北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（上） 练习题(解析版)

这是一份北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（上） 练习题(解析版)，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（上） 练习题

一、单选题
1．（2022·北京大兴·二模）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，则的度数为（    ）

A．50° B．80° C．70° D．90°
2．（2022·北京门头沟·二模）如图，在⊙O中， AB是直径，CD丄AB，∠ACD = 60°，OD = 2，那么DC的长等于（    ）

A． B．
C．2 D．4
3．（2022·北京昌平·二模）如图，的直径，垂足为，，连接并延长交于点，连接，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．（2022·北京平谷·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（　　）

A．55° B．110° C．130° D．140°
5．（2022·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．

若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（    ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中， ∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（     ）

A．17 B．14 C．12 D．10
7．（2021·北京东城·二模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（    ）

A．
B．
C．
D．
8．（2021·北京石景山·二模）如图，点，，在上，，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
9．（2021·北京海淀·一模）如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
10．（2022·北京东城·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为______．

11．（2022·北京平谷·二模）如图，⊙O中，点A、B、C为⊙O上的点，若，则∠OAB的度数为___________．

12．（2022·北京海淀·二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径．若∠BAC =20°，则∠D的度数为________．

13．（2022·北京西城·二模）如图，是的外接圆，，，则的值为______．

14．（2022·北京师大附中模拟预测）下面是六个推断：
①因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．
②因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．
③因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．
④因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．
⑤因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．
⑥因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．
其中正确的结论有_____个，其序号是_____．
15．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，OA，OB，OC均为⊙O的半径，OA⊥OB，，若点D是弧AB上的一点，则∠ADC的度数为_____．

16．（2022·北京四中模拟预测）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．

17．（2022·北京房山·一模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．

18．（2022·北京市第七中学一模）如图，⊙中，半径于点，点在⊙上，，，则半径等于______．


三、解答题
19．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．

（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
20．（2020·北京·中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC

21．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．
(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；
(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．
22．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．

(1)如图，点P（-1，0）．
① 已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是　　　　；
② 以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线 y = x + b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；
(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．
23．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使∠PQC＝90°，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称Rt△PCQ为其对应的“联络三角形”．
如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例．
（1）已知点A（4，0），B（4，4）
①在点Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，点O关于点A的“直角联络点”是　 　；
②点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为（t，0），半径为，直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在⊙T上存在一点P，使得点P关于⊙T的一个“直角联络点”在线段HK上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．

24．（2022·北京市第七中学一模）如图在⊙O中，OA是半径，OA＝4．
（1）用直尺和圆规作OA的垂直平分线BC，BC交OA于点D，交⊙O于点B、C（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在第（1）问的基础上，求线段BC的长度．

25．（2022·北京海淀·二模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG =AG，连接AC．

(1)求证：AC∥DF；
(2)若AB = 12，求AC和GD的长．
26．（2022·北京房山·模拟预测）如图，点P是正方形内一动点，满足且，过点D作交的延长线于点E．

(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(3)连接，若，请直接写出线段长度的最小值．
27．（2022·北京市燕山教研中心一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，

作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴　 　．
∴∠ABP＝∠BPC（　 　）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
28．（2022·北京朝阳·一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．
由记载可得作法如下：
①作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；
②以点B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；
③连接，，，．
，都是圆内接正三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)完成下面的证明，
证明：连接，，，．
∵，
∴为①_________．
∴．
同理可得，．
∴．
∴（②____________）（填推理的依据）．
∵，
∴是等边三角形．
同理可得，是等边三角形．
29．（2022·北京丰台·一模）《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向．

(1)上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）；
(2)在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：∵点B，C在⊙O上，
∴AB＝ ．
∴△ABC是等腰三角形．
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC （ ）（填推理的依据）．
∵直线CB表示的方向为东西方向，
∴直线AD表示的方向为南北方向．

参考答案：
1．B
【分析】由等弧所对的圆周角相等可知，再利用三角形外角定理求．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，，∠DEO=∠AEC=90°，利用圆周角定理求出求出∠DOE=2∠A=60°，根据三角函数求出DE，即可得到CD．
【详解】解：∵AB是直径，CD丄AB，
∴CE=DE，，∠DEO=∠AEC=90°，
∵∠ACD = 60°，
∴∠A=30°，
∴∠DOE=2∠A=60°，
∴DE=，
∴CD=2DE=，
故选：B．

