即时取等号，

的最小值为，

又，的可能取值为，，

故选：AD

三、填空题

13．设全集，，若，则________．

【答案】2

【分析】由可知为中元素，从而可得关于的方程，解方程得结果.

【详解】由可知：        

当时，，满足题意

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用补集运算的结果求解参数的问题，关键是明确补集运算的定义，属于基础题.

14．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度跑步速度均相同，则先到教室的是 __．

【答案】乙．

【详解】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室,故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作商法比较大小．

【解答】设从寝室到教室的路程为，甲、乙两人的步行速度为，跑步的速度为，

且，

甲所用的时间，

乙所用的时间满足，解得，

所以，

因为，

所以，即乙先到.

故答案为：乙先到教室.

15．已知集合U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若满足，则实数a的取值范围为__.

【答案】a≤﹣1

【解析】求出∁UA，再利用集合的包含关系即可求解.

【详解】因为A＝{x|﹣1≤x≤1}，所以∁UA＝{x|x＞1或x＜﹣1}，

B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}

若B⊆∁UA，则a≤﹣1.

故答案为：a≤﹣1.

16．如果命题，为真命题，则实数m的取值范围是________.

【答案】

【分析】先由基本不等式求得，再解即可

【详解】由题意，，当且仅当时取等号，所以，解得.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，，

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）直接根据交集、并集、补集的概念即可得结果；

（2）分为，和三种情形，求出，结合集合的包含关系可得结果.

【详解】（1）∵，；

∴，或，.

（2）当时，，满足题意；

当时，，

由，得；

当时，，不合题意，

综上可得：实数的取值范围.

【点睛】本题主要考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义，属于基础题.

18．（1）已知，求的取值范围；

（2）比较两个代数式与的大小．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，得，又，从而求得结果；（2）分别根据作差法比较大小即可．

【详解】解：（1），则，得

又

故；

（2），

.

19．设，，，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】化简利用即可证明．

【详解】证明：，，，

．

当且仅当时取等号．

【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

20．已知:,:,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】计算得到，或，，根据条件得到是的真子集，计算得到答案.

【详解】令或

由已知是的充分不必要条件得,是的真子集,

所以或解得或,所以,

即所求的取值范围是.

【点睛】本题考查解不等式，根据充分不必要条件求参数，意在考查学生的综合应用能力.

21．已知不等式的解集为或．

(1)求的值;

(2)解不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析.

【分析】(1)不等式的解集即是一元二次方程的根,用韦达定理可求出的值.

(2)由(1)知代入不等式中,根据的情况进行分类讨论求出不等式的解集.

【详解】(1)解:由题意可知,为方程的两个根,

所以,由韦达定理可得,

,即,

故;

(2)由(1)可知,,则不等式为

当时,,不等式的解集为;

时,,

当时,不等式的解集为或;

当时,,不等式的解集为;

当时,原不等式为,故无解;

当时,,不等式的解集为．

综上: 时,解集为或;

时,解集为;

时,解集为;

时,解集为空集;

时,解集为.

22．某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中.

（1）试用表示；

（2）若要使最大，则的值分别为多少？

【答案】（1）,其中，；（2）.

【详解】分析：（1）由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得，结合图形还易得，及，由此我们易将池塘所占面积表示为变量，的函数；（2）要求S的最大值，根据，直接使用基本不等式.

详解：（1）由题意得，，，则，

，

其中，.

（2）由（1）可知，，，，

，

当且仅当时等号成立，

所以，

此时，解得.

点睛：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一.