2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．不存在，

【答案】B

【分析】直接利用存在性命题的否定解答即可.

【详解】根据存在性命题的否定知，

命题的否定是.

故选：B

2．下列函数中，周期为的是（    ）

A．y＝sin B．y＝sin2x

C．y＝cos D．y＝cos(－4x)

【答案】D

【解析】根据周期公式求解即可.

【详解】根据公式

的周期为，故A错误；

的周期为，故B错误；

的周期为，故C错误；

的周期为，故D正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期，属于基础题.

3．若正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．2

【答案】D

【解析】应用对数运算得到，由目标式结合基本不等式有即可求其最小值.

【详解】∵，即，

∴，而，

∴当且仅当时等号成立.

∴的最小值为2.

故选：D

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

4．若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ）.

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【解析】直接利用扇形面积公式计算得到，再计算弧长得到答案.

【详解】，

故选：

【点睛】本题考查了扇形面积，弧长的计算，意在考查学生的计算能力.

5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少要经过（    ）小时才能驾驶.（参考数据：，）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】C

【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.

【详解】设经过个小时才能驾驶，则，

即

由于在定义域上单调递减，

∴

∴他至少经过5小时才能驾驶.

故选：C

6．若函数的图象和轴有交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将题意等价转化为函数的图象与的图象有交点，根据指数函数的性质可得，列出关于的不等式，解出即可.

【详解】函数的图象和轴有交点，即方程，

等价于函数的图象与的图象有交点，

时，，

即，解得，

即实数的取值范围是，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用问题，将问题转化为函数的图象与的图象有交点是解题的关键，属于基础题.

7．化简：=（    ）

A．-sinθ B．sinθ

C．cosθ D．-cosθ

【答案】A

【分析】利用三角函数的诱导公式求解.

【详解】原式=，

=，

=-sinθ.

故选：A

8．已知函数f (x)＝，若f (2a2－5a＋4)<f (a2＋a＋4) ，则实数a的取值范围是（    ）

A．∪(2,＋∞) B．[2,6)

C．∪[2,6) D．(0,6)

【答案】C

【解析】由解析式知在定义域上递增，由已知函数不等式有，即可求解a的取值范围.

【详解】由题意，在上单调递增，

∵，即，

∴或，可得或.

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.

二、多选题

9．下列四个命题：其中不正确命题的是（    ）

A．函数在上单调递增，在上单调递增，则在R上是增函数

B．若函数与x轴没有交点，则且

C．当时，则有成立

D．和不表示同一个函数

【答案】ABC

【分析】结合单调性的概念，二次函数的图象，不等式的性质和函数的定义判断各选项，错误选项可举反例说明．

【详解】A不正确，如满足题意，但在上不是增函数；

B不正确，若且，的图象与轴也没有交点；

C不正确，若满足，但；

D正确，，值域为，值域是，不是同一函数．

故选：ABC．

10．已知，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.

【详解】解：因为，为减函数，

所以，

因为，为增函数，

所以，

又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，

所以，同理可得，，

故选：ACD

【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.

11．对于函数下列说法中不正确的是

A．该函数的值域是

B．当且仅当时，函数取得最大值1

C．当且仅当时，函数取得最小值－1

D．当且仅当时，

【答案】ABC

【分析】画出函数的图像，根据图像判断出结论不正确的选项.

【详解】画出函数的图像如下图所示，由图像容易看出：该函数的值域是；当且仅当或，时，函数取得最大值1；当且仅当，时，函数取得最小值；当且仅当，时，，可知A,B,C不正确.

故选ABC.

【点睛】本小题主要考查利用三角函数图像研究三角函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

12．已知函数f(x)＝(x∈R)的值域为[m，＋∞)，则实数a与实数m的取值可能为（    ）

A．a＝0，m＝0 B．a＝1，m＝1

C．a＝3，m＝3 D．a＝，m＝

【答案】ABD

【分析】先推出函数的单调性，采用换元法，将化为，结合各选项判断其单调性，确定函数值域，即可判断出答案.

