人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理习题ppt课件

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二项式定理是计数原理在多项式展开的应用，研究的是 的展开式及其系数所具有的性质.
此公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数 叫做二项式系数.
式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 k + 1 项，
根据二项式定理，我们还可以得到公式
当二项式的次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出二项式系数.
对于 展开式的二项式系数
我们把它们写成一张表时，可以得到“杨辉三角”.
“杨辉三角”包含了二项式系数的很多性质.
“杨辉三角”是我国古代数学重要的成就之一.
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
（2）增减性与最大值.当 时，二项式系数是逐渐增大的. 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.
（2）增减性与最大值.当 n 是偶数时，中间的一项 取得 最大值；当 n 是奇数时，中间的两项 相等，且同时取得最大值.
（3）各二项式系数的和. 的展开式的各个二项式系数的和等于 .即
例1 (1) 的二项展开式中的第 6 项为_____.
例1 (1) 的二项展开式中的第 6 项为_____.分析及解：根据二项展开式的通项公式
例1 (2) 的展开式中的常数项为_______.
例1 (2) 的展开式中的常数项为_______.分析及解：根据二项展开式的通项公式
例1 (2) 的展开式中的常数项为_______.分析及解：解得
故所求常数项为展开式第7项
例1 (1) 的二项展开式中的第 6 项为_____. (2) 的展开式中的常数项为_______.
求二项展开式的特定项的系数，是基本题.
例2（1） 的展开式中，含 项的二项式系数为___.
例2（1） 的展开式中，含 项的二项式系数为___.分析及解：根据二项式展开式的通项公式
由所求为含 项，故令
例2（1） 的展开式中，含 项的二项式系数为___.分析及解：解得
故所求含 项为展开式第 5 项
第 5 项的二项式系数为
例2（2） 的展开式中 的系数为______.
例2（2） 的展开式中 的系数为______.分析及解：根据二项展开式的通项公式
例2（2） 的展开式中 的系数为______.分析及解：解得
故所求含 项为展开式第 3 项
例2（1） 的展开式中，含 项的二项式系数为__. （2） 的展开式中 的系数为_____.
大家解题时应注意区分“二项式系数”与“系数”.
例3 (1) 的展开式中 的系数为__.
例3 (1) 的展开式中 的系数为__.分析及解：本题所求代数式需要先分别用二项式定理写出 及 中 的系数，再相加即可.
例3 (1) 的展开式中 的系数为__.分析及解：本题所求代数式需要先分别用二项式定理写出 及 中 的系数，再相加即可. 根据二项式定理， 的二项展开式的通项为
例3 (1) 的展开式中 的系数为__.分析及解：故 的系数为
例3 (1) 的展开式中 的系数为__.分析及解：从而 的展开式中 的系 数为
例3 (2) 的展开式中 的系数为____.
例3 (2) 的展开式中 的系数为____.分析及解： 的展开式通项为
而因式 中的 1 和 要分别与相乘，所得结果中包含 项的有两个，分别是
例3 (2) 的展开式中 的系数为____.分析及解：
此两项的系数分别是故原式展开式中 的系数为
例3 (3) 的展开式中 的系数为__.
例3 (3) 的展开式中 的系数为__.分析及解：原式包含两个因式， 的展开式的通项
另一因式中的 x 和 y 分别与此通项相乘，可得
例3 (3) 的展开式中 的系数为__.分析及解：
对于通项 ，当 r = 3 时，
对于通项 ，当 r = 2 时，
故原式的展开式中， 的系数为
例3 (4) 的展开式中 的系数为____.
例3 (4) 的展开式中 的系数为____.分析及解：本题为 类型的展开式.
为研究此类型的展开式中的某些项的特征，我们可以采取将 a , b , c 中的其中两个之和看作一个整体的方法，利用二项式定理展开，再视情况继续展开求其中的某些项.
“整体法”是非常重要的数学方法.
例3 (4) 的展开式中 的系数为____.分析及解：本题中，我们不妨将 看作一个整体.
分别计算可能包含 项的情况，
分别计算可能包含 项的情况，故
如果以其他的方式选择整体，展开式就不同了.