【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆周角定理，熟记两个定理的内容并熟练应用是解题的关键．
3．C
【分析】由OA=OC，得∠OCA=∠A=30°从而得∠BOC=∠OCA+∠A=60°，再由CF是直径，则∠CDF=90°，则FD⊥CD，又因为AB⊥CD，所以ABDF，所以∠CFD=∠BOC =60°．
【详解】解：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠BOC=∠OCA+∠A=60°，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF=90°，即FD⊥CD，
又∵AB⊥CD，
∴ABDF，
∴∠CFD=∠BOC =60°．
故选：C．
【点睛】本题考查直径所对圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形外角性质，平行线的判定与性质，掌握直径所对圆周角是直角是解题的关键．
4．D
【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
5．A
【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图

∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角
∴，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，

∵，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
6．C
【分析】直角所对的弦是直径，即△OCD是直角三角形，由勾股定理计算CD的长.
【详解】解：因为∠AOB＝90°，所以CD是直径，
由勾股定理得，CD＝≈12.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论及勾股定理，在圆中如果有90°的圆周角时，一般要和直径构成直角三角形，结合勾股定理求解.
7．B
【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．
∴∠AOB=
∴OB与围成的扇形的面积是
故选B．
【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．
8．C
【分析】连接AB，则由∠AOB=100°、OA=OB，可求得∠OAB=∠OBA及其度数，进而可得∠ABC的度数，由圆周角定理可求得∠C的度数，在△ABC中可求得∠CAB的度数，从而可得∠OAC的度数．
【详解】如图，连接AB

则OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=60°
∵∠C
∴在△ABC中，∠CAB=180°−∠C−∠ABC=70°
∴∠OAC=∠CAB−∠OAB=70°−40°=30°
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，圆周角定理等知识，关键是连接AB，使得有关角度的计算可以在三角形中进行．
9．D
【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．
【详解】解：如图，

∵AB为⊙O的直径，P在上，
∴∠APB=90°，
∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，
∴∠BPQ=25°，
∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，
∵点C、D将分成相等的三段弧，
∴，
∴∠BOD=，
∵∠BOQ<∠BOD，
∴Q在上，
故选D．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键．
10．##0.6
【分析】根据圆周角定理得出∠BCD=∠BAD，在网格中利用勾股定理可得AB，利用等角的正弦值相同即可得出结果．
【详解】解：由图可得∠BCD=∠BAD，
在∆ABD中，AD=4，BD=3，
∴AB=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理、解三角形及正弦的定义，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点求解．
11．40°##40度
【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，可求得∠AOB的度数，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得∠OAB的度数．
【详解】解：∵，
∴∠AOB=2∠C=100°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA==40°．
故答案为：40°．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．70°
【分析】根据圆周角定理的推论求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠C，再根据圆周角定理的推论即可求出∠D．
【详解】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°．
∵∠BAC=20°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=70°．
∵∠D和∠C都是所对的圆周角，
∴∠D=∠C=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
13．
【分析】连接OC，过点O作OD⊥BC于D，由等腰三角形的性质，得∠BOD=∠BOC，BD=BC=×4=2，在Rt△OBD中，由勾股定理，求得OD=3，由圆周角定理可得∠A=∠BOC，则∠BOD=∠A，所以tanA=tan∠BOD=．
【详解】解：连接OC，过点O作OD⊥BC于D，

∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=∠BOC，BD=BC=×4=2，
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OD==3，
∵∠A=∠BOC，
∴∠BOD=∠A，
∴tanA=tan∠BOD=,
故答案为：．
【点睛】本师考查等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，正切三角函数定义，作辅助线：过点O作OD⊥BC于D，构造直角三角形是解题的关键．
14．     1     ⑥

