北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（下） 练习题(解析版)

这是一份北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（下） 练习题(解析版)，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（下） 练习题

一、单选题
1．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（　　）

A．3cm B．3cm C．6cm D．6cm
3．（2021·北京·101中学三模）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．2
4．（2021·北京东城·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交于点C，连接OA，OB，BC．若，则等于（    ）

A． B． C． D．
5．（2021·北京门头沟·二模）线段OA以点O为旋转中心，逆时针旋转60°，得到，再将以点O为旋转中心逆时针旋转60°得到，依此操作直到点与点A重合为止，顺次连接点A、…形成的多边形是（    ）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
6．（2020·北京延庆·一模）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（　　）

A． B． C． D．
7．（2020·北京海淀·一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=OA，则∠C等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（2020·北京市第一零一中学温泉校区模拟预测）如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上.有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE=∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE=∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E(不与点A，C重合) ，∠DCE=∠ABO +∠AEO均成立.上述结论中，所有正确结论的序号是（  ）

A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④

二、填空题
9．（2021·北京·中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则______________．

10．（2022·北京·清华附中一模）如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．

11．（2022·北京海淀·一模）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．

12．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．

13．（2022·北京通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．

14．（2022·北京朝阳·一模）如图，是的弦，是的切线，若，则_________．

15．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．

16．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝45°，则∠AOB＝_____°．

17．（2022·北京丰台·二模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，若，则∠ACB＝________°．

18．（2022·北京房山·二模）如图，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则半径为__________，的长为__________．


三、解答题
19．（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接

(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
20．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

21．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
22．（2022·北京·清华附中一模）如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．

23．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

24．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．

(1)求证：HF是⊙O的切线；
(2)若，BM=1，求AF的长．
25．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，点E是中弦AB的中点，过点E作的直径CD，P是 上一点，过点P作的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M
（1）求证：FM=FP；
（2）若点P是FG的中点，，半径长为3，求EM长

26．（2022·北京房山·模拟预测）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
AC/cm
0.1
0.5
1.0
1.9
2.6
3.2
4.2
4.9
CD/cm
0.1
0.5
1.0
1.8
2.2
2.5
2.3
1.0
FD/cm
0.2
1.0
1.8
2.8
3.0
2.7
1.8
0.5
在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是　 　．
27．（2022·北京顺义·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，对角线AC，BD交于点E，的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．

(1)求证：AE=AF；
(2)若AF=6，BF=10，求BE的长．
28．（2022·北京市第七中学一模）如图，是的直径，为的切线，切点为，交的延长线于点，点是上的一点，且点是弧的中点，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
29．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．

(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．

参考答案：
1．B
【分析】连接OC，证明△PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得．
【详解】
如图，连接OC，
因为OB=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为，
所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在△PAO和△PCO中，
，
所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP
因为PA与相切于点A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关键．
2．B
【分析】设圆心为O，连接OA,OB,根据题意可得∠OAB＝∠CAB＝60°，可得OA＝6cm，然后运用勾股定理解即可.
【详解】
解：设圆心为O，连接OA,OB
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°，
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的半径是3cm．
故答案为B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和圆的切线的性质以及勾股定理得应用，解答的关键在对圆的切线性质的应用.
3．A
【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．
【详解】解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，

∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，
∴△OAP≌△OBP，
∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，
∴AP=,
∴AB=2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线、勾股定理的应用，本题综合性较强；掌握其定理、性质，才能熟练解答．
4．B
【分析】结合已知条件推知直角的直角边与斜边的关系可求，进而根据圆周角定理求出∠C．
【详解】解：与相切于点，
．
，，
∴，
，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
5．C
【分析】根据题意，直接画出相关的图形，直观就可以看出多边形形状．
【详解】如下图：

因为线段OA旋转过程，所形成的的轨迹是一个以点O为圆心，OA为半径的圆，每一次旋转，所形成的的三角形为等边三角形，故当旋转六次的时候重合，成正六边形．
故选：C
【点睛】本题考查直角坐标系中点的运动所形成的图形判定，能根据相关条件画出图形是解题关键．
6．B
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．
【详解】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3，
故选B．

【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.
7．B
【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A=30°．
【详解】如图，连接OB．

∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°．
∵OB=OC，，
∴∠C=∠OBC，OB=OA，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，
∴∠C=30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．
8．D
【分析】①当BE是⊙O的直径时，根据圆周角定理和邻补角的定义得到结论；②当AE∥BC时，得到弧AB=弧CE，根据圆周角定理得到结论；③当点E是弧AC的中点时，根据角平分线的定义得到结论；④根据圆内接四边形的性质和四边形的内角和得到结论．
【详解】解：

