2022-2023学年福建省厦门第二中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门第二中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.

【详解】由函数解析式有意义可得

且，

所以函数的定义域是且，

故选：D.

2．“”是“”的(  )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：若成立，则一定成立；反之若成立，则不一定成立；因此“”是“”的充分而不必要条件；

【解析】充分必要条件;

3．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用不等式的性质和作差法判断即可.

【详解】A选项：，则，所以，故A错；

B选项：，因为，，所以，，所以，故B错；

C选项：，同乘得，故C正确；

D选项：若，则，故D错.

4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得答案．

【详解】解：函数不是奇函数，不满足题意；

函数是偶函数，不满足题意；

函数是奇函数且是增函数，满足题意；

函数定义域为是奇函数，在和上单调递增，在和上单调递减，故不满足题意；

故选：C．

5．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，求出，从而可求的值.

【详解】因为，令，则，所以，

所以，所以.

故选：C.

6．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围.

【详解】的图像的对称轴为，

因为函数在区间上时单调函数，

所以或，

得或，

即的取值范围是，

故选：D

7．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，

且，

由可得，

所以，，可得或，解得或.

因此，不等式的解集为.

故选：D.

8．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买8克黄金，售货员先将4克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将4克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（    ）

A．等于8克 B．大于8克 C．小于8克 D．不能确定

【答案】C

【分析】设天平的左右臂长分别为，第一次加黄金克，第二次加黄金克，则根据物理知识可得，，根据基本不等式可得克.

【详解】设天平的左右臂长分别为，第一次加黄金克，第二次加黄金克，

则根据物理知识可得，且，即，

所以，当且仅当时等号成立，

因为，所以等号不成立，所以克.

故选：C

二、多选题

9．若集合，集合，则正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据集合，集合，可判断，由此判断A,B;根据集合的运算，可判断C,D.

【详解】由于集合，集合，则 ,

,,A正确；

由于,故，B正确；

，C错误；

，D错误，

故选：AB.

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”

B．是命题成立的一个充分不必要条件

C．“”是“”的必要而不充分条件；

D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”

【答案】BD

【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，本题中还要注意的取值范围；

由根的判别式大于0求出或，得到B正确；

C选项，举出反例得到“”是“”的既不充分也不必要条件，C错误；

D选项，求出不等式对任意恒成立时的取值范围，得到D正确.

【详解】命题“”的否定是“或”，故A错误；

B选项，，即，解得：或，

所以是成立的一个充分不必要条件，B正确；

C选项，若，满足，但不满足，充分性不成立，

若，满足，但不满足，必要性不成立，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，C错误；

D选项，当时，满足要求，

当时，需要满足，解得：，

综上：不等式对任意恒成立的充要条件是，D正确.

故选：BD

11．下列命题正确的是（    ）

A．与不是同一个函数

B．的值域为

C．函数的值域为

D．若函数的定义域为，则函数的定义域为

【答案】AD

【分析】根据函数的定义可判断A;结合二次函数知识求得的值域，判断B;求出函数的值域判断C;根据抽象函数的定义域求法求得的定义域，判断D.

【详解】对于A, ，的定义域为R，与对应法则不相同，

故与不是同一个函数，A正确

对于B, ，由，可得，

又，当时，取到最大值4，

故的值域为，故B错误；

对于C, 函数,定义域为,且单调递增，此时，

故函数的值域为，C错误；

对于D，函数的定义域为，即，则，

即函数的定义域为，D正确，

故选:

12．对，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是（    ）

A．，

B．，的图像关于原点对称

C．函数，y的取值范围为

D．，恒成立

【答案】ACD

【解析】根据定义得到，再结合不等式的性质，依次判断选项即可.

【详解】对选项A，有定义知：，所以，，

故A正确.

对选项B，当时，，

当时，，，

所以，不是奇函数，故B错误；

对选项C，因为，所以，

所以的值域为.故C正确.

对选项D，，，，所以，

则，故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.

三、填空题

13．函数的减区间是___________．

【答案】和．

【分析】由幂函数性质作答．

【详解】定义域是，

的减区间是和．

故答案为：和．

14．已知函数，若，则_______.

【答案】

【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得.

【详解】解：因为，且，

所以或，

解得或无解；

故答案为：

15．已知，的最小值为____________.

【答案】

【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由，则，

当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，其中，则____，的最小值为_____．

【答案】     4     ，

【分析】先得到，再求解.

【详解】因为函数，

所以，

作出函数的图象，如图所示：

由图象知，当时，的最小值为，

故答案为： 4，

五、解答题

17．已知，，，．

(1)求.

(2)如果，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式可得集合，直接根据集合间的运算法则可得解；

（2）根据交集结果可得参数范围.

【详解】(1)解不等式可得，

又，则或，

所以；

(2)由（1）得，，

又，所以.

18．已知函数

（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增（2）

【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图像的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；

（2）根据增减性判断，应满足，化简求值即可

【详解】（1），该函数由向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：

由图可知，函数在单增，现证明如下：

设，则，，，，，在上单调递增

（2）若，由在上单调递增，得，即，则实数的取值范围为

【点睛】本题考查函数增减性的判断与证明，根据单调性解不等式，属于基础题

19．已知关于的不等式的解集为，或.

(1)求的值；

(2)当，且时，有恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集可得1和是方程的两个实数，利用韦达定理可列出方程组，解得答案；

（2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立即可得，求得答案.

【详解】(1)因为不等式的解集为或，

所以1和是方程的两个实数根且，

所以 ，解得 ，故.

(2)由（1）知，于是有，

故，

（当时等号成立）

依题意有，即，

解得，所以的取值范围为.

20．己知为R上的奇函数，当时，．

(1)求的值；

(2)求的解析式；

(3)作出的图象，并求当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，实数m的取值范围．

【答案】(1)0；

(2)；

(3)图象见解析，.

【解析】（1）

是R上的奇函数，

，

；

(2)当时，，

故当时，，

，

；

(3)作出函数的图象如图示：

在时，在时取得最小值1，

在时，在时取得最大值，

故当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，

实数m的取值范围为.

21．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．

(1)当时，求函数在区间上的值域；

(2)若______，，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，

（2）若选条件①，求出抛物线的对称轴，分，和三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范围，若选条件②，则，由抛物线的性质可得或，从而可求出a的取值范围.

【详解】(1)当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，，

∴函数在区间上的值域为．

(2)方案一：选条件①．

由题意，得．

若，即，则函数在区间上单调递增，

∴，解得，

又，∴a＝4．

若，即，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴，

解得，∴．

若，即，则函数在区间上单调递减，

∴，

解得，又，∴a＝－4．

综上所述，实数a的取值范围为．

方案二：选条件②．

∵，，

∴，

∵函数的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．

∴或，解得或，

∴．

故实数a的取值范围为．

22．“绿水青山就是金山银山” ．某企业决定开发生产一款大型净水设备，生产这款设备的年固定成本为600万元，每生产台需要另投入成本万元．当年产量x不足100台时，；当年产量x不少于100台时，．若每台设备的售价为100万元时，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．

(1)求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；

(2)当年产量x为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是多少万元？

【答案】(1)

(2)年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元

【分析】（1）根据利润=销售额−成本，通过分类讨论，即可求出年利润关于年产量的函数关系式；

（2）通过求分段函数的最大值即可得出答案.

【详解】(1)由条件可得年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式：

化简得：

(2)当时，, ，

当时，取最大值（万元）

当时，, ，

（万元）

当时，即台时，取最大值2798万元

综上：年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元．