【分析】分别根据角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理对各小题进行逐一判断．
【详解】解：①因为直线没有端点，所以直线不是平角，故此小题错误；
②因为射线是一条线，所以射线不是角，故此小题错误；
③因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆周的一部分不是扇形，故此小题错误；
④因为线段有两个端点，所以不相交的两条线段不一定平行，故此小题错误；
⑤因为边长相等的四边形有可能是菱形，所以此小题错误；
⑥符合等腰三角形的性质及判定定理，故此小题正确．
故正确的结论有1个，其序号是⑥．
故答案为：1，⑥．
【点睛】本题考查的是角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
15．112.5°
【分析】作所对的圆周角∠AEC，如图，先判断△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB＝45°，利用平行线的性质得到∠COA＝135°，利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADC的度数．
【详解】解：作所对的圆周角∠AEC，如图，

∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴∠COA＝180°－45°＝135°，
∴，
∵∠CEA+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°－67.5°＝112.5°．
故答案为112.5°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
16．45
【分析】根据垂径定理可得△ACD是等腰三角形，∠BAC＝22.5°，然后再利用圆周角定理可得∠BOC＝45°．
【详解】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴ AB垂直平分CD
∴AC＝AD
∴△ACD是等腰三角形
∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5°
∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，
故答案为：45．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．70°
【分析】由OB＝OC，∠OCB＝20°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，求得∠A的度数．
【详解】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∴∠BOC＝180°―∠OBC―∠OCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠A＝∠BOC＝70°
故答案为：70°
【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
18．
【分析】根据垂径定理得，，再根据圆周角定理得到，进而在中利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：⊙中，半径于点，
，，
点在⊙上，，
，
在中，，，，则由勾股定理得，
故答案为．
【点睛】本题考查圆背景下求线段长，涉及到垂径定理、圆周角定理和勾股定理，理解圆中求线段长需要垂径定理构造直角三角形是解决问题的关键．
19．（1）见详解；（2），
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；
（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．
【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：

（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)C1、C3
(2)1≤b<3或b>3
(3)≤d≤

【分析】（1）根据“友好点”的定义逐个判断即可；
（2）分两种情况讨论，直线PQ在点C上方或下方．过B作PQ的垂线，垂足为B，交x轴于H，根据题目中的定义知：BQ或BP的长度要大于或等于BC的长度，求解即可；
（3）首先分析得到E点的运动范围，作出图形知OE≥2，当EH平分∠FEO时，其中H（2，0），是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为，即得结论．
（1）
解：如图所示，

由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；
过C2作C2A⊥OM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；
过C3作C3B⊥OM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；
故答案为：C1、C3．
（2）
解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，

则△BPH为等腰直角三角形，BP=BH>BC，
故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，
将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，
即b>3；
当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，

则当BQ≥BC时，符合题意，
当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，

此时，－1+b=0，即b=1，
即1≤b<3，
综上所述，b的取值范围为：1≤b<3或b>3．
（3）
解：根据题意，为的弦，根据定义可知，
，当取得最小，点在上，此时
则
则
当取得最大值时，为的直径，当的长度变化时，总能在上找到点使得，则符合题意的点在如图中阴影部分中运动，

通过分析可知，当直线EF在下图中的位置时，d取得最大值，

此时，∠HEO=22.5°，即EH为∠EHF的平分线，
过H作HM⊥EF于M，则HM=OH=2，
∴FM=2，
由勾股定理得：FH=，
即OE=OF=，即d=
∴≤d≤．
【点睛】本题考查了新定义的问题，涉及到一次函数与圆的性质的综合应用，所用到的数学思想方法为数形结合、分类讨论，该题综合性较强．解题关键是读懂题意，借助定义作出符合题意的图形．
22．(1)① ，；②b的取值范围是
(2)

【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可；
②记点P，O关于直线的对称点分别为，，先求出直线、直线的的解析式，再根据图象找到当直线随着b的变化上下平移时的临界情况，解答即可；
（2）根据题意，确定出当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最小，作MN关于直线的对称图形，用勾股定理求出的长度即可．
（1）
解：①线段PO关于y轴对称图形为线段，即线段在图形W内（包括边界），
其中，P（-1，0），（0，1），
故图形W1及W3，符合题意，
故答案为：，．
②记点P，O关于直线的对称点分别为，，则直线垂直平分线段和，因此直线的解析式为，直线的解析式为，由于线段PO在x轴上，故关于直线的对称后，⊥x轴．
如图，当直线随着b的变化上下平移时，临界情况是：
当点P对称后得到在上，即（1，）时，中点为（，0），此时；
当点O对称后恰好为（2，2）时，中点为（1，1），此时.

