2021-2022学年浙江省湖州市安吉县高级中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省湖州市安吉县高级中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先化简集合的元素再求.

【详解】由，所以

故选：C

【点睛】易错点点晴：要注意集合中的条件.

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.

【详解】由，解得x≥且x≠2．

∴函数的定义域为．

故选：.

【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.

3．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

4．幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．2

【答案】A

【解析】根据幂函数单调性，先求出范围，再由其奇偶性，即可求出的值.

【详解】因为幂函数在上是减函数，

所以，解得，

又，所以或，

当时，定义域为，且，所以是偶函数，满足题意；

当时，定义域为，而，所以是奇函数，不满足题意，舍去；

综上，.

故选：A

5．关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立的一个充分不必要条件是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立，m=0时，可得：-1＜0．m≠0时，可得：，解得m范围．

【详解】解：关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立，

m=0时，可得：-1＜0．

m≠0时，可得：，解得-1＜m＜0．

综上可得：-1＜m≤0．

∴关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立的一个充分不必要条件是．

故选：A．

【点睛】本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设直角三角形的短的直角边长为，则较长的直角边长为，得到，

求得，即可求解.

【详解】根据已知条件四个直角三角形全等，所以设直角三角形的短的直角边长为，

则较长的直角边长为，

又由大正方形的面积为，所以边长为，即直角三角形的斜边为，

根据勾股定理，可得，

整理得，解得或(负值舍去)，所以.

故选：C

7．形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数 (且)有最小值,则当时的“囧函数”与函数的图象交点个数为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】当时，，而有最小值，故.令，，其图像如图所示：

共4个不同的交点，选C.

点睛：考虑函数图像的交点的个数，关键在于函数图像的正确刻画，注意利用函数的奇偶性来简化图像的刻画过程.

8．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】由题知，，，则可得，则，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.

【详解】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，

则有，，，所以，且是两个不同的正数，

则有

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值是.

故选：C

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.

二、多选题

9．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的有（    ）

A． B．在上单调递增

C．的解集是 D．的最大值是

【答案】AD

【分析】利用偶函数和单调性，最值，不等式解集的关系，结合时函数的解析式，即可判断选项.

【详解】A.，因为函数是偶函数，所以，故A正确；

B.当时，函数的对称轴是，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，又因为函数是偶函数，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，故B错误；

C.当时，的解集是，又因为函数是偶函数，所以的解集是，故C错误；

D. 当时，函数，所以函数的最大值是.故D正确.

故选：AD

10．下列说法正确的是（    ）

A．“，”的否定是“，”

B．函数的最小值为6

C．函数的单调增区间为

D．的充要条件是

【答案】ACD

【解析】根据含全称量词、存在量词的命题的否定形式可判断A选项是否正确；

根据基本不等式及等号成立的条件可判断B选项是否正确；

利用复合函数单调性“同增异减”可判断C选项的正误；

构造函数利用单调性判断D选项是否正确．

【详解】对于A选项，由特称命题的否定形式可知，A选项正确；

对于B选项，若利用基本不等式有，等号不能成立，故B选项错误；

对于C选项，因为函数为递减函数，若递增时，只需使函数递减，且，解得，故C正确；

对于D选项，设函数，则函数上递增，在上也递增，故为上的单调增函数，所以时；当时，有. 故的充要条件是，D选项正确．

故选：ACD.

11．函数，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．，都有

C．函数的值域为

D．不等式的解集为

【答案】ACD

【分析】计算可判断A，取特殊值可判断B，化简函数解析式由不等式性质求值域判断C，解不等式可判断D.

【详解】定义域为， ，即成立，故A正确；

因为，，而，故B错误；

因为，且，所以，，

则，即函数的值域为，故C正确；

由，即，化简可得，即，解可得，即不等式解集为，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数，，，满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】先作函数和的图象，在数轴上标出实数，，，，利用特殊值验证A错误，再结合对数性质和二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.

【详解】函数，

时，，是开口向上、顶点为的抛物线的部分图象，如图；

时，，是由对数函数的图象先向左平移1个单位得到，再保留x轴及x轴上方部分，将x轴下方部分关于x轴对称到上方而得到，如图.

关于的方程有四个不同的实数，，，满足，如图作直线图象，即得到，，，.

当时，，即，解得，此时，故A错误；

当时，，即，

故，即，所以，

故，即，所以，故B正确；

结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故C正确，D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.