【详解】先说明函数时的单调性；

任取 且 ，

则

，

当 ，且，∴，，

∴，∴，

∴函数 在 上是单调递减的；

同理可证函数 在上是单调递增的；

由题意得函数，

设 ，则 ，

当时,在上单调递增，时，，故， ，A正确；

当时，在上单调递增，时，，故， ，B正确；

当时,在上单调递减，在上单调递增，

时，，即，

，C错误．

当时,在上单调递增，时，

故，，D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．的值是_________.

【答案】

【分析】直接进行对数和分数指数幂的运算即可.

【详解】原式，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查对数的运算性质，分数指数幂的运算，属于基础题.

14．已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.

【答案】－

【分析】由诱导公式直接可得.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

15．已知集合，且，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【分析】根据补集的概念，求出，再由，即可得出结果.

【详解】因为，所以或，

又，，

所以只需，

即实数的取值范围为.

故答案为：

16．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.

【答案】

【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．

【详解】若函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，

则，或

当时，解得＜a＜1，当时，不等式无解.

综上实数的取值范围是（，1）

故答案为（，1）．

【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．

四、解答题

17．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.

【答案】当x＝1时，sin θ＝，tan θ＝3；当x＝－1时，此时sin θ＝，tan θ＝－3.

【分析】利用三角函数的定义求出x＝±1，根据x的值以及三角函数的定义即可求解.

【详解】由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝.

又∵cos θ＝x，∴＝x.∵x≠0，∴x＝±1.

当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.

当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握定义是解题的关键，同时考查了基本运算求解能力，属于基础题.

18．（1）已知，求；

（2）求函数，的单调区间．

【答案】（1）；（2）增区间为，；减区间为.

【分析】（1）根据，，三者的关系可知一求二；

（2）根据正弦型函数的单调性，求解即可.

【详解】（1），，

则，所以θ在第二象限，

则，

又，

则.

（2）函数，

令，

解得，

又，所以的增区间为，；

令，

解得，又，

所以的减区间为.

19．函数是定义在上的奇函数，且.

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值从而求得的解析式；

（2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果．

【详解】解：（1）依题意得∴

∴∴

（2）证明：任取，∴

∵，∴，，，

由知，，∴.

∴.∴在上单调递增.

20．已知函数，其中均为实数.

（1）若函数的图象经过点，，求函数的值域；

（2）如果函数的定义域和值域都是，求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意先求得、的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．

（2）根据函数的定义域和值域都是，求得、的值，可得的值．

【详解】解：（1）函数的图象经过点，

所以，解得，所以

因为，，即，所以

故的值域为

（2）利用指数函数的单调性建立关于的方程组求解.

当时，函数在上为增函数，

由题意得，解得，

当时，函数在上为减函数，

由题意得，解得，

综上：

【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性的应用，属于基础题．

21．已知函数.

（1）求，的值；

（2）设，试比较、的大小，并说明理由；

（3）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.

【答案】（1），；（2）；详见解析（3）.

【分析】（1）根据函数解析式,代入即可求值.

（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较、的大小.

（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数的最大值.

【详解】（1）因为函数

所以

（2）,理由如下:

因为

则

因为,则

，,

所以,即,

所以

即

（3）因为函数

则代入不等式可化为

化简可得,即

因为对于一切恒成立

所以

当时,二次函数取得最小值,即

所以实数的最大值为

【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题.

22．近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.

【答案】(1)；

(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.

【分析】（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式；

（2）根据（1）求出利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.

【详解】（1）解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，

当时，

当时，

，

所以.

（2）当时，，

此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，

所以当时，（万元）；

当时，，

因为，

当且仅当即时，等号成立，

即当时，（万元），

综上可得，当时，取得最大值为（万元），

即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.