2022-2023学年福建省莆田第一中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年福建省莆田第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】用交集定义求得交集中的元素，然后可得子集个数．

【详解】由已知，共2个元素，因此其子集有4个．

故选：C．

2．已知点在第三象限，则角的终边位置在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.

【详解】因为点在第三象限，

所以，

由，可得角的终边在第二、四象限，

由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，

所以角终边位置在第二象限，

故选：B.

3．设，，，则的大小关系为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由指数函数，对数函数单调性分析和与1和0 的关系，由正切函数性质分析与1和0 的关系，即可得出答案.

【详解】，即，

，且，即，

由正切函数性质可知，即，

故，

故选：A.

4．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（    ）

A．2 B．10 C．100 D．10000

【答案】C

【分析】根据对数运算结合题意运算求解.

【详解】设乙市地震所散发出来的能量为，甲市地震所散发出来的能量为，

则，，两式作差得，

故，则.

故选：C.

5．奇函数满足，当时，，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由，可得到函数的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将转化为，代入函数解析式求解即可.

【详解】解：已知奇函数满足，

是以4为周期的奇函数，

又当时，，

，

故选：A.

6．函数的部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.

【详解】因为,.

所以为奇函数,故选项错;,故选项错;

故选:.

7．已知，，则的值为（    ）

A． B．16 C．2 D．

【答案】D

【分析】利用及和角正切公式可得，由二倍角正弦公式可得，最后由指数幂运算即可得结果.

【详解】由，而，

所以，又，

所以.

故选：D

8．若方程x2 +2x+m2 +3m = mcos(x+1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m的值为（    ）

A．2 B．-2 C．4 D．-4

【答案】A

【分析】令，由对称轴为，可得，解出，并验证即可.

【详解】依题意，有且仅有1个实数根.

令，对称轴为.

所以，解得或.

当时，，易知是连续函数，又，，

所以在上也必有零点，此时不止有一个零点，故不合题意；

当时，，此时只有一个零点，故符合题意.

综上，.

故选：A

【点睛】关键点点睛：构造函数，求出的对称轴，利用对称的性质得出.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据对数函数、不等式的性质等知识确定正确答案.

【详解】A选项，若，但没有意义，所以A选项错误.

B选项，由于，所以B选项正确.

C选项，若，则，

但，所以C选项错误.

D选项，由于，则，所以，D选项正确.

故选：BD

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．“”的否定为“”

B．若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件

C．函数与函数是同一个函数

D．若方程在区间上有实数解，则实数的取值范围为

【答案】BD

【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、相同函数、一元二次方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，“”的否定为“”，

所以A选项错误.

B选项，函数的定义域为，

当时，如是偶函数.

当为奇函数，则，

所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确.

C选项，函数的值域为；函数的值域是，

所以不是同一函数，C选项错误.

D选项，，

由于方程在区间上有实数解，

所以，D选项正确.

故选：BD

11．已知函数 的图象关于直线对称，则（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】AC

【解析】利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.

【详解】因为的图象关于直线对称，

所以 ，

得，，因为 ，所以，

所以，

对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；

对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；

对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；

对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到

，故选项D不正确；

故选：AC

【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题

12．高斯是世界最具盛名的数学家之一，一生成就极为丰硕，以他们名字“高斯”命名的成果有110个之多，属数学家之最，其中有“高斯函数”的定义为：设xR，用[x]表示不超过x的最大整数，则y = [x]称为高斯函数，例如[ -2.9] = -3，[2.6] = 2.已知函数f (x) = sin|x| + |sinx|，函数g(x) = [ f (x)]，则（    ）

A．g(x)的值域是{0，1，2} B．g(x)是周期函数

C．g(x)的是偶函数 D．h(x) = ·g(x) - 2x只有一个零点

【答案】ACD

【分析】根据题意，结合正弦函数的图象变换性质分析函数的图象，据此依次分析选项是否正确，综合可得答案．

【详解】解：根据题意，，其定义域为，有，则函数为偶函数，

对于，当时，，

当时，，

又由为偶函数，而，则、的图象如图，

据此依次分析选项：

对于A，易得的值域为，，则的值域为，1，，A正确；

对于B，不是周期函数，为周期函数，则不是周期函数，函数也不是周期函数，B错误；

对于C，为偶函数，则，函数为偶函数，C正确；

对于D，函数的零点个数就是函数与函数的交点的个数，

设，当时，，当时，，则与只有的1个交点，即只有一个零点，D正确，

故选：ACD．

三、填空题

13．函数的零点 ，则的值为       .