①当BE是⊙O的直径时，∠BCE=∠DCE=90°，故①正确；
②当AE∥BC时，弧AB=弧CE，
∴弧BCE=弧ABC，
∴∠BAE=∠AEC；故②正确；
③当点E是弧AC的中点时，EO平分∠AEC；故正确；
④如图2，∵∠A=∠ECD，∠A+ ∠BOE=180°，
∴∠ABO+∠AEO=360°-∠A-∠BOE=360°-∠DCE-2（180°-∠COE），
∴∠DCE=∠ABO+∠AEO，故正确；

故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题关键是正确的理解题意．
9．130°
【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∴由四边形内角和可得：，
∵，
∴；
故答案为130°．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10．1
【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；
【详解】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．

∵∠POB＝∠PAB＝90°，
∴P、O、B、A四点共圆，
∴∠AOB＝∠APB，
∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，
在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，
解得k＝（负根已经舍弃），
∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝，
∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，
∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，
∴△AMB∽△PNA，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝，
∴OB＝OM﹣BM＝1．
故答案为1
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．
11．60°##60度
【分析】先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】 PA，PB是的切线，A，B为切点





故答案为：60°．
【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．
【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得，进而由邻补角性质解得，再由平行四边形对角相等性质，解得，最后由三角形内角和180°解题即可．
【详解】四边形是的内接四边形


，

四边形是平行四边形，


故答案为：
【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．40°
【分析】由PA与PB都为圆O的切线得OB⊥BP，PA=PB，从而求得∠ABP=70°，再根据内角和定理即可求出∠P的度数．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OB⊥BP，PA=PB，
∴∠OBP=90°，
∵，
∴∠ABP=70°，
∵PA=PB，，
∴∠BAP=∠ABP=70°，
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，
故答案为：40°
【点睛】此题考查了切线长定理及等腰三角形的性质，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
14．60
【分析】因为是的切线，由切线的性质得出PA⊥OA，PB⊥OB，得出∠PAO=∠PBO=90°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120º．，再由四边形内角和等于360°，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接OA，OB，

∵是的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵，
∴∠AOB=2∠C=120º，
∵四边形内角和等于360º．
∴在四边形AOBP中，
∠P=360º-90º-90º-120º=60º．
故答案为：60．
【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内角和定理；解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于360º求角．
15．50
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．
【详解】解：连接OC、OD，如图，

∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴△POC≌△POD(HL)，
∴∠CPO=∠DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
∵∠CAD=∠COD=50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
16．135
【分析】由切线的性质得∠PAO=∠PBO=90°，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴由四边形内角和可得：∠AOB+∠P=180°，
∵∠P=45°，
∴∠AOB=135°；
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
17．60
【分析】先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．
18．         
【分析】根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，根据HL定理可证明△OAP≌△OBP得到∠AOC=∠BOC，然后利用等腰三角形的三线合一证得OC⊥AB，AC=BC=4，从而利用勾股定理可求得半径，再根据相似三角形的判定与性质证明△AOC∽△POA求解即可．
【详解】解：∵切于A，B两点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOC=∠BOC，又OA=OB，
∴OC⊥AB，AC=BC=4，
在Rt△OAC中，，
∵∠OCA=∠OAP=90°，∠AOC=∠AOP，
∴△AOC∽△POA，
∴即，
解得：PA=，
故答案为：，．
【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
19．(1)答案见解析
(2)答案见解析

【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
（1）
证明：设交于点，连接，

由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
证明：

连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，  
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；
（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．
【详解】（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，

在Rt△OCD中，，
∴，
∴，
∵OA=r，
∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．
21．（1）平行，P3；（2）；（3）
【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围．
【详解】解：（1）平行；P3；
（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．
由垂径定理得：，
∴；

（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为．
如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；

平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=, A2M=,
∴MA=3,AA2= ,

∴的取值范围为：．
【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．
22．（1）见解析；(2)
【详解】分析: （1）连接CO，由且OC=OB,得,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；
（2）设AC=2x，由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB，通过证明△AOD∽△ACB，列出等式即可.
详解：（1）证明：如图，连接CO.

∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.
∴∠DCE+∠BCE=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵，
∴∠OCB=∠DCE.
∴∠OCE=∠DCB=90°.
∴OC⊥CE.
∵OC是半径，
∴CE是半圆的切线.
（2）解：设AC=2x，
∵在Rt△ACB中，,
∴BC=3x.
∴.
∵OD⊥AB,
∴∠AOD=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB.
∴.
∵，AD=2x+10,
∴.
解得 x=8.
∴.
则半圆的半径为.
点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.
23．(1)证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；
（2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=5，则PE=8．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．
试题解析：（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，        ∴OC⊥PA．
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，    ∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，       ∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，         ∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62，     解得x=．
则EC=2x=．  

24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
（1）
证明：连接OF，

∵CD⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠A+∠AGE=90°，
∵HG=HF，
∴∠HFG=∠HGF，
∵∠HGF=∠AGE，
∴∠HFG =∠AGE，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，
∴HF是⊙O的切线；
（2）
解：如图，连接BF，