依题意，b的取值范围是．
（2）
解：由题意知，当三角形MON为等腰直角三角形且∠MON=90°时r最小，
由Q点坐标知，Q点在直线上运动，
作线段MN关于直线的对称图形，则r≥，
取MN中点E，中点为G，连接EG交直线于F，连接，如图所示，

∵MN=2，
∴OE=1，
设直线交坐标轴于P、S，则PS=8，
∴OF=4，
由对称知，EF=GF=5，，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的问题，需要借助轴对称图形的性质、一次函数性质、勾股定理等知识点解题．解题关键是正确理解题意，作出符合题意的图形．
23．（1）①点Q1；②；（2）．
【分析】（1）①根据条件判断∠OQ1A和∠O Q2A是否等于90°，即可解答；
②由题意可知点E在直线x=2上运动，如图2作出∠O E1A＝90°和∠O E2B＝90°，求出E1 、E2的坐标，即可求出m的取值范围；
（2）如图3作出“联络三角形”△P1KM和△P2HN，证明T1K是P1M的垂直平分线，据此可计算出T1G，进而计算出T1O；同理可求出T2O，于是可得t的取值范围．
【详解】解：（1）①如图1，作Q1H⊥OA于H，

∵A（4，0），Q1（2，2），
∴Q1H=AH=OH=2，
∴∠OQ1A＝90°，
∴点Q1是点O关于点A的“直角联络点”，
∵A（4，0），Q2（4，-1），
∴∠O A Q2＝90°，
∴∠O Q2A≠90°，
∴点Q2不是点O关于点A的“直角联络点”，
故答案是：点Q1
②如图2，

当点E1是点O关于线段AB的“直角联络点”时，由①可知，点E1与点Q1关于OA对称，所以当点E1的坐标是（2，-2）；
当点E2是点O关于线段AB的“直角联络点”时，∠O E2B＝90°，
作BP⊥Q1H于P，
∴∠O E2H+∠BE2P＝90°，∠O E2H+∠E2OH＝90°，
∴∠BE2P =∠E2OH，
∴△O E2H∽△E2BP，
∴ ，
∴，
∴E2H= 或E2H= （不合题意，舍去），
∴m的取值范围是；
故答案是：．
（2）如图3，点P1关于⊙T1的“直角联络点”是点K，对应的“联络三角形”是△P1KM，点P2关于⊙T2的“直角联络点”是点H，对应的“联络三角形”是△P2HN，

∵直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，
∴H（2，0），K(0，2)，
∵△P1KM是底边长为2的等腰三角形，且∠P1KM=90°，T1P1= T1M= ，
∴T1K是P1M的垂直平分线，
∴P1G=GM=KG=1，
∴T1G= ，
∴T1K= T1G+GK=3+1=4，
∴T1O= ，
∴t1=，
同理可得HS=1，T2S=3，
∴T2O=3+1+2=6，
∴t2=6，
∴t的取值范围是．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的有关性质、勾股定理、等腰三角形的性质、垂直平分线的判定，能综合运用性质进行推理计算是解题关键，本题难度较大．
24．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据线段中垂线的尺规作图即可得；
（2）由中垂线知OD＝2，利用勾股定理求得BD的长，根据垂径定理即可得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，直线BC即为所求．

（2）∵BC垂直平分OA，且OA＝4，
∴OD＝2，
则BD＝=，
∴BC＝2BD＝4．
【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和垂径定理．
25．(1)见解析
(2)AC =6，

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C=∠F，由GA=GC推出∠CAF=∠C，得到∠CAF=∠F，即可得到结论AC∥DF．    
（2）连接AD，利用AC∥DF推出∠C=∠1，根据圆周角定理得到，进而证得△AOD是等边三角形，得到．利用垂径定理求出AC=AD=6，利用三角函数求出AG．
【详解】（1）证明：
∵ C，F都在⊙O上，
∴ ∠C=∠F．
∵ GA=GC，
∴ ∠CAF=∠C．
∴ ∠CAF=∠F．
∴ AC∥DF．
（2）解：连接AD．