三、填空题

13．函数的最小正周期，则__________.

【答案】±2

【分析】根据正弦型函数的周期公式求解.

【详解】因为，

所以，解得，

故答案为：.

14．若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】转化为“，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.

【详解】若，使成立是假命题，

则“，使得成立”是真命题，

即，恒成立，

因为时等号成立，

所以，

所以，

故答案为：.

15．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.

【详解】第一次操作后，利下的纯药液为，

第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：

，

因为，所以，

故答案为：

16．已知函数存在最小值，且对于的所有可能的取值都满足，则的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】令，根据函数存在最小值，得到，，即，然后将，转化为在时恒成立求解.

【详解】令，则.

因为函数存在最小值，

所以，，即.

又，

则在时恒成立，

即，在时恒成立，

令，

则，

所以.

故答案为：

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

四、解答题

17．求值

(1)

(2)设，求的值．

【答案】(1)0；

(2)1.

【分析】（1）根据对数的运算法则、性质及换底公式化简求值即可；

（2）取对数后，利用换底公式及对数运算法则化简求值.

【详解】（1）原式．

（2）依题意有，

，

.

18．如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先中求，再根据利用诱导公式计算；

（2）先利用诱导公式化简，进行弦化切转化，再代入正切值计算即可.

【详解】解：（1）依题意，中，，则，

，而由图可知，，

故；

（2）因为，，，，

故.

【点睛】本题解题关键在于熟记诱导公式并准确计算，才能结合齐次式化简计算突破难点.

19．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.

（1）当时，求的解析式；

（2）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）先由奇函数的性质得，可求出，再根据即可求出；

（2）方程等价于，根据函数的单调性求出的取值范围即可.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，且当时，，

，解得，

当时，.

则当时，，

，

，.

（2）由（1）知，当时，，

可化为，

整理得.

令，根据指数函数的单调性可得，在是增函数.

，又关于x的方程在上有解，

故实数m的取值范围是.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

20．已知函数（其中a为常数）.

（1）求的单调减区间；

（2）若时，的最小值为2，求a的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）采用整体替换的方法令，由此求解出的取值范围即为对应的单调递减区间；

（2）先分析这个整体的范围，然后根据正弦函数的单调性求解出的最小值，即可确定出的最小值，从而的值可求.

【详解】（1）令，所以，

所以的单调递减区间为：；

（2）因为，所以，令，

又因为在上递增，在上递减，且，

所以的最小值为，所以，此时，

所以，所以.

【点睛】思路点睛：求解形如的函数的单调递减区间的步骤如下：

（1）先令；

（2）解上述不等式求解出的取值范围即为对应的单调递减区间.

21．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．

（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．

【答案】（1）＜（2）最大值为9

【解析】（1）由题意写出不等关系，解不等式即可得解；

（2）由题意写出不等关系，分离参数得，利用基本不等式求出的最小值即可得解.

【详解】（1）由题意

得，

由可得.

答：的取值范围为.

（2）由题意得，

所以在上恒成立，

又 ，（当且仅当时取“=”），

所以.

答：的最大值为9.

【点睛】本题考查了不等式应用题，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.

22．已知二次函数满足，.

（1）求的表达式；

（2）若存在，对任意，都有，求实数的取值范围；

（3）记，若对任意的，，，，以，，为边长总可以构成三角形求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用待定系数法即可求解.

（2）将不等式化为在上恒成立，只需，进而可得，利用基本不等式求出，只需即可求解.

（2），根据题意可得，讨论二次函数的对称轴，求出函数在区间上的最值，代入不等式即可求解.

【详解】（1）由题意可得，

，

即，所以.

（2）由题意存在，对任意，都有，

即在上恒成立，

，

解得

即，

又，当且仅当时，即时，取“”，

，解得，

所以实数的取值范围.

（3）

，

对称轴，

因为对任意的，，，，

以，，为边长总可以构成三角形，

则对任意的，，，恒成立，

即，

①当，即时，在区间上单调递减，

，即，

解得或，

.

②当时，即时，在区间上单调递减，

在区间上单调递增，，即无解.

③当，即，在区间上单调递减，

在区间上单调递增，，

即无解.

④当时，即时，在区间上单调递增，

 ，即，

解得或，

，

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查了求二次函数的解析式、一元二次不等式恒成立、能成立问题，解题的关键是不等式化为在上恒成立，以及，考查了分类讨论的思想.