由（1）得：∠OFM=90°，
∴∠BFO+∠BFM=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°，
∵OB=OF，
∴∠ABF=∠BFO，
∴∠BFM=∠A，
∵∠M=∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴，
∵，
∴，
∵BM=1，OB=OF，
∴，
解得：OF=4，
∴OM=5，AM=9，AB=8，
∴FM=，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接OP，由CD是的直径E为弦AB的中点，即∠1=90°,∠C+∠2=90°，GF是的切线,根据等腰三角形的性质得到∠5=∠4．于是得到结论；
（2）连接DE, ∠1=90°，得∠G+∠F=90°得∠6+∠G=90°，∠6=∠F，根据三角函数的定义得OG、FG的长，得EF、EM的值．
【详解】（1）解：连结OP．
∵CD为的直径，E为弦AB的中点

∴∠1=90°
∴∠2+∠C=90°.
∵PF是的切线，
∴∠OPF=90°．
∴∠3+∠4=90°.
∵OC=OP
∴∠C=∠3．
∴∠4=∠2
∵∠2=∠5
∴∠5=∠4
∴FM=FP
(2)连接DE
∵∠1=90°
∴∠G+∠F=90°
∵∠6+∠G=90°
∴∠6=∠F
∴
在Rt△OPG中，
∵OP=3

∴OG=5
∴PG=4
∴PF=PG=4
∴GF=8
∴
∴
∴.
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（1）AC，CD，FD；（2）详见解析；（3）3.5cm＜x＜5cm
【分析】（1）根据函数的定义可得结论．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）利用图象法，观察图象写出函数CD的图象在函数DF的图象上方时，自变量的取值范围即可．
【详解】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．
故答案为：AC，CD，FD．
（2）函数图象如图所示：

（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．
故答案为：3.5cm＜x＜5cm．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了函数的有关性质，描点法画函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
27．(1)见详解
(2)

【分析】（1）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，最后根据等角对等边即可得证；
（2）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质及勾股定理得出，根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值．
（1）
证明：∵点D为弧的中点
∴，
∵为的直径，为的切线
∴，



∴，
∴；
（2）
∵是的直径，

∴，
由（1），

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理．
28．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，证明，在根据切线的性质得到垂直即可得解；
（2）根据已知条件求出，利用求解即可；
【详解】（1）如图，连接OC，

∵为的切线，
∴，
又∵点是弧的中点，
∴弧EC=弧CF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
在Rt△ABD中，，
设半径，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：；
∴半径是．
【点睛】本题主要考查了圆的综合，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义计算是解题的关键．
29．(1)
(2)①或  ②-≤b≤

【分析】(1)直线与圆的交点分别为A(0，1)和B(-1，0)，则OA=OB=1，根据勾股定理计算即可．
(2) ① 根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围．
②分最短弦长2的弦在x轴上方和下方，两种情形求解．
（1）
解：如图1，∵，
∴直线的解析式为y=x+1，
∴直线与y轴的交点为A(0，1)，与x轴的交点为B(-1，0)，
∵的半径为1，

∴圆O与y轴的正半轴交点为A(0，1)，与x轴的负半轴交点为B(-1，0)，
∴直线关于该圆的“圆截距”为AB，
∵OA=OB=1，
∴AB=．
（2）
①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且A(0，1)
∵点M的坐标为，的半径为1，
∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，
当时，直线的解析式为y=kx+1，
当直线经过点B时，2k+1=0，
解得k=；
过点M作MF⊥AB，垂足为F，
∵OA=1，OB=2，
∴AB=，
∴sin∠ABO=，
∵MB=1，sin∠ABO=，
∴，，
设直线AB与圆M的另一个交点为C，
则BC=2BF=，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；

设直线AM与圆的一个交点为N，
∵点A(0，1)，点M的坐标为，
∴OA=OM，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMN=45°，
根据圆的对称性，直线AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，
∴∠DMN=45°，
∴∠DMB=90°，
∴D的坐标为(1，-1)，
∴k+1=-1，
解得k=-2，
直线AD的解析式为y=-2x+1，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；
综上所述，k的取值范围是或．
②如图3，设圆M与x轴的正半轴交点为A,
当AF=2时，作直线AB交y轴的正半轴于点B，此时b的值最大，
过点M作MD⊥AB，垂足为D，
∵AF=2，
∴AD=1，
∵MA=2，
∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，
∵OA=3，tan∠BAO=，
∴OB=OAtan60°=，
此时b的最大值为；

设圆M与x轴的正半轴交点为A,
当AF=2时，作直线AC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，
过点M作ME⊥AC，垂足为E，
∵AG=2，
∴AE=1，
∵MA=2，
∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，
∵OA=3，tan∠CAO=，
∴OC=OAtan60°=，
此时b的最小值为-；
故b的取值范围-≤b≤．
【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．