例3 (4) 的展开式中 的系数为____.分析及解： 此时得到三项分别是
例3 (4) 的展开式中 的系数为____.分析及解：
的展开式中 的系数为
的展开式中 的系数为
例3 (1) 的展开式中 的系数为____. (2) 的展开式中 的系数为______. (3) 的展开式中 的系数为____. (4) 的展开式中 的系数为_____.
在研究复杂多项式的展开项问题时，二项式定理作用非常突出.
例4 (1)在 的展开式中，各项系数的和是______.
例4 (1)在 的展开式中，各项系数的和是______.分析及解：
令 x = 1 ，可得
故各项系数的和是 1 .
“赋值法”是充分利用恒等式，解决“系数和”问题的重要方法.
例4 (2)已知 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列，求 n .
例4 (2)已知 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列，求 n .分析及解：展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式 系数分别为
例4 (2)已知 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列，求 n .分析及解：
例4 (1)在 的展开式中，各项系数的和是______. (2)已知 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列，求 n .
展开式“系数和”的计算以及“二项式系数”的性质与计算是二项式定理的重要应用问题.
例5 (1)利用二项展开式证明：
例5 (1)利用二项展开式证明： 分析及解：通过观察，可以发现，构造一个合适的二项 展开式即可解决这个问题.
例5 (2)利用二项展开式证明：
例5 (2)利用二项展开式证明：分析及解：这个等式的证明也利用通过二项展开式得到 的恒等式证明.
例5 (2)利用二项展开式证明：分析及解：
根据二项式定理，可以展开得到
对 求导，
对 求导，可得
同一个函数的不同形式求导得到的结果相同.
如果我们更进一步研究本题的解题的过程，
进一步展开对比，能发现什么样的结论呢？
对比 x 的相同指数幂项的系数，可以发现这样的等式：
这是组合数的一个重要性质.
例5 (1)利用二项展开式证明： (2)利用二项展开式证明：
通过特殊化以及其他数学方法研究二项展开式为我们提供的恒等式，可以得出很多有意思的结论.
在解决一个问题的过程中发现另一个更有用或者意外的收获，是数学史上经常出现的“彩蛋”.
的过程中，得到了组合数的性质：
对二项展开式两边分别求导，能找到“彩蛋”？不妨一试啊.
假定 x 为非负实数，则对任意正整数 n ，
故 任意正整数 n 成立.
称为伯努利不等式，是数学分析中的重要不等式.
当然，不等式对任意 都是成立的，而且还可以将 n 推广到所有大于等于 1 的正实数.感兴趣的同学查阅资料多了解一些吧.
例6 (1) 精确到 0.001 的近似值为__________.
例6 (1) 精确到 0.001 的近似值为__________.分析及解：根据二项展开式，
故解答为：1.018.
展开式的第3项为本题中可以忽略不计.
实际生活中经常需要估算，二项展开式可以为平方及其他指数幂计算提供重要的依据.
例6 (2)如果今天是星期一，那么对于任意自然数 n ，经过 天后的那一天是星期几？
例6 (2)如果今天是星期一，那么对于任意自然数 n ，经过 天后的那一天是星期几？分析及解：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻 求对任意自然数 n ，
例6 (2)如果今天是星期一，那么对于任意自然数 n ，经过 天后的那一天是星期几？分析及解：
可以运用二项式定理，并与7发生联系.故
则 被 7 除所得余数为 6 .
所以对于任意自然数 n ，经过 天后的那一天是星期日.
例6 (1) 精确到 0.001 的近似值为__________. (2)如果今天是星期一，那么对于任意自然数 n ，经过 天后的那一天是星期几？星期日
估算近似值和整除问题是二项式定理应用问题.数学来源于生活，“杨辉三角”即是中国古代研究幂的运算和开方的重要工具，流传至今.
本节课我们学习了：1. 利用 的展开式中的二项式系数，系数特征及展开项关系解决了一些问题；2. 利用二项式定理解决在研究和证明恒等式方面的一些问题.3. 利用二项展开式解决求近似值，整除等应用问题.
课本选修2-3第36页习题1.3 A组3，6，B组1.