∵ AC∥DF，
∴ ∠C=∠1，
∵，
∴．
∴．①
∵ AB⊥CD于E，
∴ ∠BED=90°．
∴．②
∴由①，②得∠1=30°，∠2=60°．             
∵ OA=OD，
∴ △AOD是等边三角形．
∴．
∵直径AB⊥CD于E，
∴．
∴ AC=AD=6．                                 
∵ △AOD是等边三角形，
∴ ∠ADO=60°，∠1=30°．
∴ ∠3=∠AOD-∠1=30°
∵ DF是⊙O的直径，
∴ ∠FAD=90°．
∴ 在Rt△GAD中，．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行线的判定定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
26．(1)图形见详解
(2)EP=BP+DE，理由见详解
(3)

【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）过A点作AM⊥ED交ED的延长线于M点，先证明四边形APEM是矩形，在证明△APB≌△AMD，得到AP=AM，BP=MD，可得矩形APEM是正方形，有ME=PE，即有MD+DE=ME=PE，则结论得证；
（3）取AB中点O，连接OC，利用勾股定理可求得OC，根据∠APB=90°，可知点P在以O为圆心、OB为半径的圆上，则有当P点落在线段OC上时，CP最短，即CP可求．
（1）
解：补全图形如下：

（2）
线段PE=DE+BP，
理由如下：过A点作AM⊥ED交ED的延长线于M点，如图，

∵∠M=∠E=∠APE=90°=∠APB，
∴四边形APEM是矩形，
∴∠DAP+∠DAM=90°，
∵∠BAP+∠PAD=90°，
∴∠DAM=∠BAP，
∵在正方形ABCD中有AD=AB，
∴△APB≌△AMD，
∴AP=AM，BP=MD，
∴矩形APEM是正方形，
∴ME=PE，
∴MD+DE=ME=PE，
∴PE=DE+BP，
结论得证；
（3）
取AB中点O，连接OC，如图，

∵AB=4，
∴OB=2，BC=4，
∴在Rt△OBC中，有，
∵∠APB=90°，
∴点P在以O为圆心、OB为半径的圆上，
∴显然当P点落在线段OC上时，CP最短，
∴此时在Rt△ABP中，OP是斜边的中线，
∴OP=AB=2，
∴CP=OC-OP=-2．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角等知识，确定点P的运动运动轨迹是解答本题的关键．
27．(1)见解析
(2)，同弧或等弧所对的圆周角相等

【分析】（1）根据所给作法进行尺规作图即可得；
（2）根据圆周角定理进行解答即可得．
（1）解：如图，直线PC即为所求作．
（2）证明：连接PB．∵BC＝AP，∴，∴∠ABP＝∠BPC（同弧或等弧所对的圆周角相等），∴直线PC∥直线l．故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．
28．(1)见解析
(2)①等边三角形，②同弧上的圆周角等于圆心角的一半

【分析】(1)按照作图的基本步骤规范画图即可．
(2)根据圆的性质，等边三角形的判定解答．
(1)
根据作步骤，画图如下：

(2)
证明：如图，连接，，，．

∵，
∴为等边三角形．
∴．
同理可得，．
∴．
∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．
∵，
∴是等边三角形．
同理可得，是等边三角形．
【点睛】本题考查了圆的基本作图，等边三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用圆周角定理是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合

【分析】（1）以点A为圆心，以适当的长度为半径画弧分别与AB，AC交于一点，分别以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧交于点D，作射线AD，则AD即为所求；
（2）先证明△ABC是等腰三角形，由AD平分∠BAC，根据等腰三角形的性质证明AD⊥BC，即可得到结论．
（1）
解：如图所示，射线AD即为∠BAC的角平分线；

（2）
解：证明：∵点B，C在⊙O上，
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC （等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）（填推理的依据）．
∵直线CB表示的方向为东西方向，
∴直线AD表示的方向为南北方向．
故答案为：AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
【点睛】此题考查了基本作图中的角平分线作图、等腰三角形的判定和性质、圆的相关知识，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．