2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数列的递推式，即可求得前面几项，可知数列为周期数列，由此可得答案.
【详解】由题意可得 ,
数列是周期为的周期数列， ，
故选：C.
2．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．0
【答案】B
【分析】两直线平行表示斜率相同或者都垂直x轴，即．
【详解】当时，两直线分别为：与直线，不平行，
当时，
直线化为：
直线化为：,
两直线平行，所以，，
解得：，
当时，两直线重合，不符，
所以，
【点睛】直线平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同则表示同一条直线．
3． 已知直线过点(2,1),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线的方程为
A．B．或
C．或D．或
【答案】C
【详解】此题考查直线方程的求法、分类讨论思想的应用；当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，所以方程为；当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为，把点代入求出；所以选C；此题的易错点容易忽略横纵截距都为0的情况，错选为A答案；产生错误的原因是忽略了直线方程截距式适用的条件；
4．经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为
A．B．
C．或D．都不对
【答案】C
【详解】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
则直线为，即
由到直线的距离等于到直线的距离得：
，
化简得：或（无解），解得
直线的方程为
综上，直线的方程为或
故选
5．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出定点，再结合图形即可求解.
【详解】
直线方程可化为，则直线过定点，又，令直线l绕着定点转可知的取值范围是．
故选：C.
6．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果.
【详解】将变形得，
所以是经过两直线和的交点的直线系.
设两直线的交点为，由得交点，
所以直线恒过定点，
于是点到直线的距离，
即点到直线的距离的最大值为.
故选：B.
7．若动点．分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值.
【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.
故选：C
【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
8．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由圆方程得到圆心和半径，求出的长，以及的中点坐标，得到以为直径的圆的方程，由两圆方程作差整理，即可得出所在直线方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
所以，的中点为，
则以为直径的圆的方程为，
所以为两圆的公共弦，
因此两圆的方法作差得所在直线方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求两圆公共弦所在直线的方法，属于常考题型.
二、多选题
9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.
【详解】解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，
则，，
故，且为钝角，
故选：AD.
【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题.
10．过点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】先化圆方程的圆心与半径，再设直线l的方程（注意讨论斜率不存在情况），利用圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果.
【详解】
圆心到直线距离等于1，所以直线l的方程可以为
当直线l的斜率存在时，设
所以
故选：BC
【点睛】本题考查圆的切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D的正误.
【详解】对于A，因为圆，，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确；
对于B，圆的圆心为（1，0），，
则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
对于C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
12．下列结论错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角为150°
C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条
【答案】ABD
【分析】A.将化为，得到即可求出结果判断；B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C. 求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.
【详解】A. 因为，即，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
B. 因为，即，设直线的倾斜角为，则，因为，则，所以直线的倾斜角为120°，故B错误；
C. 圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线的距离等于1的点有2个，所以圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故C正确；
D.因为圆的圆心为，半径为，
当截距不为0，故设切线方程为，即，所以，解得（舍）或，即；当截距为0时，故设切线方程为，即，所以，解得，即，则与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；
故选：ABD.
三、填空题
13．已知数列的前n项和，则______．
【答案】
【详解】试题分析：当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是
【解析】已知求
14．若实数，满足，那么的最大值是______
【答案】
【详解】解：满足等式（x-2）2+y2=3的图形如下图所示：
表示圆上动点与原点O连线的斜率，
由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，
连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2
易得∠BOC=60°
此时=
15．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.
故答案为：.
16．如果圆上总存在到原点的距离的点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】圆心到原点的距离为 ，圆上总存在到原点的距离的点，则 ，则 或.
四、解答题
17．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：
(1)时，求直线l的方程．
(2)当的面积最小时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程;
（2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程.
【详解】（1）作，则.
由三角形相似，，可求得，，
∴方程为，即；
（2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，
∵l过点，∴，解得，∴的面积，
化简，得.①
∴，解得或（舍去）.
∴S的最小值为4，
将代入①式，得，解得，
∴.∴直线l的方程为.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆及其上一点.
（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.
【答案】（1）（2）或.
【分析】（1）根据由圆心在直线y=6上，可设，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到圆N的半径为和得解.
（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.
【详解】（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.
由圆N圆心在直线y=6上，可设
因为圆N与y轴相切，与圆M外切
所以，圆N的半径为
从而
解得.
所以圆N的标准方程为.
（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为，即
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以
解得 或.
故直线l的方程为或.
【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
19．在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆．
(1)当时，求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；
【答案】(1)
(2)过定点，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）由圆M过某一定点得，求解即可
【详解】（1）设圆M的方程为：.
∵，，在圆M上，
∴，解得，，，
圆M的方程为：
当时，圆M的方程为：.
（2）由（1）圆M的方程可化为：，
要使圆M过某一定点，∴，解得，，
∴圆M过定点.
20．已知，直线.求：
（1）直线关于点的对称直线的方程；
（2）直线关于直线的对称直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设上任一点的坐标为，可求得关于点的对称点，再将对称点带入即可求得直线关于点的对称直线的方程；
（2）设上任一点坐标为，可求得点关于直线的对称点的坐标，再将坐标代入直线，即可求得对称直线的方程.
【详解】（1）设上任一点的坐标为，
则关于点的对称点的坐标为，
而点在上，所以，
化简可得对称直线的方程为.
（2）设上任一点坐标为，
则点关于直线的对称点的坐标为，
它在直线上，
所以，
即.
【点睛】本题考查了直线关于点、直线关于直线的对称方程求法，属于基础题.
21．已知在平面直角坐标系中，点，直线：.圆的半径为1，圆心在直线上.
（1）若直线与圆相切，求圆的标准方程；
（2）已知动点，满足，说明的轨迹是什么？若点同时在圆上，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】(1) 或（2）
【解析】(1）设圆心C为（a，2a-4)，利用直线与圆相切，求解a，得到圆心坐标，求出圆的方程.
(2)由，求出动点M的轨迹方程，说明轨迹，通过点M同时在圆C上，说明圆C与圆D有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C的横坐标a的取值范围即可．
【详解】（1）因为圆心C在直线l上，所以圆心C可设为(a，2a-4)，
由题意可得，即，
所以，
解得或，
所以圆心C的坐标为(3，2)或,
所以圆C的标准方程为或
(2) 由,得
化简得：，
即，
所以动点M的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆，
若点M同时在圆C上，则圆C与圆D有公共点，
则，
即
整理得：
解得，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，].
【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得，解不等式即可求解,属于中档题.
22．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.
(1)求圆C的方程；
(2)设P是直线上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为与.
【分析】(1)利用直线被圆截得的弦长公式即可求解；(2)求出过的圆的方程，求解定点.
【详解】（1）设圆心，则圆心到直线的距离为.
因为圆被直线截得的弦长为，所以，
解得或（舍），故圆C：.
（2）已知P是直线上的动点，设，
∵为切线，∴，∴过三点的圆是以为直径的圆.
又中点坐标为，且.
∴经过三点的圆的方程为，
即.
若过定点，即定点与m无关，
将方程整理得，
令，
解得或，
所以定点为与.