【答案】4

【分析】先说明函数为单调增函数，再利用零点存在定理可求得答案.

【详解】函数都是单调递增函数，

故是单调递增函数，

又，，

故的零点在 ，

故 ，

故答案为：4

14．已知函数的图象如图所示. 则函数的解析式为         .

【答案】

【分析】根据最值可求，根据周期可求，代入特殊值可求.

【详解】由图可知，，

，

，

，

，又，

.

，

当时，，

解得.

故答案为：.

15．函数的单调递减区间为        ．

【答案】

【分析】由对数复合函数的单调性确定单调区间即可.

【详解】由解析式，则，即定义域为，

又，

而在上递增，在上递减；在定义域上递增；

所以在上递增，上递减.

故答案为：

16．已知函数，若对任意实数x满足不等式，则实数a的取值范围是           ．

【答案】

【分析】根据的表达式可判断在定义域上单调递增，且，故可将不等式转化为，结合单调性得，即可进行求解.

【详解】由得，

又当时，函数均为单调递增函数，因此在单调递增，且

当时，由于，时，故当时，，且，而函数在均为单调递减函数，因此在均为单调递增函数，又在定义域连续，

故在定义域上单调递增，且，

由得，由单调性得，故对任意实数x满足，因此

故答案为：

四、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2)已知，求的值．

【答案】(1)8

(2)

【分析】(1)根据指数幂和对数的运算性质即可求解；

(2)分别利用诱导公式和同角三角函数的关系将所求式子化简为，然后将代入即可求解.

【详解】（1）原式

．

（2）因为

，又因为，

所以.

18．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且，若点的横坐标为．

(1)求点的坐标；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题设及图确定的坐标，利用三角函数定义求，根据夹角大小及诱导公式求，，即得的坐标；

（2）应用倍角正余弦、和角正弦公式求即可.

【详解】（1）的横坐标为，且在第一象限，则，即，

，，

故点坐标.

（2）由（1）得，

．

19．已知a，b为正实数，函数

(1)若，求的最小值；

(2)若，求不等式的解集（用a表示）．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由得，根据条件构造基本不等式求最值即可；

（2）由得到，即代入不等式中分类讨论解不等式即可；

【详解】（1）因为，所以，

由于a，，

所以

，

当且仅当取“＝”．

（2）由题，所以，

所以

所以

①当时，原不等式的解集为，

②当时，原不等式的解集为，

③当时，原不等式的解集为．

20．已知函数．

(1)求的最小正周期和最大值；

(2)设，求函数在单调递减区间．

【答案】(1)最小正周期为，最大值为2

(2)单调减区间为

【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式将函数化简，即可得到结果；

（2）根据题意，得到函数的解析式，然后由正弦型函数的单调区间，即可得到结果.

【详解】（1）．          

所以，的最小正周期．               

当时，取得最大值2．

（2）由（1）知，

又，           

由，解得．            

单调减区间为．

21．冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元

【分析】(1)根据题意，分段写出年利润的表达式即可；

（2）根据年利润的解析式，分段求出两种情况下的最大利润值，比较大小，可得答案.

【详解】（1）当时，；

当时，.

所以；

（2）当时，.

当时，取得最大值，且最大值为950.

当时，

当且仅当时，等号成立.

因为，

所以当该企业年产量为50千件时，所获得利润最大，最大利润是950万元.

22．已知函数（为自然底数）.

(1)判断的单调性和奇偶性；（不必证明）

(2)解不等式；

(3)若对任意，，不等式都成立，求正数的取值范围.

【答案】(1)在R上单调递增，奇函数

(2)

(3)

【分析】（1）利用函数奇偶性、单调性定义判断的单调性和奇偶性；

（2）由（1）中所得单调性可得，利用一元二次不等式、指数不等式的解法即可求解集.

（3）由题设及单调性、奇偶性可得，根据、以及基本不等式，将问题转化为，应用换元法及对勾函数的性质求左侧最小值，进而求得正数的范围.

【详解】（1）由函数定义域为R，

令，则，

由，则，故在R上单调递增.

又，故为奇函数.

（2）由题设，，又单调递增，

所以，整理得，解得，

所以，故不等式解集为.

（3）由题设及单调性知：，

整理得，

又且、，则恒成立，

又，当且仅当时等号成立，则，

由上，只需，

由，令，则，

所以，

令，则，又在上递增，

综上，，即，

所以，解得.

【点睛】关键点点睛：第三问，依据的单调性和奇偶性及基本不等式，将问题转化为，应用换元法、对勾函数的性质求左侧最小值即可求参数范围.