2022-2023学年浙江省三校高一上学期10月联考数学试题含解析

2022-2023学年浙江省三校高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，那么集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合并集运算的定义求解即可.

【详解】已知，，

根据并集的运算定义可得：.

故选：C

2．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由全集和集合可求出，再由交集运算性质即可求解.

【详解】由题意得，，又则，

因为，所以，

故选：A.

3．命题“，”的否定形式是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；

【详解】解：命题“，”为全称量词命题，

其否定为：，；

故选：B

4．若，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．，若，则

C．若，则 D．，，若，则

【答案】C

【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，当时，，故D错误，

故选：C.

5．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．既不充分又不必要条件

C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

【答案】D

【分析】充分必要条件的题目中，“小范围”能推出“大范围”

【详解】因为，所以“”能推出“”，反之不行，

所以，“”是“”的必要不充分条件.

故答案为：D.

6．已知,,且,则的最小值是(    )

A．8 B．7 C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式求解

【详解】

当且仅当,即取等

所以的最小值是

故选：C

7．已知，；，，若一真一假，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】由一元二次不等式恒成立和一元二次方程无实根可分别解得为真时的取值范围，由一真一假可讨论得到结果.

【详解】若命题为真，则，解得：；

若命题为真，则，解得：；

若真假，则；若假真，则；

综上所述：若一真一假，则实数的取值范围为.

故选：A.

8．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ）

A．16 B．25 C．36 D．49

【答案】B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，

又，即，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

所以函数的最小值为25.

故选：B

二、多选题

9．已知集合，则下列属于集合A的元素有（    ）

A． B．2 C．4 D．6

【答案】BCD

【分析】根据集合中元素的要求求解即可.

【详解】解：由题意得：

的取值为，解得满足要求的为2，4，5，6，7，9，10，11，12，14，20

故选：BCD

10．设集合，，若，则实数a的值可以是（    ）

A．0 B． C． D．2

【答案】ABC

【分析】先得到，再根据，分，，讨论即可.

【详解】由题得，，则

当时，有，，故C正确；

当时，有，，故B正确；

当时，，故A正确；

故选：ABC.

11．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ）

A． B．

C．的解集为 D．的解集为或

【答案】AD

【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入求解即可.

【详解】不等式的解集为

根据一元二次不等式解法可知，且，

故由上可知A正确，B错误；

由，可知：将，代入

由可得：，解得：或

故的解集为或，C错误，D正确；

故选：AD

12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最小值为

C．若，则

D．若实数a，b满足，则的最小值为2

【答案】CD

【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，∵，∴，，

∴

（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；

对于C，∵，∴，，又，

（当且仅当，即时取等号），C正确；

对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．

故选：CD

三、填空题

13．已知集合，，且，则实数的值是________.

【答案】1

【解析】根据题意，得到，，进而可求出结果.

【详解】因为，，，

所以，则，解得，

又，所以，此时满足题意.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，属于基础题型.

14．已知实数a，b满足，，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】以为整体表示，结合不等式性质运算求解.

【详解】设，则，解得

即

∵，

∴

故答案为：.

15．用列货车将一批货物从市以的速度匀速行驶直达市．已知两市间铁路线长，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于，货车自身长度忽略不计，则这批货物全部运到市最快需要__________．

【答案】

【分析】设每列货车之间的距离为，由，结合基本不等式可求得所需时间的最小值.

【详解】设每列货车之间的距离为，则列货车的总长度为，

货物全部运到市所需时间（当且仅当，时取等号），

这批货物全部运到市最快需要.

故答案为：.

16．已知函数，，若对于任一实数x，与的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为__________．

【答案】

【分析】根据条件分，，三种情况进行讨论即可.

【详解】解：由题意得：

①当时，对于任一实数x，都有，而恒成立，故满足题意；

②当时，对于，有使得条件成立；

而当时，对于函数，当时，，故满足条件，且经检验时也满足条件；

当时，要满足，即当时，，解得：，即时，必有一个大于0，故也成立.

③当时，对于，有使得条件成立；

而当时，对于函数，当时，，故条件恒成立；

当时，当时，，解得：，即无解，不满足条件.

综上所述：实数m的取值范围为

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入参数，然后根据集合交集运算的定义求解即可.

（2）结合子集的定义列出参数满足的不等式组，解不等式组即得参数的取值范围.

【详解】(1)，，∴；

(2)由题意，得，解得．

18．已知关于x的方程，．

(1)若方程的一个根为3，求方程的另一个根；

(2)若方程有两个实根，，且，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)将方程的根代入方程求解，即可求方程的另一个根；（2）利用韦达定理求解.

【详解】(1)将代入方程，解得，

将代入方程，化简得解得另一个根；

(2)将变形，得，

由韦达定理得且，代入上式，解得，

即，解得，

经检验，符合，

∴．

19．已知a，b为正实数，且．

(1)求ab的最大值，并求出此时a，b的值；

(2)求的最大值，并求出此时a，b的值．

【答案】(1)最大值为，此时，

(2)最大值为，此时，

【分析】（1）直接套用基本不等式即可求出答案.

（2）对已知等式变形，先凑出，然后再用基本不等式即可.

【详解】(1)解：由不等式，解得，

当且仅当时取得等号，

∴ab的最大值为，此时，.

(2)解：由得，

由，解得，

当且仅当即，时取得等号，

∴的最大值为，此时，．

20．已知函数．

(1)若对,都有,求实数a的取值范围;

(2)若,使成立,求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）判别式小于零即可

（2）由题意知，再讨论对称轴位置确定最大值即可

【详解】(1)由题知,即

解得,所以实数的取值范围为.

(2)由题意知

二次函数开口向上,对称轴

当对称轴靠近,即,则

解得

反之,当,则

解得

综上,实数的取值范围为

21．如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）．

(1)当时，求草坪面积；

(2)当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．

【答案】(1)

(2)时，W最小，最小值为55000元

【分析】（1）根据十字形地域的面积确定每一小块花岗岩面积，从而确定，进而可求解草坪的面积;

（2）建立函数模型，利用基本不等式求最小值.

【详解】(1)由题意得，花岗岩地面面积为，

∴，则，

∴草坪面积；

(2)由题意得，，由得，

，

即，

则，

当且仅当即时取得等号，

∴时，W最小，最小值为55000元．

22．已知，，，函数．

(1)若，关于的不等式对任意恒成立，求，的值；

(2)若，，，关于的方程有两个不相等的实根，且均大于小于，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)10

【分析】（1）首先由题干条件，对于任意的，不等式恒成立，故取特值和得到不等式组，解不等式组即可求出参数，的值.

（2）首先根据二次函数根的分布的特征得出参数，满足的取值范围，通过取值范围即可得出的最小值.

【详解】(1)由，解得或，

则当或时，，即，

由，解得，

∴，；

(2)由题意得，∴，

由得，

若，∴，则，无解，

若，∴，则，无解，

若，∴，则，∴或，

显然时，更小，为10，

若，由，得，

∴的最小值为，当，时取得．